高中数学优质课件精选------《人教版高中数学必修4复习》.ppt

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1、,人教版高中数学必修4复习,任意角的概念,角的度量方法（角度制与弧度制）,弧长公式与扇形面积公式,任意角的三角函数,同角公式,诱导公式,两角和与差的三角函数,二倍角的三角函数,三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）,三角函数的图形和性质,正弦型函数的图象,已知三角函数值，求角,知识网络结构,1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.,（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.,（4）角在“到”范围内，指.,（2）象限角和

2、轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.,一、基本概念：,一、任意角的三角函数,1、角的概念的推广,正角,负角,o,x,y,的终边,的终边,零角,二、象限角：,注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。,三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：,（角度制）,（弧度制）,例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角,原点,x轴的非负半轴,角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。,1、终边相同

3、的角与相等角的区别,终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。,2、象限角、象间角与区间角的区别,3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相垂直的两条直线上”的一般表示式,三、终边相同的角,(1)与 角终边相同的角的集合:,1.几类特殊角的表示方法, | =2k+, kZ.,(2)象限角、象限界角(轴线角),象限角,第一象限角:,第二象限角:,第三象限角:,第四象限角:,一、角的基本概念,轴线角,x 轴的非负半轴: =k360(2k)(kZ);,x 轴的非正半轴: =k360+180(2k+)(kZ);,x 轴: =k180(k)(kZ);,典型例题,各个象限的半角范围可以用下图记忆，

4、图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；,例1.若是第三象限的角，问/2是哪个象限的角?2是哪个象限的角?,高考试题精选及分析,C,点评:本题先由所在象限确定/2所在象限,再/2的余弦符号确定结论.,例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：,解：分针所转过的角度,评析： 在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利用图形来判断.,四、什么是1弧度的角？,长度等于半径长的弧所对的圆心角。,（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的度数和弧度数. 在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制,（4）弧长公式和扇形面积公式.

5、,度 弧度 0,2、角度与弧度的互化,特殊角的角度数与弧度数的对应表,略解：,例3已知角和满足求角的范围.,解：,例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？,扇形面积最大值为625.,例7.已知一扇形中心角是，所在圆的半径是R. 若60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. 若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值?,指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.,解：（1）设弧

6、长为l，弓形面积为S弓。,正弦线：,余弦线：,正切线：,（2）当角的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。,2.正弦线、余弦线、正切线,有向线段MP,有向线段OM,有向线段AT,注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线,三角函数,三角函数线,正弦函数余弦函数正切函数,正弦线MP,正弦、余弦函数的图象,P,M,A(1,0),T,sin=MP,cos=OM,tan=AT,注意：三角函数线是有向线段！,余弦线OM,正切线AT,P,O,M,P,O,M,P,O,M,P,O,M,MP为角的正弦线

7、,OM为角的余弦线,10）函数y=lg sinx+ 的定义域是（A）（A）x|2kx2k+ (kZ)（B）x|2kx2k+ (kZ)（C）x|2kx2k+ (kZ)（D）x|2kx2k+ (kZ),专题知识,三角函数线的应用,一、三角式的证明,2、已知：角 为锐角， 试证：,1、已知：角 为锐角， 试证：（1）,4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？,答：圆心角为-2，面积是,5、用单位圆证明sian tan.(00 0,0) 的图象的对称中心和对称轴方程,2、函数 的图象（A0, 0 ),第一种变换:,图象向左( ) 或向右( ) 平移 个

8、单位,横坐标伸长( )或缩短( )到原来的 倍 纵坐标不变,纵坐标伸长(A1 )或缩短( 0A1 )或缩短( 0A1 )到原来的A倍 横坐标不变,5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性,例3、不通过求值，比较tan1350与tan1380的大小。,解：900135013802700,又 y=tanx在x（900，2700）上是增函数, tan13500,|0 , 0)的图象求其解析式的一般方法：,6、已知下图是函数 的图象(1)求 的值；(2)求函数图象的对称轴方程.,（2）函数图象的对称轴方程为,即,设函数,（1）求

9、 ；,（2）求函数 的单调递增区间；（3）画出函数 在区间0， 上的图象.,图象的一条对称轴是直线,解析:,（1）,（2）,函数 的单调递增区间为,x0,（3）,5 ) 函数 (A0,0)的一个周期内的图象如图，则有( ),(A),(B),(C),(D),如图：根据函数 y= A sin (x + ) (A0 , 0) 图象求它的解析式,y,x,0,-4,4,如图：根据函数y = A sin (x + ) (A0 , 0) 图象求它的解析式,如图：根据函数y = A sin (x + ) (A0 , 0) 图象求它的解析式,如图：根据函数y = 2 sin(x + ) (0) 图象求它的解析式

10、,如图：根据函数y = 2 sin(x + ) (0) 图象求它的解析式,4.11 已知三角函数值求角,的意义：,4.11 已知三角函数值求角,4.11 已知三角函数值求角,的意义：,4、已知三角函数值求角,y=sinx , 的反函数 y=arcsinx ,y=cosx, 的反函数y=arccosx,y=tanx, 的反函数y=arctanx,已知角x ( )的三角函数值求x的步骤,先确定x是第几象限角若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x= ；若x为第三象限角，即得 x= ；若x为第四

11、象限角，即得x=若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。,反三角函数,已知三角函数值求角,已知三角函数值求角x（仅限于0，2 ）的解题步骤：,1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0 ；,2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；,3、根据角x的可能的象限角得出0，2 内对应的角：,如果x是第二象限角，那么可以表示为 x0,如果x是第三象限角，那么可以表示为 x0,如果x是第四象限角，那么可以表示为2 x0,说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.,(1)判断角的象限；(2)求对应锐角； 如果函数值为正数，则先求出对

12、应的锐角x1； 如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1.(3)求出(0，2)内对应的角； 如果它是第二象限角，那么可表示为x1； 如果它是第三或第四象限角，则可表示为x1或x12.(4)求出一般解 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.,（三）已知三角函数值求角”的基本步骤,1、基本步骤,2、表示角的一种方法反三角函数法,1、反正弦：,这时sin(arcsina)=a,2、反余弦：,这时cos(arccosa)=a,这时tan(arctana)=a,3、反正切：,三、两角和与差的三角函数,1、预备知识：两点间距离公式,x,y,o,2、两角和与差的三角函数,注：公式的逆

13、用 及变形的应用,公式变形,3、倍角公式,一、知识点,（一）两角和与差公式,（二）倍角公式,公式,=1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2,tan+tan=tan(+)(1-tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan),注意1、公式的变形如：,注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.,C：,S ：,C2：,S 2：,T2：,T：,倍角公式：,注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别,和角公式的一个重要变形,其 它 公 式,1、半角公式,2、万能公式,二、两角和与差的正弦、余弦、正切：,注意： 、 的变形

14、式以及运用和差公式时要会拼角,如：,要熟悉公式逆用！,三、一个化同角同函数名的常用方法：,如：,例、求 的值,四、二倍角公式：,例4化简：,解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”。,例4化简：,解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。,例4化简：,解法3：从“名”入手，“异名化同名”。,例4化简：,解法4：从“形”入手，利用“配方法”。,三角解题常规,宏观思路,分析差异,寻找联系,促进转化,指角的、函数的、运算的差异,利用有关公式，建立差异间关系,活用公式，差异转化，矛盾统一,微观直觉,1、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化

15、积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；6、见sin2，想拆成2sincos；7、见sincos或,9、见coscoscos，先运用,sin+sin=pcos+cos=q,8、见a sin+b cos，想化为 的形式,若不行，则化和差,10、见cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘,想两边平方或和差化积,总结：多种名称想切化弦；遇高次就降次消元； asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想

16、是关键！,【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持“四化”：,多角同角化异名同名化切割弦化特值特角互化,公式体系的推导：,首先利用两点间的距离公式推导 ，,然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推导公式体系。,sin+cos=1,二【述评】1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本

17、中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算） 寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧） 分析综合（由因导果或执果索因） 实现转化。,1、值域与最值问题,利用有界性,化二次函数型,运用合一变换,换元,十七、求值域问题：,主要是将式子化成同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性求解。,例10、求函数 的值域,有时还要运用到 的关系,2、对称性问题,3、奇偶性与周期性问题,注意绝对值的影响,化为单一三角函数,4、单调性与单调区间,复后函数单调性,注意负号的处理,5、图像变换问题,相位变换、周期变换、振幅变换,求函数解析式,例5:已知函数

18、求：函数的最小正周期；函数的单增区间；,解：,应用：化同一个角同一个函数,例5:已知函数 求： 函数的最大值 及相应的x的值； 函数的图象可以由函数 的图象经过怎 样的变换得到。,解：,图象向左平移 个单位,图象向上平移2个单位,应用：化同一个角同一个函数,例6：已知,解：,应用：化简求值,例1,化简：,解:,原式=,练习题,(1)证明：,化简得：,解:,解：,应用：化简求值,2、解:,由2+2得:,即,所以,由2 2得:,解:,例3. 已知函数f(x) sin(2x )2sin2(x ) (xR)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合,解：f(x) sin

19、(2x ) 1 cos2(x ) sin(2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1函数f(x)的最小正周期T . 使函数f(x)取最大值的x的集合为x|x=k ,k Z ,5、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。（1）化简f(x)的解析式；（2）若0，求，使函数f(x)为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的x的集合。解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)当= 时 f(x)为偶函数。(3) 2cos2x=1 cos2

20、x= x= 或x=,例6、已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a(aR,a常数)。（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若x- , 时，f(x)的最大值为1，求a的值。,解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期T=2,（2）x - , x+ - , f(x)大=2+a a=-1,例7、求函数 的值域.,解：,又-1sinx1,原函数的值域为：,变题：已知函数 （a为常数，且a0），求该函数的最小值.,当-2 0时，,当 -2时，,1、已知a0函数y=-acos2x

21、- asin2x+2a+bx0, ，若函数的值域为-5,1，求常数a,b的值。,解：,2、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(aR)：（1）求g(a)；（2）若g(a)= ，求a及此时f(x)的最大值。,解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1,-1cosx1 当-1 1即-2a2时 f(x)小=- 2-a-1,当 1 即a2时 f(x)小=f(1)=1-4a,当 -1 即a-2时 f(x)小=f(-1)=1,（2）a=-1 此时 f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大=5,2、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为

22、g(a)(aR)：（1）求g(a)；（2）若g(a)= ，求a及此时f(x)的最大值。,3、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。（1）化简f(x)的解析式；（2）若0，求，使函数f(x)为偶函数。（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-,的x的集合。解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- )(2)当= 时 f(x)为偶函数。(3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或x=,例4. 已知函数f(x)asinxbcosx（a，b为常数，a0，xR）在x 处

23、取得最小值，则函数yf( x)的对称中心坐标是_,解：由 (ab) 化简得ab所以f(x) asin(x )，a0从而f( x) asinx，其对称中心坐标为(k，0)，kZ.,平 面 向 量 复 习,向量的三种表示,表示,运算,向量加法与减法,向量的相关概念,实数与向量 的积,三 角 形 法 则,平行四边形法则,向量平行、垂直的条件,平面向量的基本定理,平面向量,向量的数量积,向量的应用,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 A(x1,y1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1 , y2 y1),返回,1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向

24、量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:,既有大小又有方向的量,1.有向线段 2.字母 3.有向线段起点和终点字母,长度为零的向量(零向量与任意向量都平行,长度为1个单位的向量,1.方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行,长度相等且方向相同的向量,平行向量就是共线向量,向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,返回,例1：思考下列问题：,1、下列命题正确的是（1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等（3）平行向量不一定是共线向量（4）零向量与任一向量平行,四、例题,一、第一层次知识回顾：,1.向量的加法运算,三角形法则,平行四边形法则,“首尾相接首尾连”,2.向量的减法运算,设 则,思考：若 非零向量 ，,则它们的模相等且方向相同。,同样 若：,“同始点尾尾相接,指向被减向量”,一、第一层次知识回顾：,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a + b =,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a = (x1, y1), b = (x2, y2),( x1 + x2 , y1 + y2 ),