《复变函数与积分变换》习题册.docx

《《复变函数与积分变换》习题册.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《复变函数与积分变换》习题册.docx（26页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。一、填空题1、若等式i(5 - 7i) = (x + i)( y - i) 成立，则 x = , y = .2、设(1+ 2i)x + (3 - 5i) y = 1- 3i ，则 x =， y =.3、若 z4、若 z123i，则 zi1i(3i)(25i) ，则Re z2i2 + i 5、若 z = i4 -1+ i，则 z =6、设 z = (2 + i)(-2

2、 + i) ，则arg z =7 复数 z = 1- i 的三角表示式为， 指数表示式为。128 、复数 z = - 2i 的三角表示 式为 ，指数表示 式为 .9、设 z1= 2i z,2i p= 1 - i ，则 Arg ( z z1 2) =_ .10、设z = 2e 4 ,则 Rez= . Im(z) =。 z11、.方程 z 3 + 27 = 0 的根为 .12 、 一 曲 线 的 复 数 方 程 是 z - i = 2 ， 则 此 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程为。13、方程Im(i - z) = 3 表示的曲线是 .+14、复变函数w = z - 2 的实部u(x, y) =

3、 ,虚部v(x, y) = .z115、不等式 z -1 + z +1 1+ 3i .()2、若z 为纯虚数，则 z z .()3、若 a 为实常数，则a = a（）4、复数 0 的辐角为 0.5、 f (z) = u + iv 在 z0= x + iy00点连续的充分必要条件是u( x, y), v( x, y) 在( x , y ) 点连续。（）006、设 z , z 为复数，则 z z= z z 。（）121 2127、 z1+ z = z + z（）2128、参数方程z = t 2 + ti （ t 为实参数）所表示的曲线是抛物线 y = x2 .()三、单项选择题1、下列等式中，对任

4、意复数 z 都成立的等式是（）A.z z =Re(z z )B. z z =Im(z z )C. z z =arg (z z )D. z z =|z|2、方程 z3 = 8 的复根的个数为（）A. 3 个B. 1 个C.2 个D.0 个1+ i3、当 z =1- i时， z100 + z75 + z50 的值等于（）A iB -iC 1D -14、方程 z + 2 - 3i =2 所代表的曲线是（）2A 中心为2 - 3i ，半径为的圆周2B 中心为-2 + 3i ，半径为2 的圆周C 中心为-2 + 3i ，半径为的圆周D 中心为2 - 3i ，半径为2 的圆周四、计算题1. 求出复数 z

5、= (-1 + i 3) 4的模和辐角。2. 设 z = x + iy 满足Re( z 2 + 3) = 4, 求 x 与 y 的关系式3、将复数 z = 12 - 6i 化为三角表示式和指数表示式。4、求复数1cosi sin ,(0) 的三角表示式、指数表示式及幅角主值。5. 将直线方程2x + 3 y = 1化为复数形式。6、求以下根式的值：-2 + 2i（1）(2)3 i41(3)第二章解析函数本章知识点和基本要求理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的 C-R 条件，并能利用 C-R 条件判断复变函数的可导性和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及

6、对数函数的定义及它们的主要性质。一、填空题1、 Ln(1+ i) 的主值为2、 Ln( i) =，主值为3、设ez = -3 + 4i, 则Re(iz) = 4、3i = .5、(1 + i)i = .6、i1+i = 7、指数函数e z 的周期是8、设 f (z) = (1- z)e- z ，则 f (z) =9、设 f (z) = x3 + y3 + ix2 y2 ，则 f (1+ i) =10、已知函数 f (z)(2 x1)yv(x, y)i 解析，则 f (i)11、.函数 f (z) = u + iv 在 z0= x + iy00点连续是 f (z) 在该点解析的 条件。二、判断题

7、（正确打，错误打 ）1、.若 f (z) 在区域 D 内处处为零，则 f (z) 在 D 内必恒为常数。 （）2、.若 f (z) 在 z0点不解析，则 f (z) 在 z0点必不可导。（）3、函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在点 z0= x + iy00可微等价于 u(x, y)和v(x, y) 在点( x , y ) 可微。（）004、 sin z 1.（）5、函数ez 是周期函数。（）6、设函数 f (z) 在点 z0处可导，则 f (z) 在点 z0处解析。（）7、对于任意的复数 z , z12，等式 Ln(z .z1 2) = Lnz1+ Lnz2恒成立。

8、（）8、不等式Re(z) 2 表示的是有界闭区域。（）9、对于任意的复数 z ，整数n ，等式 Lnzn = nLnz 恒成立（）三、单项选择题1、下列点集是单连域的是（）A Re( z)2B.1C. z1D. 23zarg Z22、下列所示区域中是多连域的为（）A. Im z 0B. Re z 0C. 0 z 1D. p arg z p433、函数 f (z) 在点 z 可导是 f (z) 在点 z 解析的 （）A充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分又不必要条件4、下列说法正确的是（）A、 f (z) 在 z0可导的充要条件是 f (z) 在 z0处解析。B、 f

9、(z) 在 z0C、 f (z) 在 z0可导的充要条件是 u, v 在 z0可导的充要条件是 f (z) 在 z0处偏导数连续且满足C - R 条件。处连续。D、 f (z) 在 z0可导的充要条件是u, v 在 z0处可微且满足C - R 条件5、在复平面上，下列关于正弦函数 sinz 的命题中，错误的是（）A.sinz 是周期函数B.sinz 是解析函数C.|sinz| 1D. (sin z) = cos z6、以下说法中，错误的是（）A复指数函数ez 具有周期B.幂函数 z a (a 为非零的复常数)是多值函数C对数函数 Lnz 为多值函数D.在复数域内sin z 和cos z 都是有

10、界函数7、设 f (z) = sin z ，则下列命题中错误的是（）。A f (z) 在复平面内处处解析B f (z) 以2p 为周期C f (z) = eiz - e-izD f (z) 是无界的2四、计算题判断下列函数在何处可导，在何处解析？(1) f (z) = 2x3 + 3 y3i(2) f (z) = (x - y)2 + 2(x + y)i(3)f (z) = xy2 + ix2 y第三章复变函数的积分本章知识点和基本要求了解复变函数积分的定义及性质； 会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0 掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用

11、各定理计算闭路积分。一、填空题1、设曲线C 是正向圆周z = 2 ，则C1z -1dz =， C1(z -1)2dz =，ez(z -1)2Cdz =。2、设 C 为从点 z1= -i 到点 z2= 0 的直线段，则 zdz = .C3、若 C 为正向圆周 z = 2，则 1 dz = .C z4、若 f (x) = 2z2 + z +1，x 2 ，则 f (3+ 5i) = , f (1) =.f (1) =z =2z -xdz5、 ez dz(c : z = 4) 的值是c z - 3二、单项选择题1、若 f(z)在 D 内解析， F(z) 为 f(z)的一个原函数，则（）A. f (z)

12、 = F(z)C. F(z) = f (z)B.f (z) = F(z)D. F (z) = f (z)2、下列积分中，积分值不为 0 的是（）A. (z3 + 2z)dz ， z -1 = 2B. ezdz ， z = 2CcC. sin zdz ， z = 1D. cos z dz ， z = 2zz -1cc三、计算题1、沿下列路径计算积分 zdzC(1) 从原点到3 + i 的直线段(2) 从原点沿实轴到 3，再从 3 垂直向上到3 + i 。2、沿下列路径计算积分 z2 dzC(1) 从原点到1+ i 的直线段(2) 从原点沿实轴到 1，再从 1 垂直向上到1+ i 。3、计算 i

13、cos zdz 。4、计算积分 3+i (2 z - 3)dz.005、 (x - y + ix2 )dz ，其中C 是从点0 到1+ i 的直线段。C6、设 C 为从-2 到 2 的上半圆周，计算积分2z - 3 dz 的值。Cz7、 1dz ， C 为正向圆周 z = 2C z2 -18、计算积分 dz，其中C 为圆周 Z = 3 ，且取正向。C (z - i)(z + 4)9、计算 2z +1+ 2idz ，其中 C 为正向圆周 z = 3 .C (z +1)(z + 2i)10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）（1） z -1 dz ， z = 3（2）c z(z - 2)dzc

14、(z - i )(z + 2) 2， z = 1（3） cos z dz ， z = 1c z3(4)eizc (z - i)3dz ， z - i = 1第七章 傅里叶变换本章知识点和基本要求掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式； 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念； 了解d 函数的概念、性质及其傅氏变换， 了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。一、填空题1、设 f (t)0, te 5t , t0，则 F f (t)0e-bt ,t 02、设 f (t) = 0,t 0 ，则 F f (t) = 3、 F1= 4、设 F f (t) =1，则 f (t) =；a +

15、 iw5、设 f (t)sin 2 t ，则 F f (t)；6、设 F f (t)F ( ) ，则 F(t5) f (t)；7、设 F f (t) = F (w) ， t0为实常数，则 F f (t - t0) =；8、 Fd (t - t0) =；9、设 F f (t)F ( ) ，则 f (1- t) 的傅氏变换 F f (1- t) =；10、 F f (t) = F (w) ，则 F t f (t )dt = -2211、已知 f (t) = t ，且 F f (t) = -w 2二、单项选择题，则 F -1- =(w - 2)21、下列变换中，正确的是()A. Fd (t) = 1

16、B. F1= d (w)C. F -1d (w) = 1D. F -11= u(t)2、设 F f (t) = F (w) ，则 F(t -1) f (t) 为()A. iF (w) + F (w)B. iF (w) - F (w)C. -iF (w) + F (w)D. -iF (w) - F (w)3、d (t - t0)的傅里叶变换 F d (t - t )为（）0%0.1 B。t 0C。e -iwt0D。e iwt04、设 F f (t) = F (w) ，则 F(2t - 3) f (t) =（）A. 2iF (w) - 3F (w)B. 2iF (w) + 3F (w)C. -2i

17、F (w) + 3F (w)D. -2iF (w) - 3F (w)5、设 F f (t) = F (w) ，则 F(t - 2) f (t) =（）A. F (w) - 2F (w)B. -F (w) - 2F (w)C. iF (w) - 2F (w)D. -iF (w) - 2F (w)6、设 f (t) = coswt ，则 F f (t) =（）0A. pd (w + w ) + d (w -w )B. pd (w + w ) -d (w -w )0000C. ipd (w + w ) -d (w -w )D. ipd (w + w ) + d (w -w )00007、设 f (t

18、) = d (2 - t) + eiw0t ，则 F f (t) =（）A e-2wi + 2pd (w -w )B e2wi + 2pd (w -w )00C e-2wi + 2pd (w + w )D e2wi + 2pd (w + w )8、设 f (t) = sin w00t ，则其傅氏变换 F f (t) =（）0A.d (w + w ) -d (w -w )B. ipd(w +w ) -d(w -w )0000C. pd (w + w ) -d (w -w )D. ipd (w + w ) + d (w -w )0000三、计算题0, - t -12, -1 t 01、已知函数 f

19、 (t) =1,0 t 20, 2 t +，求它的傅里叶变换。2, 1t00, 其 他2、求函数 f (t)2, 0t1 的傅里叶变换；3、求函数 f (t) = 0, t 0 ）的傅氏变换及其积分表达式。e tt 0 0, t p4、求函数f (t) = sin t t p sin wp sinwt的傅氏变换，p sin t, t p 并证明 +01-w2dw = 2；0, t p5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换（1） F ( ) (55)(05)0（2） F (i (55)()0506、用傅里叶变换求解下面的微分方程x(t) + x(t) = d (t), - t +7、设 F

20、f (t) = F (w ) ，列表给出下列函数的付里叶变换：f (t), f (t), tf (t), t 2 f (t), f (t - t ), f (t + t ) ， t f (t )dt, f (at)00-1,d (t),d (t - t0),d (t + t00, t 0) 的拉氏变换为（）A. 1B. -1C. 1D. -1S - as - a1(s - a)2(s - a)24、若 F (S ) =S 2 +1e- S ，则 L-1F (S ) = （）A. sin(t -1)B. u(t -1)sin tC. u(t)sin( t -1)D. u(t -1)sin(t -

21、1)5、设 f (t) = e-2t cos3t则 L f (t) = （）A. 3B. S + 2(S + 2)2 + 9(S + 2)2 + 9C.3SD.3(S + 2)(S + 2)2 + 9(S + 2)2 + 96、函数 F (s) =s2 s2 +1的拉氏逆变换为（）A. d (t)cos tB. d (t) - cos tC. d (t)(1- sin t)D.d (t) - sin t=7、设 F (s)e- S，则 L-1F (S )（）S (S + 2)Ae-2( t -1)u(t -1)B u(t -1) - e-2( t -1)u(t -1)11C1- e-2( t

22、-1) u(t -1)Du(t) - e-2( t -1)u(t -1) 22三、计算题1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。t(1)f (t)eat sin 2 t（2） f (t)cos25(3) f (t)2sin att sin at(4)f (t)e2t3e5t(5) f (t) = e2t + 5d (t)(6) f (t) = e2t + tet(7) f (t) = eat sin t（9）f (t) = t cos at（11） f (t) = sin t u(t - 2)（8） f (t) = sin 2 2t（10） f (t) = (t - 2)2 et（12）

23、f (t) = sin(t - 2)（13） f (t) = te-t sin 2t（14） f (t) = sin(t - 2) u(t - 2)2 、 已知 f (t)10, tsin t, t0 ， f (t)0, t02cos t, t0， 求 f (t) 与 f012(t) 的卷积f (t)f12(t) .3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。1(1) F (S )S (S1)(2) F (S )e 5SS 21(3) F (S )b(Sa)(Sb)(4) F (S ) =1S (S -1)(5) F (S ) =S + 3(S + 2)(S - 3)(6) F (S ) =S

24、 2 S 2 +1(7) F (s) = 2s + 3s2 + 9(8) F (s) =4(s + 4)(s + 2)(9) F (s) =s2 + 2s -1s(s -1)24、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。(1) y3 y2 y6e t , y(0)0, y (0)0（2） y - y = e2t -1 ， y(0) = 0(3) yyet ,y(0)0(4) y (t) - 2 y(t) + 2 y = 2et cos t 满足初始条件： y(0) = 0 y (0) = 0 的特解。(5) y (t) - 3 y (t) + 2 y = 2e-t 满足初始条件： y(o) = 2,

25、y (0) = -1 的特解。5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。(1) x yxyet4x2 y11et,x(0)y(0)1(2) 2xyxyx1, x(0)0, x (0)0, y(0)00(3) x + x - y = et y + 3x - 2 y = 2et, x(0) = y(0) = 1(4) 2x - y - y = 4(1- e-t )2x + y = 2(1+ 3e-2t )（ x(0) = 0, y(0) = 0 ）参考答案第一章 复数与复变函数一、填空题1、 x = 1, y = 62、 x = -4 , y = 53、 1 + 7 i4、- 131111222、5 -

26、1 - ipsin)6、p7、 2(cos- ip ， 2e-i p8、4(cos 5p - i sin 5p ) ，4e-i 5p462244669、2kp +p , k Z 10、1,1,1- i 11 3 +i,- 3,-12、x2 + ( y -1)2 = 43 33 3、34222213、 y = 214、 x2 + y2 - 2 - x , (x +1)2 + y22 y(x +1)2 + y215 、 x2 + y2 = 1433116、1,- 1 +i, -3 i2222二、判断题（正确打，错误打）1、2、 3、4、 5、 6、7、 8、 三、单项选择题1、A2、A3、B4、C

27、四、计算题2pp -i p！、z = 16; Argz = 2kp + 3 p , k Z2、x2 - y2 = 13、4 3 cos 3 - i sin 3 ;4 3e 32sin a cos p -a + i sin p -a ;2sin a ei p -aarg z = p -a4、2 ；222225、 z(t) = 3t - 1 + 2t i6、（略）。3第二章解析函数一、填空题1、ln2 + p i2、 2kp - 1 p i,- p i3、- Arg (-3 + 4i)422i ln 2 - p +2kp p +2kp (-1+i)44、ei ln3 -2kp5、e6、e 27、2

28、p i8、e- z (z - 2)9、3 + 2i10、2 - i11、必要条件二、判断题（正确打，错误打）1、 2、3、45、 6、 7、8、 9、 三、单项选择题ACBDCDC四、计算题61、仅在直线 y = 3x 上可导。函数在复平面上处处不解析2、仅在直线 y = x -1上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。对于直线 y = x -1上任意点 z3、仅在(0,0) 点处可导。函数在复平面上处处不解析。第三章复变函数的积分一、填空题1、2pi ， 0, 2p ei2、 12二、单项选择题3、04、0, 8pi, 10pi5、2p e3i1、C2、D三、计算题11221、(3 + i)

29、2 ， 4 + 3i2、(1+ i)3 ， -+i3、sin i23334、-1+ 3i5、 -1+ i36、3p i + 87、02p i4p +16pip i8、9、4pi10、2pi ， -p i ， -4 + i17e第七章 傅里叶变换一、填空题11、 5 + iw2、1b + iw3、2pd(w)4 、 f (t)0, t0e 2t , t025、pd (w)- 1 p d (w + 2)+d (w - 2)6、iF(w)+ 5F (w)7、e-iwt0F (w )8、e -iwt09、e-iwF (-w )10、二、单项选择题ABCACAAB三、计算题1 F (w)11、e2it

30、tiw14(1 cos )-2i sin wp1、(eiie 2i1)2、i3、见课本 P 例7 - 3 。 4、F (w) =1730,t 01-w25、（1） f (t)sin 5t（2） f (t)0cos5t6、 x(t) = 0e-t , t 07、（略）第八章 拉普拉斯变换一、填空题1、(t -1)u (t -1)3S1+()2、3、4、S 29S -1 2 +11S + 3- 5(S +3)e3S -15、(S -1)2 +1-2226、7、+ 18、 1 (sin t - t cos t )(S + 3)2 + 4(S -1)3(S -1)2S -129、 F (S ) F (

31、S )10、cos 4t + 1 sin 4t122二、单项选择题CDCDBDC三、计算题1 1-S - a 1 125S2a2aS1、+-2 S - a(S - a)2 + 4 2 S25S2 + 4 S 2 + a2S 2 + a2()21+3 1+ 51+11 S - 2S - 5S - 2S - 2(S -1)2(S - a)2 +1 1 1 -S S 2 - a22-4+42 SS2 +16()2()3()2S -1cos 2 + S sin 2S 2 + a2S -1S -1cos 2 - S sin 24 (S +1)e-2Se-2 SS 2 +1S 2 +1(S +1)2 +

32、42S 2 +112、 2t sin tb()1 ()3、 1- e-t sin(t -1)u(t -1) eat - ebt et -1 -e-2t - 6e3ta - b5 d (t )-sin t 2cos3 t + sin3t 2 (e-2t - e-4t ) 4tet - et + 24、e-t - 3et + 2e2t 1- 2et + e2tet - e-t )1 (2( )2 (S -1)( )17 Y S = () , y(t) = tet sin t y t = 3 e-t + 4et - 3 e2tS 2 - 2S + 2 25、x (t )= 2et - e3t , y (t )= 3et - 4e3t x (t )= 1- cost, y (t )= sin t x (t )= y (t )= et x (t )= 3 - 2e-t - e-2t , y (t )= 2 - 4e-t + 2e-2t