南昌大学概率论独立性教学提纲.ppt

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1、南昌大学概率论独立性南昌大学概率论独立性边缘边缘分布分布离散型离散型连续型连续型(X,Y)关于关于X 和和Y 的边缘分布的边缘分布关于关于X 的的关于关于Y 的的关于关于X 的的 关于关于Y 的的 2J 说明说明对于确定的对于确定的 1 1,2 2,1 1,2 2,当当 不同时，对应不同时，对应了不同的二维正态分布。了不同的二维正态分布。对对这个现象的解释是这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了边缘概率密度只考虑了单个分量的情况单个分量的情况,而未涉及而未涉及X X与与Y Y之间的关系之间的关系.(X X1 1,X,X2 2)N(N(1 1,2 2,)X X1 1 X X2 2 (与参数与参数

2、 无关无关)3例例5 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的的概率密度为概率密度为 求边缘密度函数求边缘密度函数 解解同理同理 二维正态分布性质二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正正态态分分布布的的联联合合分分布布未未必必是是正正态态分分布布但反之不真但反之不真4 X X与与Y Y之间的关系这个信息是包含在之间的关系这个信息是包含在(X,Y)(X,Y)的联合概率密度函数之内的的联合概率密度函数之内的.在下一章将指出在下一章将指出,对于二维正态分布而对于二维正态分布而言言,参数参数 正好刻画了正好刻画了X X和和Y Y之间关系的密切

3、程之间关系的密切程度度.因此因此,仅由仅由X X和和Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度(或边缘或边缘分布分布),),一般不能确定一般不能确定(X,Y)(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数(或概率分布或概率分布)53.3 随机变量的独立性随机变量的独立性 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数为为F(x,y),X和和Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为FX(x),FY(y),若若 x,y,有有 F(x,y)=FX(x)FY(y)则称则称随机变量随机变量X和和Y相互独立相互独立 定义定义:其意义其意义:事件事件Xx与与Yy相互独立相互独立 6离散型离散型:X与与Y相互独

4、立相互独立 即即pij=pi.p.j (i,j=1,2,)连续型连续型:X与与Y相互独立相互独立 f(x,y)=fX(x)fY(y)PX=xi,Y=yj=PX=xi PY=yj7证证 “”：“”：若若 X 与与 Y 相互相互独立，独立，则则则则所以所以 X 与与 Y 相互相互独立独立.对对 F(x,y)求二阶求二阶 偏导即得联合密度偏导即得联合密度 8例例1：设设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为相互独立，它们的分布律分别为:求求:(X,Y)的联合分布律的联合分布律.解解:相互独立相互独立从而：从而：9依次可得依次可得(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为:XY从此例可得出：对离散型随机变

5、量而言，已知联合从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知而一旦已知 X,Y 相互独立的条件后，则可由边缘分相互独立的条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。布律直接求得其联合分布律。10例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布律为的分布律为:X Y1 2 312 若若X与与Y相互独立相互独立,求求 ,之值之值 11解解:=PX=2,Y=2=PX=2PY=2=PX=2,Y=3=PX=2PY=3又由又由解得解得:12解解 (1)13例例3 设设X与与Y是两个相互独立的随机变量

6、是两个相互独立的随机变量,X在在(0,0.2)上服从均匀分布上服从均匀分布,Y的概率密度的概率密度为为:求求 PYX解解:o x y0.2D14PYX=0.3697f(x,y)=fX(x)fY(y)15例例4 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的的概

7、率是多少？概率是多少？解解:设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)16所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)解解:设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率17解一：解一：P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)=1/6=

8、1/2P(XY)18解二解二P(X Y)P(|X-Y|5)19类似的问题如：类似的问题如：试求其中一艘船要等待码头空出试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率.甲、乙两船同日欲靠同一码头，甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，只能停泊一艘船，20若收到两个相互独立的这种若收到两个相互独立的这种信号的时间间隔小于信号的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰.求它们

9、可以构成三角形的概率求它们可以构成三角形的概率.在某一分钟的任何时刻，在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的信号进入收音机是等可能的.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，的线段在任意两点折断成为三线段，长度为长度为 a21证证 例例5 试证试证:X 与与Y 相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 =0.设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)N().().(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为其边缘概率密度分别为其边缘概率密度分别为 0 0 0 若若 =0,“”:“”:若若X 和和Y 相互独立相互独立,故故 X 和

10、和Y 相互独立相互独立.=0.令令 x=1,y=2,22n维随机变量维随机变量类似于对二维随机变量的理解类似于对二维随机变量的理解定义定义 将将n个随机变量个随机变量 X1 1,X2 2,Xn 构成一个构成一个n 维向量维向量(X1 1,X2 2,Xn)，则称其为，则称其为n维随机变量维随机变量。(X1 1,X2 2,Xn)的联合分布函数的联合分布函数 F(x1 1,x2 2,xn)=P X1 1x1 1,X2 2x2 2,Xnxn 其中其中x1 1,x2 2,xn 为任意实数为任意实数23对于对于n维离散型随机变量维离散型随机变量(X1 1,X2 2,Xn)，有，有 P X1 1=x1j1j

11、1 1,X2 2=x2j2j2 2,Xn=xnj jn n=pj1 1j2 2jn n若若F(x1 1,x2 2,xn)为为n维随机变量维随机变量(X1 1,X2 2,Xn)的联合分布函数的联合分布函数,且存在非负函数且存在非负函数f(x1 1,x2 2,xn),),使得对任意的实数使得对任意的实数x1 1,x2 2,xn 有有 F(x1 1,x2 2,xn)n维离散型随机变量的联合分布律维离散型随机变量的联合分布律n维连续型随机变量的联合概率密度维连续型随机变量的联合概率密度则称则称(X1 1,X2 2,Xn)为连续型随机变量为连续型随机变量 f(x1 1,x2 2,xn)为为n维随机变量的联合概率密度维随机变量的联合概率密度24结束结束