基本计数原理与排列组合(概念复习与专题训练含答案).doc

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1、优质文本第一章 计数原理 根本计数原理和排列组合概念篇一、 概念回忆：一两个原理.1. 加法原理每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同方法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 2. 乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，那么对应的完成此事的方法也不同3. 可以有重复元素的排列.从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列

2、数例如：件物品放入个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ 解：种二排列组合1、排列1排列数的计算：从个不同元素中取出个元素排成一列，称为从个不同元素中取出个元素的一个排列. 从个不同元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示.2排列数公式： 注意： 规定 注：含有可重元素的排列问题对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集有个不同元素其中限重复数为，且 , 那么的排列个数等于. 例如：数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 2、组合1组合数的计算：从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 从个不同元素中取出个元素的一个排

3、列数，用符号表示。2排列数公式： 规定3两个公式： 二、根底训练：1用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A24个 B30个 C40个 D60个2甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有 A12种 B18种 C24种 D96种3某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有 A6种 B9种 C18种 D24种4由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 A l：l B2：3 C 12：13 D 21：235由0，l

4、，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 A42031 B42103 C42130 D430216假设直线方程的系数可以从0，1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，那么这些方程所表示的直线条数是 A一2 B C+2 D27从这五个元素中任取四个排成一列，不排在第二的不同排法有 A B C D8.三个女生和五个男生排成一排 1如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ 2如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ 3如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ 4如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ 5如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排

5、法？9. 6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法10. 6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法11.五男二女排成一排，假设男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种三、解题方法及训练：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类还是“分步完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序的还是“无序的，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位

6、置，这种解法叫做特殊优先法。例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个30个2、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同排法种数是 (答案:3600)3、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部的排法，即将相邻的元素当成“一个元素进行排列，然后再局部排列。例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是种答案：2404、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往往和数学其他章节某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时

7、，要注意使用相关知识对答案进行取舍。例如：从集合中任取3个元素分别作为直线方程中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有条答案：305、剪截法隔板法：个 相同小球放入个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段插入块隔板，有种方法练一练：例1 求不同的排法种数：16男2女排成一排，2女相邻； 26男2女排成一排，2女不能相邻；34男4女排成一排，同性者相邻； 44男4女排成一排，同性者不能相邻解：1是“相邻问题，用捆绑法解决：2是 “不相邻问题，可以用插空法直接求解6男先排实位，再在7个空位中排2女，即用插孔法解决：另法：用捆绑与剔除相结合：3是“

8、相邻问题，应先捆绑后排位：4是 “不相邻问题，可以用插空法直接求解: 真题训练：2016年一、选择题1.2016广东卷理2017年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】分两类：假设小张或小赵入选，那么有选法；假设小张、小赵都入选，那么有选法，共有选法36种，选A. 4.2016北京卷文用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A8B24C48D120【答

9、案】C【解析】此题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于根底知识、根本运算的考查.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有个.应选C.62016北京卷理用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】此题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于根底知识、根本运算的考查. 首先应考虑“0是特殊元素，当0排在末位时，有个， 当0不排在末位时，有个， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有个.应选B.7.2016全国卷文甲、乙

10、两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A6种 B12种 C24种 D30种 答案：C解析：此题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。8.2016全国卷理甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )A150种 B180种 C300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; .5 (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故

11、共有345种选法.选D10.(2016湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为 【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是12.2016四川卷文2位男生和3位女生共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆在一起记作A，A共有种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；那么

12、男生甲必须在A、B之间假设甲在A、B两端。那么为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求此时共有6212种排法A左B右和A右B左最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆在一起记作A，A共有种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑A和男生乙在两端，那么中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑A和男生甲也只有

13、一种排法。此时共有12种排法 三类之和为24121248种。.5 13. 2016全国卷理甲、乙两人从4门课程中各选修2门。那么甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种解：用间接法即可.种. 应选C14.2016辽宁卷理从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，那么不同的组队方案共有A70种 B 80种 C 100种 D140种 【解析】直接法：一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种 间接法：任意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医生有

14、C414种,于是符合条件的有8410470种.【答案】A15.2016湖北卷文从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，那么不同的选派方法共有A.120种 B.96种 C.60种 D.48种【答案】C【解析】5人中选4人那么有种，周五一人有种，周六两人那么有，周日那么有种，故共有=60种,应选C16.2016湖南卷文某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，那么这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】A14 B16 C20 D48解:由间接法得

15、，应选B. 17.2016全国卷文甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有A150种 B180种 C300种 D345种【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，根底题。解：由题共有，应选择D。18.2016四川卷文2位男生和3位女生共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【答案】B【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆在一起记作A，A共有种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分

16、别记作甲、乙；那么男生甲必须在A、B之间假设甲在A、B两端。那么为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求此时共有6212种排法A左B右和A右B左最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆在一起记作A，A共有种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑A和男生乙在两端，那么中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆

17、绑A和男生甲也只有一种排法。此时共有12种排法 三类之和为24121248种。20.2016陕西卷文从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108网答案. 解析:首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。那么共有应选C. .5 21.(2016湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C .5 A

18、 85 B 56 C 49 D 28 【答案】：C【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：，另一类是甲乙都去的选法有=7，所以共有42+7=49，即选C项。22.2016四川卷理3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【考点定位】本小题考查排列综合问题，根底题。解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有188解析2：由题意有,选B。二、填空题.5 1.2016宁夏海南卷理7名志愿者中安

19、排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。假设每天安排3人，那么不同的安排方案共有种用数字作答。解析：，答案：1407.2016天津卷理用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个用数字作答【考点定位】本小题考查排列实际问题，根底题。解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。10.2016浙江卷理甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，假设每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法种数是 用数字作答答案：336 【解析】对于7个台阶上每一个只站

20、一人，那么有种；假设有一个台阶有2人，另一个是1人，那么共有种，因此共有不同的站法种数是336种.5 2017年2017全国卷2理数6将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中假设每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有A12种 B18种 C36种 D54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，应选B.2017全国卷2文数9将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，假设每个信封放2张，其中标号

21、为1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有A 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种【解析】B：此题考查了排列组合的知识先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，共有2017重庆文数10某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日端午节假期值班，每天安排2人，每人值班1天 . 假设6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，那么不同的安排方法共有来源。A30种 B36种C42种 D48种解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法 即=42 法二：分两类 甲、乙同组，那么只能排

22、在15日，有=6种排法 甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法2017重庆理数(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法故共有1008种不同的排法2017北京理数48名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为A B C D 答案：A2017四川理数10由1、2、3、4、5、6组成没有重复数

23、字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是A72 B96 C 108 D144 *s 5* o*m解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法*s 5* o*m 假设5在十位或十万位，那么1、3有三个位置可排，324个假设5排在百位、千位或万位，那么1、3只有两个位置可排，共312个算上个位偶数字的排法，共计3(2412)108个答案：C2017全国卷1理数(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种2017四川文数9由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻

24、的五位数的个数是A36 B32 C28 D24解析：如果5在两端，那么1、2有三个位置可选，排法为224种 如果5不在两端，那么1、2只有两个位置可选，312种 共计122436种答案： w. 5 o*m2017浙江理数17有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重、“立定跳远、“肺活量、“握力、“台阶五个工程的测试，每位同学上、下午各测试一个工程，且不重复. 假设上午不测“握力工程，下午不测“台阶工程，其余工程上、下午都各测试一人. 那么不同的安排方式共有种用数字作答.解析：此题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题2017全国卷1文数(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，假设要求两类课程中各至少选一门，那么不同的选法共有 种.(用数字作答)15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.【解析2】: