高考数学专题空间向量与立体几何.doc

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1、精品文档立体几何中的向量方法1.2021年高考重庆理设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,那么的取值范围是ABCD解析 以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴, 那么,A , 2. 2021年高考陕西理如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,那么直线与直线夹角的余弦值为ABCD解析:不妨设,直线与直线夹角为锐角,所以余弦值为,选A. 3.2021年高考天津理如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,.()证明丄;()求二面角的正弦值;()设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求AE的长.【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角

2、、异面直线所成的角,直线与平面垂直等根底知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:1以为正半轴方向，建立空间直角左边系那么2，设平面的法向量那么 取是平面的法向量得：二面角的正弦值为3设；那么， 即方法二:(1)证明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以. (2)解:如图,作于点,连接,由,可得平面.因此,从而为二面角的平面角. 在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值为. 4.2021年高考新课标理如图,直三棱柱中,是棱的中点,(1)证明:(2)求二面角的大小.第一问省略第二问：如图建系: A(0,0,0),P(0,

3、0,),M(,0), N(,0, 0),C(,3,0). 设Q(x,y,z),那么. ,. 由,得:. 即:. 对于平面AMN:设其法向量为. . 那么. . 同理对于平面AMN得其法向量为. 记所求二面角AMNQ的平面角大小为, 那么. 所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为. 5.2021年安徽如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，OAB，,，都是正三角形。证明直线；II求棱锥FOBED的体积。此题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等根本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.I综合法证明：设G是线段DA与EB延长线的

4、交点. 由于OAB与ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，设是线段DA与线段FC延长线的交点，有又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.向量法过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如下图空间直角坐标系.由条件知那么有所以即得BCEF. II解：由OB=1，OE=2，而OED是边长为2的正三角形，故 所以过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱

5、锥FOBED的高，且FQ=，所以6.2021年北京 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面假设求与所成角的余弦值；当平面与平面垂直时，求的长. 证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，那么P0，2，A0，0，B1，0，0，C0，0.所以设PB与AC所成角为，那么.由知设P0，tt0，那么设平面PBC的法向量,那么所以令那么所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得

6、所以PA=7. 2021年福建 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，I求证：平面PAB平面PAD；II设AB=AP i假设直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；ii在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。分析： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等根底知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，总分值14分。解法一：I因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所

7、以平面平面PAD。II以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz如图在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，那么在中，DE=，设AB=AP=t，那么Bt，0，0，P0，0，t由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，i设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得舍去，因为AD，所以ii假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G0，m，0其中那么，由得，2由1、2消去t，化简得3由于方程3没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，

8、使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二：I同解法一。IIi以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz如图在平面ABCD内，作CE/AB交AD于E，那么。在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，那么在中，DE=，设AB=AP=t，那么Bt，0，0，P0，0，t由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得舍去，因为AD，所以ii假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，由GC=CD，得，从而，即设，在中，这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使

9、得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。8.2021年广东 如图5在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点1 证明：AD 平面DEF;2 求二面角P-AD-B的余弦值 法一：1证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。 2，为二面角PADB的平面角，在在法二：1取AD中点为G，因为又为等边三角形，因此，从而平面PBG。延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如下图空间直角坐标系。设由于 得平面DEF。 2取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取