四川高考文科数学试题和答案详解.docx

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1、优质文本绝密 启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试四川卷数 学文史类本试题卷分第一卷选择题和第二卷非选择题。第一卷1至2页，第二卷3至4页。总分值l50分。考试时间l20分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。第一卷选择题 共50分考前须知： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第一卷共10小题。一、选择题：本大题共10个小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。，集合，那么A B C D【答案】A【解析】，选A.2. 设向量与向量共线，那么实数(A) (

2、B) (C) (D) 【答案】B【解析】由共线向量，的坐标运算可知，即，选B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取局部学生进行调查，那么最合理的抽样方法是A)抽签法 B系统抽样法 C分层抽样法 D随机数法【答案】C【解析】因为是为了解各年级之间的学生视力是否存在显著差异，所以选择分层抽样法。4.设，为正实数，那么“是“的 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由当时，“是“的充分条件。反过来由，可得，“是“的必要条件，综上，“是“的充要条件，选A.5.以

3、下函数中，最小正周期为的奇函数是A. B.C. D.【答案】A【解析】A. ,可知其满足题意;B. ,可知其最小正周期为，偶函数;C. ,最小正周期为，非奇非偶函数;D. ,可知其最小正周期为，非奇非偶函数.选A6.执行如下图的程序框图，输出S的值是(A) (B) (C)- (D) 【答案】D【解析】易得当1,2,3,4时执行的是否，当5时就执行是的步骤，所以，选D.7.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，那么（A） B C6 D【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为，且右焦点，那么直线与两条渐近线的交点分别为，,选D.8. 某食品的保鲜时间单位：

4、小时与储藏温度单位：满足函数关系 为自然对数的底数，k，b为常数。假设该食品在的保鲜时间是192小时，在23的保鲜时间是48小时，那么该食品在33的保鲜时间是(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时【答案】C【解析】， 当时，,选C.9. 设实数满足，那么的最大值为(A) (B) (C) 12 (D)14【答案】A【解析】由第一个条件得：。于是，当且仅当时取到最大值。经验证，在可行域内，选.10.设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线 段恰有4条，那么的取值范围是A B C D【答案】D【解析】 设，那么两式相减，得：，当直线的斜率不存在时，显然符合条件

5、的直线有两条。当直线的斜率存在时，可得：，又，由于M在抛物线的内部，因此，选D.第二卷非选择题 共100分考前须知：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。作图可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试卷、草稿纸上无效。二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。11. 设是虚数单位，那么复数.【答案】【解析】由题意可知：12. 的值是 .【答案】【解析】13. .，那么的值是. 【答案】-1【解析】由得，14. 三棱柱中，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点分别是，的中点，那么三棱锥的体积是.【答

6、案】【解析】采用等积法， (其中)。对于不相等的实数，设，现有如下命题：(1) 对于任意不相等的实数，都有；(2) 对于任意的及任意不相等的实数，都有；(3) 对于任意的，存在不相等的实数，使得；(4) 对于任意的，存在不相等的实数，使得。其中的真命题有(写出所有真命题的序号。【答案】(1) (4)【解析】(1)设，,函数是增函数， 那么=0,所以正确；(2)设，那么，不妨我们设，那么，矛盾，所以(2)错。(3)，由(1)(2)可得：，化简得到，也即，令，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，。那么，显然当时，恒成立，即单调递增，最多与x轴有一个交点，不满足题意，所以错误。(

7、4)同理可得，设，即对于任意的函数在定义域范围内存在有两个不相等的实数根，从而不是恒为单调函数。，恒成立，单调递增，又时，时，。所以为先减后增的函数，满足要求，所以正确。三、简答题：本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.本小题总分值12分设数列的前项和，且，成等差数列。 求数列的通项公式； 记数列的前项和，求。【解答】：当时有， 那么 ， ，数列是以为首项，2为公比的等比数列。 又由题意得， ， 由题意得， 17.本小题总分值12分一个小客车有5个座位，其座位号为，乘客 的座位号为，他们按照座位号顺序先后上车，乘客因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的

8、乘客按以下规那么就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.I假设乘客坐到了3号座位，其他乘客按规那么就座，那么此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法将乘客就坐的座位号填入表中空格处乘客 座位号3214532451假设乘客坐到了2号座位，其，他乘客按规那么就坐，求乘客坐到5号座位的概率。【解答】当乘客坐在3号位置上，此时的位置没有被占，只能坐在2位置，位置被占，可选剩下的任何，即可选1、4、5:中选1位置，位置没被占，只能选4位置，选剩下的，只有一种情况；当 选4位置，可选5位置也可选1位置，选剩下的，有两种

9、情况；当 选5位置，只可选4位置选剩下的，有一种情况；乘客 座位号32145324513241532541 这个问情况比拟复杂，需要列表解答，当坐2位置时，位置被占，可选剩下的 座位，下表列出了所有可能乘客 座位号2134523451234152314523541243152435125341综上，共有8种情况，坐在5位置上的情况有4种，所求概率为 18.本小题总分值分一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如下图。I请将字母标记在正方体相应的顶点处不需说明理由；判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论；证明：平面。【解答】I如答图1所示 答图1 答图2 答图3如答图2所示，连接，易得

10、四边形和四边形为，所以，又平面，且平面，平面，平面，又平面，且，所以平面平面 如答图3所示，易得，平面,得平面，同理可得，又， 平面。19.本小题总分值12分为的内角，是关于的方程的两实根.求的大小；假设，求的值.【解答】是关于的方程的两个根可得：，所以，那么，由三角形内角和为可知，.在中，由正弦定理可得，求得，那么.又，由三角形内角和为及诱导公式可知，解得，将代入，解得.20.本小题总分值13分如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且。球椭圆的方程；xyOBAP设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得 为定值？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由。【解答】由知，解得，又由

11、离心率是得到 ； 椭圆E的方程为：。()当直线的斜率存在时，设的解析式为， 联立：，显然，由韦达定理可知，这里，与的取值无关，即。此时，当直线的斜率不存在时，就是，那么综上，存在常数，使得为定值。函数，其中，设是的导函数.讨论的单调性；证明：存在，使得恒成立，且在区间(1，)内有唯一解。【解答】：，求导可得，即 恒成立，在其定义域上单调递增。，由()可知在(1，)内单调递增。又时，当时，显然。而在(1，)是单调递增的，因此在(1，)内必定存在唯一的使得 . 。当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，。由条件在区间内有唯一解，必有。即. ，由式得到带入式化简得：，即，令，恒成立，为减函数，在内有零点，即时，有解，此时为增函数，且，即。存在，使得恒成立，且在区间(1，)内有唯一解。 ： 杰少