高中数学教案三角函数的图象与性质.doc

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1、精品文档精编习题三角函数的图象与性质一、知识网络 二、高考考点一三角函数的性质1、三角函数的定义域，值域或最值问题；2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇函数或偶函数的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比拟大小的判断等.3、三角函数的周期性；寻求 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的三角函数的周期.二三角函数的图象1、根本三角函数图象的变换；2、 型三角函数的图象问题；重点是“五点法作草图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式；3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用；4、利用函数图象解决应用问题.三化归能力以及关于三角函数的认知变换水平.三、知识要点一

2、三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性1根本函数的奇偶性奇函数：ysinx，ytanx；偶函数：ycosx.2 型三角函数的奇偶性gx xRgx为偶函数 由此得 ；同理， 为奇函数 . 为偶函数 ； 为奇函数 .3、周期性1根本公式根本三角函数的周期ysinx，ycosx的周期为 ；ytanx，ycotx的周期为 . 型三角函数的周期 的周期为 ； 的周期为 .2认知 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为 . 的周期 的周期为； 的周期为 .均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与的区别.假设函数为 型两位函数之和，那么探求周期适于“最小公

3、倍数法.探求其它“杂三角函数的周期，根本策略是试验猜测证明.3特殊情形研究ytanxcotx的最小正周期为 ； 的最小正周期为 ；ysin4xcos4x的最小正周期为 .由此领悟“最小公倍数法的适用类型，以防施错对象.4、单调性1根本三角函数的单调区间族依从三角函数图象识证“三部曲：选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间或减区间；获通解：在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族或减区间族循着上述三部曲，便可得出课本中标准的三角函数的单调区间族.揭示：上述“三部曲也适合于寻求简

4、单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.2y 型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲为换元、分解：令u ，将所给函数分解为内、外两层：yfu，u ；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出fu的单调性，而后利用1中公式写出关于u的不等式；复原、结论：将u 代入中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.二三角函数的图象1、对称轴与对称中心1根本三角函数图象的对称性正弦曲线ysinx的对称轴为 ；正弦曲线ysinx的对称中心为 ，0 .余弦曲线ycosx的对称轴为 ；余弦曲线ycosx的对称中心 正切曲线ytanx的对称中心为 ；正切曲线ytanx无对称轴.认知

5、：两弦函数的共性：x 为两弦函数fx对称轴 为最大值或最小值； ，0为两弦函数fx对称中心 0.正切函数的个性： ，0为正切函数fx的对称中心 0或 不存在.2 型三角函数的对称性服从上述认知对于gx 或gx 的图象x 为gx对称轴 为最值最大值或最小值； ，0为两弦函数gx对称中心 0.对于gx 的图象 ，0为两弦函数gx的对称中心 0或 不存在.2、根本变换1对称变换2振幅变换纵向伸缩3周期变换横向伸缩4相位变换左右平移5上、下平移3、y 的图象1五点作图法2对于A，T， ， 的认知与寻求：A：图像上最高点或最低点到平衡位置的距离； 2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离. ：图

6、象的相邻对称轴或对称中心间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离. ： 由T 得出. ：解法一：运用“代点法求解，以图象的最高点或最低点坐标代入为上策，假设以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，那么须注意检验，以防所得 值为增根；解法二：逆用“五点作图法的过程参见经典例题.四、经典例题例1、求以下函数的值域：1 2 3 4 5 6 分析：对于形如123的函数求值域，根本策略是化归为 的值域；转化为sinx或cosx的二次函数；对于456之类含有绝对值的函数求值域，根本策略那么是在适当的条件下考察y2；转化为分段函数来处理；运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.解：1 ，即所求函数的值

7、域为 .2由 注意到这里xR， ， 所求函数的值域为1，1.3这里 令sinxcosxt那么有 且由 于是有 因此，所求函数的值域为 .4注意到这里y0，且 即所求函数的值域为 .5注意到所给函数为偶函数，又当 此时 同理，当 亦有 .所求函数的值域为 .6令 那么易见fx为偶函数，且 是fx的一个正周期.只需求出fx在一个周期上的取值范围.当x0， 时， 又注意到 ，x 为fx图象的一条对称轴只需求出fx在0， 上的最大值.而在0， 上， 递增. 亦递增由得fx在0， 上单调递增. 即 于是由、得所求函数的值域为 .点评：解12运用的是根本化归方法；解3运用的是求解关于sinxcosx与si

8、nxcosx的函数值域的特定方法；解4借助平方转化；解56那么是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解6时表现得淋漓尽致.例2、求以下函数的周期：1 ；2 ；3 ；4 ；5 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为 k的形式，而后运用公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.解：1 所求最小正周期 .2 所求周期 .3 .注意到 的最小正周期为 ，故所求函数的周期为 .4 注意到3sinx及-sinx的周期为2 ，又sinx0或sinx0的解区间重复出现的最小正周期为2 .所求函数的周期为2 .5 注意到sin2x的最小正

9、周期 ，又sinx0或sinx0个单位，所得的图象关于y轴对称，那么m的最小正值为 。5对于函数 ，给出四个论断：它的图象关于直线x 对称；它的图象关于点 ,0对称；它的周期为 ；它在区间 ，0上单调递增.以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。分析：1这里 的递增区间 的正号递减区间 递增且 应填 2由fx递增得 易见， 由fx递减得 当k0时， 注意到 而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为 .3令 所给函数图象的对称中心为 ，0 ； 解法一直接寻求在中令 那么有又在中令k0得 ，令k1得 所求距离为 解法二借助转化：注意到所求距离等于函数的最小周

10、期的一半，又由得这一函数的最小正周期为T ，故所求距离为 .4这里 将这一函数图象向左平移mm0个单位，所得图象的函数解析式为 令 那么由题设知fx为偶函数 fxfx 所求m的最小值为 .5为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，单独决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，必须作为条件，而只能作为结论.于是这里只需考察、 、与、 、这两种情形.考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此时、成立.考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得

11、注意到 .在、之下， ，易知此时、成立.于是综合得正确的命题为、 、与、 、.点评：对于4利用了如下认知： ； .对于5，认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.例5、 的最小正周期为2，当 时，fx取得最大值2.1求fx的表达式；2在闭区间 上是否存在fx图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由.分析：出于利用条件以及便于考察fx的图象的对称轴这两方面的考虑，先将fx化为k的形式，这是此类问题的解题的根底.解：1去 令 ， ，即 那么有由题意得又由知 ，注意到这里A0且B0，取辅助角 ，那么由得2在中令 解得

12、xk 解不等式注意到 ，故由得k5.于是可知，在闭区间 上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，fx一经化为 k的形式，解题便胜券在握.例6、点 的图象上.假设定义在非零实数集上的奇函数gx在0，上是增函数，且g20.求当gfx0且x0， 时，实数a的取值范围.分析：由点A、B都在函数 的图象上得： ，ba，c1a. 此时，由gfx0且x0， 解出a的范围，一方面需要利用gx的单调性脱去“f，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用gx的单调性.解：由分析得 定义在非零实数集上的奇函数gx在0，上是增函

13、数，且g20， gx在，0上是增函数，且g20由知，当x-2或0x2时，gx0又设 .那么 htat1a， .gfx0且x0， gh(t)0，且 .由得，当 时，ht2或0h(t)2注意到htat1a由ht2得h12(a0)或h( )0),由0h(t)2得 ，解得 .于是综上可知，所求a的取值范围为 .点评：在这里，由到的转化，是由“抽象向“具体的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0h(t)2亦可通过分类讨论来完成.对于htat1a ，0h(t)0且ht0， 当a0时，h(t)在 上递增，由得，h(1)0，显然成立；当a0 1a10 ；当a0时，ht显然满足1h(t)0， 得 1a0

14、2h(t)0时，h(t)在 上递增，由得，h( )2 ；当a0时，h(t)在 上递减由得，h(1)2,显然满足条件；当a0时，ht1，显然满足条件.因此由得 于是综合12知，由0h(t)2推出 五、高考真题一选择题1、湖北卷假设 A. B. C. D. 分析：注意到我们对 的熟悉，故考虑从认知 的范围入手，去了解 的范围.由 ， 应选C.2、函数 的局部图象如图，那么 A. B. C. D. 分析：由图象得 . ， 又f(1)=1， 注意到 ， 应选C.二、填空题1、湖北卷函数 的最小正周期与最大值的和为 。分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，根本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围

15、，而后综合结论. 1注意到sin2x的最小正周期 ，而sinx0的解区间重复出现的最小正周期 ，而 的最小公倍数为 ，故所求函数的最小正周期为 .2由分段函数知，y的最大值为 ，于是由12知应填 .2、辽宁卷 是正实数，设 .假设对每个实数a， 的元素不超过两个，且有a使 含2个元素，那么 的取值范围是 。分析： 注意到有a使 含有两个元素，相邻两 值之差注意到 的元素不超过两个，相间的两个 值之差由、得 .点评：对于1，在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.对于2，这里的 决定于fx在一个周期图象的左端点横坐标，由

16、此便于认识相邻两个 值之差 的意义.三解答题1、假设函数 的最大值为2，试确定常数a的值.分析：鉴于过去的经验，首先致力于将fx化为 k的形式，而后便会一路坦途.解： 由得 .点评：此题看似简单，但考察多种三角公式，亦能表达考生的根本能力.2、设函数 yfx图象的一条对称轴是直线 .1求 ；2求函数yfx的单调增区间；3证明直线5x2yc0与函数yfx的图象不相切.分析：对于3，由于fx为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线与x的图象不相切，只需证直线的斜率不属于yfx图象上点的切线斜率的取值集合.解：1 为函数 图象的对称轴， 即 又 .2由1

17、知 ，当 时，yfx递增，所求函数fx的增区间为 .3 yfx图象上点的切线的斜率范围为2，2.而直线5x2yc0 ，直线5x2yc0与函数 的图象不相切.点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题3的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.3、函数 是R上的偶函数，其图象关于点M 对称，且在区间 上是单调函数，求 的值.分析：在此类三角函数问题中，函数的周期可直接确定 的值；函数图象关于某直线或某点对称，那么只能导出关于 的可能取值，此时要进一步确定 的值，还需要其它条件的辅助；而函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出 的可能取值之后

18、，用它来进行认定或筛选.解：由fx为偶函数得fxfxxR即 又 故有 由fx图象关于点M 对称得 令x0得 而 由此解得 当k0时， ，此时 当k1时， 当k2时， ， 故此时 因此，综合以上讨论得 或 .所求 ，而 或 .点评：对于正弦函数y k或余弦函数y k，在单调区间“完整的一个周期T，恰是增减区间的长度各为 ；而在任何一个周期T上，增区间或减区间的长度均不超过 .因此，假设区间 的长度大于 ，那么函数在区间 上不会是单调函数.4、设函数fxxsinxxR.1证明： ，其中k为正整数.2设 3设fx在0，内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 ，证明： 分析：注意到正弦函数为fx的成员函

19、数之一，试题中又指出fx的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解23，均需要从fx切入.证明：1fxxsinxxR 2 令 显然cosx0不是的解，故由得xtanx ，即有 ，于是 3设 是 的一个正整数根，即 ，那么由直线yx与曲线ytanx的位置关系知：对每一个 ，存在 ，使 ，注意到gxxtanx在 上是增函数，且 gx在 又cosx在 内符号不变，xtanxcosxsinxxcosx 在 与在 内异号，所有满足 的 都是fx的极值点.由题设 ， 再注意到 而 1 由得 于是由、得， 点评：在这里应注意对2、3中极值点的区别.对于2， 只需满足 即可；对于3中的 不仅要满足 ，还需认定 在点x 左右两边异号.