上海市2013高考数学压轴卷试题 文.doc

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1、2013上海市 高考压轴卷 文科数学试题考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数的定义域为 .2.复数满足（其中为虚单位），则 . 3.已知,向量与的夹角为,则 .4.直线被圆截得的弦长为 5.在等差数列中，若，前5项的和，则 .6.若函数是奇函数，则 . 7.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 .8.不等式组表示的平面区域的面积

2、是 .9.直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .10.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是 .11.在中，若，则 .12.设，则的值为 .13.平行四边形中，为的中点若在平行四边形内部随机取一点，则点取自内部的概率为 .14.给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：的定义域是，值域是；点是的图像的对称中心，其中；函数的最小正周期为1； 函数在上是增函数则上述命题中真命题的序号是 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上

3、，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.已知函数 则下面结论中正确的是（）A.是奇函数B.的值域是 C.是偶函数D.的值域是16.已知在区间上有反函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 17.已知锐角满足,则的最大值为（ ） A. B. C. D.18.已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D.三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题6分.

4、某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ； ； ； ； .（）试从上述五个式子中选择一个,求出常数；（）根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题8分. 如图,在长方体中, ,点在棱上. （）求异面直线与所成的角； （）若二面角的大小为,求点到平面的距离.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题8分.某药厂在动物体内进行新药试验已知每投放剂量为的药剂后，经过小时该药剂在动物体内释放的浓度(毫克/升) 满足函数，其中当药剂在动物体内中释放的浓度不低于

5、(毫克/升)时，称为该药剂达到有效（）若，试问该药达到有效时，一共可持续多少小时（取整数小时）?（）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）达到有效，求应该投放的药剂量的最小值（取整数）.22.(本题满分16分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题6分. 已知椭圆的左，右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.（）求曲线的方程；（）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求 的取值范围.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第

6、（）小题8分.设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项（）求数列的通项公式；（）在集合中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；（）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值21世纪教育网2013上海市 高考压轴卷 文科数学试题答案及解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.【答案】.【解析】由得.2.【答案】【解析】3.【答案】4.【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径

7、为，圆心到直线的距离，所以弦长.5.【答案】【解析】在等差数列中，解得，所以.6.【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，即。7.【答案】3【解析】第一次循环有；第二次循环有；第三次循环有；此时满足条件，输出.8.【答案】【解析】不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积。9.【答案】【解析】， ， 即， ， 圆心C到距离是， 直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 10.【答案】【解析】圆的圆心到直线的距离为，则11.【答案】【解析】由余弦定理得，即整理得，解得。12.【答案】1【解析】令则有13.【答案】【解析】,根据几何概型可知点取自内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。1

8、4.【答案】【解析】中，令，所以。所以正确。，所以点不是函数的图象的对称中心，所以错误。，所以周期为1，正确。令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.【答案】D 【解析】在坐标系中，做出函数的图象如图，由图象可知选D. 16.【答案】D 【解析】在区间上有反函数. 在区间上是单调函数，则有在区间上恒成立，即故选D.17.【答案】D【解析】， 又，则 则.【注】直接按和角公式展开也可.18.【答案】D【解析】双曲线的渐近

9、线方程为，由可得,椭圆方程为，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在一象限的小正方形边长为，则，从而点（2,2）在椭圆上, 即：.于是.椭圆方程为，答案应选D。三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题6分.解:(）选择式计算:.（）猜想的三角恒等式为:. 证明: . 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题8分. 如图,在长方体中,点在棱上. （）求异面直线与所成的角； （）若二面角的大小为,求点到平面的距离.解法一:(1)连结.

10、由是正方形知. 平面, 是在平面内的射影.根据三垂线定理得,则异面直线与所成的角为. （）作,垂足为,连结,则. 所以为二面角的平面角,.于是, 易得,所以,又,所以. 设点到平面的距离为,则由于即, 因此有,即,. 解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系. （）由,得, 设,又,则. ,则异面直线与所成的角为. （）为面的法向量,设为面的法向量,则,. 由,得,则,即, 由、,可取,又,所以点到平面的距离. 21.(本题满分14分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题8分.解：（）时， 当时，显然符合题意 当时，通过计算器由解得： 综上，所以该药剂达到有效时，一共可持续7小

11、时. （）由= 可知在区间上有，即， 在区间上单调递减，即， 为使恒成立，只要且 即且，求得：.答：为了使在8小时之内达到有效，投放的药剂剂量的最小值为 22.(本题满分16分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题6分. 解：（）依题意可得，双曲线的焦距为，双曲线的方程为（）证明：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为联立方程组 整理，得-6解得或同理方程组可得：为一定值（）设点、（，），则，即点在双曲线上，则，所以，即又点是双曲线在第一象限内的一点，所以，由（2）知，即，设，则，在上单调递减，在上单调递增当，即时，当，即时，的取值范围为23.(本题满分18分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题8分.解：（）由题意得， ， 当时，解得， 当时，有 ，式减去式得，于是，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以的通项公式为（）（）设存在满足条件的正整数，则， 又，所以，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列 设共有个满足条件的正整数，则，解得 所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为 （）设，即， 则，其极限存在，且 注：（为非零常数），（为非零常数），（为非零常数，）等都能使存在 10