高考数学总复习——真题试题及解答分类汇编之概率、统计、统计案例、推理与证明.docx

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1、第 1 页 共 11 页高考数学总复习真题试题及解答分类汇编之概率、统计、统计案例、推理与证明一、选择题1（2018 全国新课标文、理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半1。答案：A解答：由图可得，A 选项，设建设前经济收入为 x，种植收入为 0.6x.建设后经济收入则为 2x

2、，种植收入则为 0.372.4x，种植收入较之前增加另解：假设建设前收入为 a，则建设后收入为 2a，所以种植收入在新农村建设前为 60%a，新农村建设后为 %；其他收入在新农村建设前为 4%a，新农村建设后为5%2，养殖收入在新农村建设前为 30，新农村建设后为 302故不正确的是 A.2 （2018 全国新课标文）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（ ）A 0.6 B 0.5 C .4 D 0.第 2 页 共 11 页2 【答案】D【解析】设 2 名男同学为 1A， 2，3 名女同学为 1B， 2， 3，从以上 5 名同学中任选2

3、 人总共有 12A， 1B， 2， 13B， 21， 2A， 3， 12， 3B， 23共 10 种可能，选中的 2 人都是女同学的情况共有共 ， 1， 三种可能则选中的 2 人都是女同学的概率为 30.P，故选 D3 （2018 全国新课标文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.73.答案：B解答：由题意 .故选 B.10.45P二、填空1 （2018 江苏）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为 1 【答案】90【解

4、析】由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为 89，89，90，91，91，故平均数为8901902 （2018 江苏）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，第 3 页 共 11 页则恰好选中 2 名女生的概率为 2 【答案】 310【解析】从 5 名学生中抽取 2 名学生，共有 10 种方法，其中恰好选中 2 名女生的方法有 3 种，因此所求概率为 3103. （2018 上海）有编号互不相同的五个砝码，其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是_（结果用最简分数表示）4 （2018 全

5、国新课标文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_14答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.三、解答题1（2018 北京文）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类第 4 页 共 11 页电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 04 2 015 25 0 1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值（1）从

6、电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01，哪类电影的好评率减少 01 ，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）1【答案】（1） 025 ；（2） 0814 ；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是 140532085120第四类电影中获得好评的电影部

7、数是 20 ，故所求概率为 （2）设“随机选取 1 部电影，这部电影没有获得好评”为事件 B没有获得好评的电影共有 140658305785109628 部由古典概型概率公式得 62014PB （3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率2 （2018北京理）设 n为正整数，集合 A= 12|(,),0,1,2nktt n 对于集合A中的任意元素 12(,)nx 和 12(,)ny ，记M（ ， ）= 1122|(|)nnyxyxy（）当 n=3 时，若 (,0)， (,1)，求 M（ ,）和 M（ ,）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素

8、,，当,相同时， M（ ， ）是奇数；当 ,不同时， M（ ， ）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；（）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同第 5 页 共 11 页的元素 ,，M（ ， ）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由2（共 14 分）解：（）因为 =（1，1，0）， =（0，1，1），所以M( ， )= 2 (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M( ， ）=1(1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）设 =（ x1， x 2， x3， x4） B，则 M( ， ）= x1

9、+x2+x3+x4由题意知 x1， x 2， x3， x40，1，且 M( ， )为奇数，所以 x1， x 2， x3， x4中 1 的个数为 1 或 3所以 B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).将上述集合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).经验证，对于每组中两个元素 ， ，均有 M( ， ）=1.所以每组中的两个元素不可能

10、同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)满足条件，所以集合 B 中元素个数的最大值为 4.（）设 Sk=( x1， x 2， xn）|( x1， x 2， xn） A， xk =1， x1=x2=xk1=0）（ k=1，2， n)，Sn+1=( x1， x 2， xn）| x1=x2=xn=0，则 A=S1 S1 Sn+1对于 Sk（ k=1，2， n1）中的不同元素 ， ，经验证， M( ， )1.所以 Sk（ k=1，2 ， n1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以 B 中元素

11、的个数不超过 n+1.取 ek=( x1， x 2， xn） Sk且 xk+1=xn=0（ k=1，2， n1）.第 6 页 共 11 页令 B=（e 1，e 2，e n1） Sn Sn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件.故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合3 （2018 江苏）设 ，对 1，2， n 的一个排列 ，如果当 st 时，有*nN12ni，则称 是排列 的一个逆序，排列 的所有逆序的总个数称为其逆序sti(,)stini 12ni数例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记 为 1，2， n

12、的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数 nfk（1）求 的值；34(),（2）求 的表达式(用 n 表示)25nf3 【答案】 （1）2，5；（2） 时， 2nf【解析】 （1）记 abc为排列 c的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有23=0， 2， 13=， ， =， 213，所以 f， 32ff对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， 433205ffff（2）对一般的 4n的情形，逆序数为 0 的排列只有一个： 12n ，所以 01nf逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n 中的任意相邻两个数

13、字调换位置得到的排列，所以 nf为计算 12nf，当 1，2， 的排列及其逆序数确定后，将 1添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置因此， 1 02nnnnfffff当 5n时，11 442222f fff241nf，第 7 页 共 11 页因此， 5n时， 2nf4（2018 天津文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动（）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（）设抽出的 7 名同学分别用 A， B， C， D， E， F， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫

14、生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率4 【答案】 （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人；（2）答案见解析； 521【解析】 （1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人（2）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为,AB， ,C， ,AD， ,E， ,AF， ,G， ,BC， ,D， ,BE， ,F，G， ， ，

15、 C， ， DE， F， G， ， G，,F，共 21 种由（1） ，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A， ， ，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 ,AB， ,C， ,B， ,DE， ,FG，共 5 种所以，事件 M发生的概率为 521PM5（2018 全国新课标文）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表第 8 页 共 11 页日用水量 0.1， .02， .0

16、3， .04， .05， .06， .07，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量 0.1， 0.2， 0.3， 0.4， 0.5， 0.6，频数 1 5 13 10 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）5答案：略解答：（1）第 9 页 共 11 页（2）由题可知用水量在 0.3,4的频数为 10，所以可估计在

17、 0.3,5)的频数为 ，故用水量小于 30.5m的频数为 152，其概率为 248P.（3）未使用节水龙头时， 天中平均每日用水量为： 31(0.5.130.25.340.59.260.57).06m，一年的平均用水量则为 3.618.6m.使用节水龙头后， 天中平均每日用水量为： 31(0.5.10.253.0.450.5).m，一年的平均用水量则为 3.6127.m，一年能节省 84.979.6 （2018 全国新课标文、理） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量 t的

18、两个线性第 10 页 共 11 页回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 1,27 ）建立模型： 30.415yt；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为1,27）建立模型： 917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由6 【答案】 （1）模型 26.1亿元，模型 256 亿元；（2）模型，见解析【解析】 （1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.459.y（亿元） 利用模型，该地区 2018 年的环境基础

19、设施投资额的预测值为91726y （亿元） （2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.415yt上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 9175yt 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础

20、设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（ii）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分7 （2018 全国新课标文、理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：