信息与计算科学专业计算方法教案(上).docx

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1、目录第一章绪论4第二章插值法15第三章函数逼近与曲线拟合43第四章数值积分与数值微分77武汉工程大学教师教案规范格式计算方法课程教案课程名称计算方法总学时数68（上机 20） 本章名称绪论本章时数4授课对象 08 信息与计算科学授课学期 2007-2008 第 2 学期教 研 室 信息与计算科学授课教师教江世宏老师有丰富的数学、计算机有关课程的教学经验。承担计算方法的教学工作已有 10 多年。同意该老师担任本门课程的主讲工作。该老师备课认真，其教案质量、格式，基本上达到了教务部门的要求。研室意教研室主任签字：见2008 年 12 月 15 日院同意教研室的意见。系部意院（系、部）签字：见200

2、8 年 12 月 15 日教务处意见教务处签字：2008 年 12 月 15 日第一章绪论本章主要内容：计算方法中离散化方法、递推化方法，有效数字与误差估计，数值计算中应注意的四个原则。教学目的及要求：使学生初步了解计算方法这门课程主要的研究对象与常用方法，了解误差产生的原因与误差估计方法，了解数值计算中应注意的四个原则。教学重点：离散化、递推化方法，有效数字概念，误差估计方法。教学难点：离散化、递推化方法。教学方法及手段：课堂教学上，主要介绍计算方法这门课程的主要思想与常用方法，以实例说明学习计算方法的必要性，以实例介绍实现数值计算的离散化、递推化方法。在实验教学中，通过具体实例，让学生学会

3、应用MATLAB 进行数值计算实验，对一些典型问题，利用投影仪进行实时讲解，让学生更好地掌握课堂教学的内容，并对这门课程的学习产生兴趣。教学时间：本章的教学的讲授时间为4学时，实验学时 2学时。第一章绪论计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。由于计算是由计算机来完成，所给出的数值计算方法必须适合于计算机来处理。计算方法 =数学问题求解算法 +程序设计其经历的过程为：实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计 上机计算求出结果计算方法具有特点有以下四点。第一， 面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。第二， 有

4、可靠的理论分析，能任意逼近并达以精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这都建立在相应数学理论的基础上。第三， 要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性地是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。第四， 要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。计算方法有时也称计算方法。学习计算方法的必要性2【引例 1-1 】计算一个边长为 1的正方形的对角线长度为22，是第一个被发现的无理数，它的发现引发第一次数学危机。古希腊毕达格拉斯学派认为，任何数都可以用直尺在2数轴上标出，亦即

5、，数是由整数和分数组成的。而却无法用直尺在数轴上标出，2只能借助于圆规才能在数轴上画出。的发现动摇了毕达格拉斯学派的理论基础，22发现的门徒被沉河淹死了。的存在性是显然的，但这个数的具体值该如何计算，其实我们并不知道。构造数列， x= 2 ， x= 1 (x+ 2 ) ， n = 1, 2 ,1n+12nxx 2nxnn显然 x 0 ， x= 1 (x+ 2 ) =2 ，即数列 x2具有下界。nn+12 - x22nxnnx- x =n+1nn 0 ， x x ，即数列 x 单调下降。2xn+1nnn据单调有界数列存在极限的准则，lim x存在，设 lim x = an nn n1212对 x

6、=(x +) 两边取极限，有 a =(a +) ， a2 = 2 ， a =2 （ a = - 2 不合n+12nx2an题意，舍去）。2故lim x =n n注：21、据极限的意义可知，当n 充分大时， x 。n2、如果用户精度为e = 10-8 ， x -n e ，由于的精值无法知晓，x -无222n法直接计算，我们用xn+1- x e 来近似替代。当xnn+1- x e 时，可取nx2 n作为其达到精度要求的近似值。用 x- x e 作为计算精度估计的方xn+1法，称之为事后估计法。3、其算法如下：n+1n1 给定 x1= 2 ， e = 10-82 反复做以下操作12计算 x=(x+)

7、 ， e = x - x221x211如果 e e ，则跳出循环；否则，x = x123 输出近似值 x224、引例 1-1 的求解过程，体现了计算方法中离散化特点。从数学角度来看，计算型的问题。它被转化成计算数列12，实际上求方程 x2 - 2 = 0 的正实数根，是一个连续x = 2 ， x= (x + ) （ n = 1, 2 ,）1n+12nxn这一离散型的问题。离散化方法是计算方法中最常用的手段之一。【引例 1-2 】设 x = 1.2 ，计算多项式 p(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 的值。简单地将 x = 1.2 代入到 p(x) 中，计算 p(1.2)

8、 的值，是可行的，但这种做法不是计算方法的风格。因为这种做法没有一般性，一旦多项式的次数增高或者多项式的系数被改变，需要重新进行计算。因此，我们需要设计一种算法，它不依赖于某个具体的多项式。p(x) = x3 (x + 2) + 3x2 + 4x + 5= x2 ( x(x + 2) + 3 ) + 4x + 5= x( x( x( x + 2 ) + 3 ) + 4 ) + 5引入变量u = x + 22u = x u + 332u = x u + 443u = x u + 554观察发现，这些算式的形式基本上是一样的。为了上述算式更一致，引入数组变量a5 = 1,2,3,4,5 ，上述式了

9、可改写为u = x a + a212u = x u + a323u = x u + a434u = x u + a545再引入变量u1= a ，上述式子可进一步改写为1u = x u + a212u = x u + a323u = x u + a434u = x u + a545即 u = x un+ an-1n（ n = 2 , 3 ,4,5 ）可见，当我们给定a5 = 1,2,3,4,5 ，取 u1= a ，利用递推式1u = x un+ an-1n（ n = 2 , 3 ,4,5 ）求出 u5注：，就得到了 p(1.2) 的值。1、上述算法称之为秦九韶算法。它将多项式求值转化成一个递推式

10、的计算。递推化方法也是计算方法中另一个最常用的手段。2、算法如下1输入a5 = 1,2,3,4,5 ， x = 1.2 ，取 u = a112对于 n = 2 , 3 ,4,5 ，计算u = x u+ ann-1n3输出un如果不要求给出数组u，算法还可以简化成为1输入a5 = 1,2,3,4,5 ， u = a ， x = 1.22对于 n = 2 , 3 ,4,5 ，计算u = x u + an3输出u从上述两个引例，我们可以看出计算方法处理问题的一些常用手段与基本过程。当然也了解了学习计算方法的必要性。二误差进行近似计算，少不了对计算误差的估计。（一）绝对误差、相对误差的定义设 x 为精

11、确值， x * 为近似值，则 x - x* 称为绝对误差。由于 x 通常是未知的，因为如果已知，我们没必要去求它的近似值。因此，x - x* 通常是无法计算的，一般只能估计出它的上界，即x - x* d我们通常称 d 为误差限。x - x*xx - x*x*或称之为相对误差。（二）有效数字的定义1 数的m 阶码表示法x* = 0.a a1 2a 10mn其中 a , a ,12, a 是0到9之间的自然数且 an1 0 。例如： x* = 0.0541231的 m 阶码表示形式为x* = 0.54123110-12 有效数字定义设 x* = 0.a aa 10m ，如果1 2n1x - x*

12、10m-l2则称 x *具有 l 位有效数字。11例如：设 x = 0.054039412 ， x* = 0.0541231，问 x* 具有几位有效数字？ 因为x* = 0.54123110-1x - x* = 0.000083688 10-3 =10-1-222故 x* 具有 2位有效数字。（三）运算误差的估计1 加法误差设 x* 是 x 的近似值，且 x - x* d， y* 是 y 的近似值，且y - y* dxy那么 x* + y* 就是 x + y 的近似值，其误差限为(x + y) - (x* + y*) = (x - x*) + ( y - y*) x - x* + y - y*

13、 d + dxy2 乘法的误差(xy) - (x* y*) = (xy - xy*) + (xy* - x* y*) x y - y* + y* x - x* x* dy这里，为了计算方便，我们将x 用 x* 来代替。减法与除法的误差估计请同学们自学。【例题 1-1 】数列 x 满足递推式n+ y* dxx = 10xnn-1-1 （ n = 1, 2 ,）2若取 x =0解析： 1.41，给出 xn的误差估计。11这里， x* = 1.41 ， e = x - x* =2 -1.41 0.00421 10-2 =101-3000022即 x* 具有 3位有效数字。0e = xnn- x*n=

14、 10 xn-1- x*n-1= 10en-1从 而 en= 101 en-1= 102 en-2= 10n e01这表明，计算 x的近似值 x* 所造成的误差，是原来初始误差e 10-2 的10n 倍。nn0211例如， x 的近似值 x* 的误差将达到 e 1010 10-2 =108 。1010注：10221 从计算方法的角度来看，上述递推算式在数值计算上是不稳定的。因为，即使初始误差非常小，但随着计算次数的增大，其误差将依指数级的增长。其计算出的结果越来越不可靠。2 但如果将算式倒过来，即x= 1 x+ 1 ，那么， e= 1 e，如果已知 x 的n-110 n10n-110 n10近

15、 似 值 x*以 及 它 们 的 误 差 e， 计 算 出 x*, x* , x* 的 误 差 逐 渐 减 小 为10109801 e , 1 e, 1e ，这样的算法从数值计算的角度来看，它是稳定的，可取10 10102 101010 10的。（四）函数值计算误差的估计设 x * 是 x 的近似值，且x - x* dx简单地处理为， f (x* ) 作为 f (x) 的近似值，其误差估计可f (x) - f (x*) = f (x*) x - x* f (x*) dx2【例题 1-2 】计算 ( 2 -1)6 ，取(3 + 2 2) 499 - 70 2 ， (3 - 2 2) 4 ，1=

16、1.4 ，采用下列算式来计算问哪一个算式的计算效果最好？ 解析：这些式子之间的关系( 2 -1)6 = ( 2) 6 - c1 ( 2)5 + c2 ( 2) 4 - c3 ( 2)3 + c4 ( 2) 2 - c5 ( 2) + c6 ( 2) 02666666= 8 - 6 4 2 +15 4 - 20 2 2 +15 2 - 6+1= 99 - 70 2( 2 -1)6 = ( 2) 2 - 2( 2) +1 4= (3 - 2 2) 4(3 - 2 2)(3 + 2 2)4(3 + 2 2) 4(3 + 2 2) 4( 2 -1)6 = (3 - 2 2) 4 =1211x = 1.

17、4142 ， x* = 1.4 ， x - x* =2 -1.4 = 0.0142 10-1 =101-222即 x* = 1.4 作为 x =2 的近似值具有 2位有效数字。用( 2 -1)6 来计算的误差估计如下：取 f (x) = (x -1)61f ( 2) - f (1.4) 6 (1.4-1)52 -1.4 0.06144 10-12用 99 - 70 2 来计算的误差估计如下： 取 f (x) = 99 - 70x1f ( 2) - f (1.4) -702 -1.4 70 10-12用(3 - 2 2) 4来计算的误差估计如下： 取 f (x) = (3 - 2x)41f (

18、2) - f (1.4) -8 (3 - 2 1.4)32 -1.4 0.064 10-121(3 + 2 2) 4用来计算的误差估计如下：取 f (x) =1 (3 + 2x)4-81f ( 2) - f (1.4) (3 + 2 1.4)52 -1.4 0.00121 10-12比较误差值，上述四个算式的计算效果优劣次序为(3 + 2 2) 41最优， ( 2 -1)6 与(3 - 2 2) 4 相当， 99 - 70 2 最差。三数值计算中应注意的一些原则1 避免两个相近数的相减在数值计算中，两个相近数相减时，会损失有效数字。【引例 1-3 】计算 8 -63 ，要求其近似值具有 3位有

19、效数字。1163x = 7.9373 ，若取 x* = 7.94 ， x - x* = 0.0027 10-2 =101-322这表明 x* = 7.94 具有 3位有效数字。如果直接采用算式 8 -63 来计算638 - 8 - 7.94 = 0.0663它只有 1位有效数字。如果改用算式 8 -=1来计算8 +6318 +631=1 0.06278 + 7.9415.94它可达到 3位有效数字。2 避免用“小数”去除“大数”用绝对值小的数作除数，舍入误差会增大，而且当很小的数稍有一点误差时， 对计算结果影响很大。例如， 2.7182 = 2718.20.001如果分母变为 0.0011 ，

20、即分母发生了 0.0001 的变化，而2.7182 = 2471.10.0011计算结果却引起了很大变化。3 避免大数“吃掉”小数【引例 1-4 】在五位浮点十进制计算机上计算S = 12345 + 1000 d ，其中 0.1 d 0.9iii=1为了简便，我们不妨取di= 0.9 来说明问题。在计算机计算时，首先要将数据“规格化”，即将数据表示成为m阶码形式，于是12345 = 0.12345 105d = 0.9 100i然后将数据“对阶”，即以数据中10 的幂次最大者为基准，使数据的10 的幂次取得一致，于是12345 = 0.12345 105d = 0.000009 105i由于采

21、用五位浮点十进制，小数点后只保留五位，于是di在计算机内被表示成了d = 0.00000105 D0iS = 0.12345105 + 0.00000105 + 0.00000105 = 0.123451051000个结果显然是不可靠，这是由于运算中出现了大数12345 “吃掉”小数 d 造成的。i注：如果计算时先把数量级相同的1000 个d 相加，最后再加上 12345 ，就不会出现大数“吃i掉”小数现象。即先求 S1= 1000 dii=1，显然0.11000 S1 0.9 1000 ， 即 100 S1 900再求 S = 12345 + S ，此时，大数 12345 再也“吃不掉”数

22、S 了。114 尽量减少运算次数运算次数太多，会增加误差的累积，当然也会增加计算机上的计算时间。因此， 应尽量选择有效的算式，减少运算次数。【引例 1-5 】利用展开式1111ln(1+ x) = x -x2 +x3 -x4 + (-1)n-1xn +234n1111我们可以计算 ln 2 的近似值。因为ln 2 = 1-+-+ (-1)n-1+234nln2 的近似值大约为 0.6931 。若取前 10 项计算( -1 x 1)ln 2 = 1- 1 + 1 - 1 +234若取前 100 项计算ln 2 = 1- 1 + 1 - 1 +234若取前 1000 项计算ln 2 = 1- 1

23、+ 1 - 1 +234- 1 0.645610- 1 0.6882100-1 0.69261000可见，这一算式的计算效率较差。我们对这一算式进行改造1111- ln(1- x) = x +于是x2 +x3 +x4 +234+ n xn +( -1 x 1)11+ x111ln= x +x3 +x5 +x2n-1 +( -1 x 1) 21- x352n -1111 11 111取 x =， ln 2 = 2 +( )3 +( )5 +( )2n-1 + 333 35 32n -1 3仅取前 3项进行计算，便有 +11 11 12 ( )3( )5 0.693033 35 3可见这一算式的计

24、算效率要高得多。注：1 在计算方法，提高计算效率的技术，我们一般称之为加速技术。2 第 1 式计算效率低下的原因，是因为该级数收敛得太慢，想要获得一定精度牟近似值， 只能取项数n 非常大，增多了累加项的计算，引起舍入误差的积累；当项数n 较大时，项数(-1)n-1(-1)nn， n + 1 是两个相近数可减，会造成有效字的损失。如果将部分和数列的散点图，观察可以发现，部分和数列在收敛值ln2 的上下跳动。可见，这种带有符号的无穷项相加，如果只是简单相加，其计算效果并不好。close %关闭所有的图形窗口clear all%清除命令空间的所有变量n=input(请输入求和项数n=,n); t=1

25、;%交错符号赋初值1s(1)=1;%部分和数组第1项for k=2:nt=t*(-1); s(k)=s(k-1)+t/k;endfprintf(近似值s(%d)=%10.9fn，n,s(n); % %10.9指整长10位，小数后留9位，亦即整数位1位，小数位9位%作部分和数列折线图hold onk=1:n; plot(k,s,b)plot(1,n,log(2),log(2),r) hold off程序运行的结果如下：请输入部分和数列的项数n=100 部分和s( 100)=0.68817217910.90.80.70.60.5020406080100武汉工程大学教师教案规范格式计算方法课程教案课

26、程名称计算方法总学时数68（上机 20） 本章名称插值法本章时数8授课对象 08 信息与计算科学授课学期 2007-2008 第 2 学期教 研 室 信息与计算科学授课教师江世宏教江世宏老师有丰富的数学、计算机有关课程的教学经验。承担计算方法的教学工作已有 10 多年。同意该老师担任本门课程的主讲工作。该老师备课认真，其教案质量、格式，基本上达到了教务部门的要求。研室意教研室主任签字：戴祖旭见2008 年 12 月 15 日院同意教研室的意见。系部意院（系、部）签字：何菊明见2008 年 12 月 15 日教务处意见教务处签字：2008 年 12 月 15 日第二章插值法本章主要内容：拉格朗日

27、插值、牛顿插值、分段线性插值、三次样条插值。教学目的及要求：使学生掌握拉格朗日插值、 牛顿插值、分段线性插值、三次样条插值； 会在MATLAB 环境下，通过编程计算拉氏插值、牛顿插值、分段线性插值；了解龙格现象、差商表的构造以及差商的性质。教学重点：拉氏插值、牛顿插值公式，各类插值的误差估计方法。教学难点：三次样条插值。教学方法及手段：课堂教学上，主要介绍拉格朗日插值多项式的构造公式，误差估计。通过对拉氏插 值多项式存在的缺点，引入牛顿插值，埃尔米特插值，分段线性插值以及三次样条插值。在实验教学中，通过具体实例，让学生掌握拉氏插值的编程，牛顿插值以及误差估计的编程；了解龙格现象以及分段线性插值

28、的收敛性实验；初步了解三次样条函数的编程。教学时间：本章的教学的讲授时间为8学时，实验学时 4学时。第二章 插值法插值多项式定义实际问题的某种内在规律的数量关系一般用函数y = f (x) 表示。有两种情况， 使得该函数在使用上不方便。情况 1：虽然 f (x) 在某个区间 a,b 上存在，但却只能给出a,b 上一系列点 x 的函i数值 yi= f (x )( i = 0,1, 2, n ), 这只是一张函数表。i这里很自然地提出一个问题，能否根据这些离散的函数表，给出该函数的一个近似的解析表达式。情况 2：虽然已知 f (x) 的解析表达式，但该解析表达式计算复杂，使用不方便。这里很自然地提

29、出一个问题，能否只根据该函数的某些具体点处的函数值，用一个简单函数来近似地代替这个复杂函数。我们所提出的问题可以更明确化一些。即，希望根据给定的函数表构造出一个既能反映函数 f (x) 的特征，又便于计算的简单函数p(x) ，用 p(x) 近似 f (x) 。通常选多项式作为 p(x) 。插值多项式定义设函数 y = f (x) 在区间 a,b 上有定义， 且已知在点 a x0 x 1 x b 上的n值 y , y , y ，若存在一个 n 次的多项式 p(x) ，使得01np(x ) = y( i = 0,1, 2, n )（ 2.1 ）ii成立，则称 p(x) 为 f (x) 的 n 次拉

30、格朗日插值多项式，点x , x , x 称为插值节点，01n包含插值节点的区间 a,b 称为插值区间。注：1 上述定义中的 (2.1) 式通常称为插值条件，它是n+1 个条件。2 插值多项式的几何意义如下求曲线 y = p(x) ，使其通过给 定的n+1 个点 ( x , y) ( i = 0,1, 2, n ) ，并用它=ii近似已知曲线 yf (x) 。二插值多项式存在唯一性与余项这样的插值多项式是否存在并且唯一呢？对此，有如下结论：= a + a x【定理 1】插值多项式存在且唯一。证 明 设 p( x) = a + a x + a x2 + a xn012n由插值条件 (2.1), 有

31、p(x ) = a + a x + a x2 + a x n = y001 02 0n 00p(x ) = a + a x + a x2 + a x n = y101 12 1n 11（ 2.2 ）p(x )+ a x2 + a x n = yn01 n2 nn nn式(2.2) 是一个关于未知量 a , a , a的线性方程组，其系数矩阵的行列式是一个范德蒙行列式01nx n0x n1x n n1 xx200=1 x x2V111 xx2nn由于插值节点 x , x , x 是互异的，所以 V 0 。01n从而线性方程组 (2.2) 有唯一解 a , a , a ， p(x) 存在且唯一。0

32、1n注：1 上述定理的证明了插值多项式的存在唯一性，它表明： 由n+1 个插值条件可唯一地确定一个 n次拉氏插值多项式。在具体确定插值多项式p( x) = a + a x + a x2 + a xn012n需要求解线性方程组 (2.2) 。下面，我们给出一个在 MATLAB 中，求插值多项式的例子。【例 2-1 】对于函数表xi-1125yi-77-435求次数不超过 3的拉氏插值多项式。在MATLAB 中，输入命令format rat使数据格式采用有理数形式。输入列向量x=- 1,1,2,3,y= -7,7,- 4,35利用MATLAB 矩阵拼装运算方法 ,构造出线性方程组 (2.2) 的系

33、数矩阵A=x.0,x.1,x.2,x.3求解 Ay可得到 ans=10,5,- 10,2这表明p(x) = 10 + 5x -10 x2 + 2x32 必须指出， 尽管利用现有的软件求解线性方程组(2.2) 尚显得方便， 但利用这一方法构造拉氏插值多项式不易编程。在实际应用中，拉氏插值多项式的构造，并不采用这一方法，而是采用基函数法或者牛顿法。p(x) 作为 f (x) 的近似一定存在误差，用R(x) = f (x) - p(x) 来表示它的截断误差， R(x) 也称之为余项。下面，我们导出R(x) 的具体表达形式。因为R(x ) = f (x ) - p(x ) = 0( i = 0,1,

34、2, n )iii故 R(x) = f (x) - p(x) = k (x - x )(x - x )(x - x) ， k 为待定函数01n显然对于一切位于插值区间a,b 且异于 x , x , x 的 x ，上式仍然成立01n故 k 应是与 x 有关的某个函数，记k = k (x) ，即R(x) = f (x) - p(x) = k (x)(x - x )(x - x )(x - x )01n为了定出 k (x) ，我们构造一个辅助函数F(t) = f (t) - p(t) - k (x)(t - x )(t - x )(t - x )01n并假定 f (x) 在a,b 区间上具有 n+1

35、 阶导数。F(t) 在 x , x , x以及 x x( i = 0,1, n ) 的n+2 个点处为零， 利用罗尔定理，01niF(t) 具有n+1 个零点， F(t) 具有n个零点，如此下去， F( n+1) (t) 具有 1个零点，设该零点为 x ,于是 F( n+1) (x ) = 0 。又F( n+1) (t) = f ( n+1) (t) - p( n+1) (t) - k (x)(n +1)! = f ( n+1) (t) - k ( x)(n +1)!F( n+1) (x) = f ( n+1) (x) - k (x)(n +1)! = 0k (x) =故 R(x) =f (n

36、+1) (x )(n +1)!f (n+1) (x ) (x - x )(x - x )(x - x )(n +1)!01n【 定 理 2 】 设 f ( n ) (x) 在 a,b 上 连 续 ， f ( n+1) ( x) 在 (a,b) 内 存 在 ， 节 点a x0 x x1n b ， p(x) 是满足插值条件(2.1) 的插值多项式， 则对任何x a, b ，插值余项R(x) = f (x) - p(x) = f (n+1) (x ) (x - x )(x - x )(x - x ) x (a, b)(n +1)!01n注：余项表达式只有在f ( n+1) (x) 存在时才能应用，

37、x 在(a,b) 内的具体位置通常不可能给出，如果我们可以求出 max f (n+1) (x) = Ma xbn+1，那么插值多项式 p(x) 逼近 f (x) 的M(n +1)!n+1截断误差限是R(x) wn+1(x)这里w(x) = (x - x )(x - x )(x - x ) 。n+101n通常，我们利用此式来估计误差。三用基函数构造拉格朗日插值多项式利用求解线性方程组 (2.2) 求拉格朗日插值多项式不便计算机实现，不易编程。在实际应用中，一般采用基函数法来构造。下面，我们介绍这一方法，这里，我们将n次拉格朗日插值多项式用L (x) 来记。n设 L (x) = l (x) y +

38、 l (x) y + l (x) yn0011nn其 中 l (x) , l (x) , l (x) 是待定的 n次多项式。01n由于 L (x) 要满足插值条件L (x ) = y( i = 0,1, n ) ，我们很自然地要求n 1j = iniil (x ) = ( i , j = 0,1, n )ij 0j i显然， x0, x , x1i -1, xi +1, xn是 l (x) 的零点，于是il (x) = A (x - x )(x - x )(x - x)(x - x)(x - x )i01i-1i+1n由于这一多项式已经是 n次的，这里的 A 为待定常数。利用条件 l (x ) = 1，可得iiA = (x - x )(x1- x )(x - x)(x - x)(x- x )i0i1ii -1ii +1in(x - x )(x - x )(x - x)(x - x)(x - x )01于是l (x) =i(x- x )(x- x )(xi-1- x)(xi +1n- x)(x- x )i0i1注：ii -1ii +1in1 在计算机上构造拉格朗日插值多项式，采用以下式子进行编程l (x) = nx - x j( i = 0 ,1, n )ij =0j ix - xijL (x) = nni=0l (x) yii2 计算的程序