高中数学函数单调性教案模板.docx

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1、高中数学函数单调性教案模板第1篇：函数单调性_七级数学教案_ 函数单调性_七年级数学教案_模板 课题：1.3.1函数的单调性教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性教学重点：函数的单调性及其几何意义教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性教学过程：一、引入课题1 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1 1 随x的增大，y的值有什么变化？2 能否看出函数的最大、最小值？yx1-1

2、1-13 函数图象是否具有某种对称性？ 2 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 _? 2 在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ yx1-11-1 2f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 _? 2 在区间 _ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ yx1-11-13f(x) = x2 1在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 2 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 二、新课教学（一）函数单调性定义1增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变

3、量x1，x2，当x1I上的单调性怎样？证明你的结论说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论四、作业布置1 书面作业：课本P45 习题13（A组） 第1- 5题2 提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，1 求f(0)、f(1)的值；2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)1的解集 126 一元二次方程的应用（三） 一、素质教育目标 （一）

4、知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题 （二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识 二、教学重点、难点 1教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题 2教学难点：有关增长率之间的数量关系下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了 三、教学步骤 （一）明确目标 （二）整体感知 （三）重点、难点的学习和目标完成过程 1复习提问 （1）原产量+增产量=实际产量 （2）单位时间增产量=原产量增长率 （3）实际产量=原产量（1+增长率） 2例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到

5、7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？ 分析：设平均每月的增长率为x 则2月份的产量是5000+5000x=5000（1+x）（吨） 3月份的产量是5000（1+x）+5000（1+x）x =5000（1+x）2（吨） 解：设平均每月的增长率为x，据题意得： 5000（1+x）2=7200 （1+x）2=1.44 1+x=1.2 x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去） 取x=0.2=20 教师引导，点拨、板书，学生回答 注意以下几个问题： （1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x （2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系 （3）用直接开平方法做简单，

6、不要将括号打开 练习1教材P.42中5 学生分析题意，板书，笔答，评价 练习2若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程 （1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率 （1+x）2=b（把原来的总产值看作是1） （2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数 （a（1+x）2=b） （3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数 （1+x）2=b+1把原来的总产值看作是1） 以上学生回答，教师点拨引导学生总结下面的规律： 设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为a（1+x），增

7、长两次后的产值为a（1+x）2 ，增长n次后的产值为S=a（1+x）n 规律的得出，使学生对此类问题能居高临下，同时培养学生的探索精神和创造能力 例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？ 分析：设每次降价为x 第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元） 第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）x =600（1-x）2（元） 解：设每次降价为x，据题意得 600（1-x）2=384 答：平均每次降价为20 教师引导学生分析完毕，学生板书，笔答，评价，对比，总结 引导学生对比“增长”、“下降”的区

8、别如果设平均每次增长或下降为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b） （四）总结、扩展 1善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法 2在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题 3我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率3年、4年，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程 四、布置作业 教材P.42中A8 五、板书设计 12.6 一元二次方程应用（三） 1数量关系： 例1 例2 （1）原产量+增产量=实际产量

9、 分析： 分析 （2）单位时间增产量=原产量增长率 解 解 （3）实际产量=原产量（1+增长率） 2最后产值、基数、平均增长率、时间 的基本关系： M=m（1+x）n n为时间 M为最后产量，m为基数，x为平均增长率 对学好初中数学的一点体会 中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2022）24-0079-01 数学家华罗庚对数学有过精辟的阐述，课本的首章首页写道：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，大千世界，天上人间，无处不有数学的贡献。同时，数学又是必考科目之一，所以从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能学好数学呢？

10、 要回答这个问题似乎非常简单：把定理、公式都记住，勤思好问，多做几道题，不就行了。 事实上并非如此，比如：有的同学把书上的黑体字都能一字不落地背下来，可就是不会用；有的同学不重视知识、方法的产生过程，死记结论，生搬硬套；有的同学眼高手低，“想”和“说”都没问题，一到“写”和“算”，就漏洞百出，错误连篇；有的同学懒得做题，觉得做题太辛苦，太枯燥，负担太重；也有的同学题做了不少，辅导书也看了不少，成绩就是上不去，还有的同学复习不得力，学一段、丢一段。究其原因有两个： 一是学习态度问题：有的同学在学习态度上，说不清是进取还是退缩，是坚持还是放弃，是维持还是改进，他们勤奋学习的决心经常动摇，投入学习的

11、精力也非常有限，思维通常也是被动的、浅层的和粗放的，学习成绩也总是徘徊不前。 二是学习方法问题：有的同学根本就不琢磨学习方法，被动地跟着老师走，上课记笔记，下课写作业，机械应付，效果平平；有的同学今天试这种方法、明天试那种方法，“病急乱投医”，从不认真领会学习方法的实质，更不会将多种学习方法融入自己的日常学习环节，养成良好的学习习惯；更多的同学对学习方法存在片面的、甚至是错误的理解，比如，什么叫“会了”？是“听懂了”，还是“能写了”，或者是“会讲了”？这种带有评价性的体验，对不同的学生来说，差异是非常大的，这种差异影响着学生的学习行为及其效果。 由此可见，正确的学习态度和科学的学习方法是学好数

12、学的两大基石。这两大基石的形成又离不开平时的数学学习实践，下面就几个数学学习实践中的具体问题谈一谈如何学好数学。 一、运算是学好数学的基本功 初中阶段是培养数学运算能力的黄金时期，从目前的数学评价来说，运算准确还是一个很重要的方面，运算屡屡出错会打击学生学习数学的信心，从个性品质上说，运算能力差的同学往往粗枝大叶、不求甚解、眼高手低，从而阻碍了数学思维的进一步发展。从学生试卷的自我分析上看，会做而做错的题不在少数，且出错之处大部分是运算错误，并且是一些极其简单的小运算，如71-19=68，（3+3）2=81等，错误虽小，但决不可等闲视之，决不能让一句“马虎”掩盖了其背后的真正原因。帮助学生认真

13、分析运算出错的具体原因，是提高学生运算能力的有效手段之一。在面对复杂运算的时候，常常要注意以下两点：情绪稳定，算理明确，过程合理，速度均匀，结果准确；要自信，争取一次做对；慢一点，想清楚再写；少心算，少跳步，草稿纸上也要写清楚。 二、理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提 理解的标准是“准确”“简单”和“全面”。“准确”就是要抓住事物的本质；“简单”就是深入浅出、言简意赅；“全面”则是“既见树木，又见森林”，不重不漏。对数学基础知识的理解可以分为两个层面：一是知识的形成过程和表述；二是知识的引申及其蕴涵的数学思想方法和数学思维方法。 一般地说，记忆是个体对其经验的识记、保持和再现，是信息的输入

14、、编码、储存和提取。借助关键词或提示语尝试回忆的方法是一种比较有效的记忆方法，比如，看到“抛物线”三个字，你就会想到：抛物线的定义是什么？标准方程是什么？抛物线有几个方面的性质？关于抛物线有哪些典型的数学问题？不妨先写下所想到的内容，再去查找、对照，这样印象就会更加深刻。另外，在数学学习中，要把记忆和推理紧密结合起来，比如在三角函数一章中，所有的公式都是以三角函数定义和加法定理为基础的，如果能在记忆公式的同时，掌握推导公式的方法，就能有效地防止遗忘。 要讲究学法，注意探索能力、创新能力的培养。在同一班级中，往往会有这样的现象：同样是努力学习，效果会相差很大，数学中有许多新的概念要学习，有的只会

15、死记硬背，死套公式，不注意灵活运用；有的却能从理解上下功夫，会灵活运用，会举一反三，会触类旁通。数学家高斯小时候计算123100时，不是逐一累加，而是首尾对称相加得（1100）（299）（5051）=101?0=5050，他的思维和方法就突破了常规；数学家王梓坤认为，数学学习三要素是理解、熟练和创新。理解，就是要懂得基本概念、法则；然后是掌握技能技巧，力求达到融会贯通，这就是熟练；最后要注意巧思妙解，争取思维的发展、灵活和创新，这是数学学习的较高境界！一、教学目标： 通过观察生活中的大量物体，认识基本的几何体。 经过比较不同的物体学会观察物体间的不同特征，体会几何体间的联系与区别。 二、教学过

16、程： 1、引入：（1）幻灯投影P2的彩图，利用现实生活的背景让学生说出熟悉的几何体（如球体、长方体、正方体等） （2）展出圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球的模型，让学生分别说出这几种几何体的名称。 2、过程： （1）组织学生分组讨论圆柱、圆锥的共同点与异同点，然后学生回答。 （2）组织学生分组讨论棱柱、圆锥的共同点与异同点，老师巡场指导。 （3）学生回答问题。老师鼓励学生大胆说出自己的答案，并对每一种答案再交由学生共同讨论它的正确性。 （4）幻灯演示，棱柱的两种类型：直棱柱与斜棱柱，一般棱柱仅指直棱柱。 （5）组织学生讨论如何对以上几何体进行分类： （1）按底面 （2）按侧面 学生上台动手将这几种

17、几何体进行分类，老师让学生试着说明归类的理由是什么？无论学生说什么老师都应用鼓励的目光让学生说出自己的答案。 3、议一议： 投影P3的图片让学生感知这是现实生活中的一角，可能是书房的一角可能是教室的一角，让学生分组讨论： （1）、上图中哪些物体的形状与长方体、正方体类似？ （学生在回答桌面时老师应指出桌面是指整个层面） （2）上图中哪些物体的形状与圆柱、圆锥类似？挂篮球的网袋是否类似于圆锥？为什么？ （3）请找出上图中与笔筒形状类似的物体？ （4）请找出上图中与地球形状类似的物体？ 4、想一想： 生活中还有哪些物体的形状类似于棱柱、圆柱、圆锥与球。 5、小结： 与学生总结本节课所学的内容，通过

18、感知不同的物体体验现实生活中原来有如此多的几何体，几何体在我们的生活中无处不在。我们也学会简单地区别不同的物体。 6、作业： P4习题 第2篇：高一数学教案：函数单调性 教学目标 会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。 重 点 函数单调性的证明及判断。 难 点 函数单调性证明及其应用。 一、复习引入 1、函数的定义域、值域、图象、表示方法 2、函数单调性 (1)单调增函数 (2)单调减函数 (3)单调区间 二、例题分析 例 1、画出下列函数图象，并写出单调区间： (1) (2) (2) 例 2、求证：函数 在区间

19、上是单调增函数。 例 3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。 变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论 变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。 例 4、试判断函数 在 上的单调性。 三、随堂练习 1、判断下列说法正确的是 。 (1)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的单调增函数; (2)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是单调减函数; (3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数; (4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。 2、若一次函数 在 上

20、是单调减函数，则点 在直角坐标平面的( ) A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面 3、函数 在 上是_ _;函数 在 上是_ _。 3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。 4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。 四、回顾小结 1、函数单调性的判断及证明。 课后作业 一、基础题 1、求下列函数的单调区间 (1) (2) 2、画函数 的图象，并写出单调区间。 二、提高题 3、求证：函数 在 上是单调增函数。 4、若函数 ，求函数 的单调区间。 5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。 三、能力题 6、已知函数 ，试讨论函数f(x)在区

21、间 上的单调性。 变(1)已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。 第3篇：函数的单调性教案 数学必修一 1.3.1函数的单调性 姓名：吴志强 班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院 学号：08071601021 1.3.1函数的单调性 一、教学目标 1) 通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2) 理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征 3) 能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性 4) 通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质 二、教学重点 函数单调性的定义及单调函数

22、的图像特征 三、教学难点 利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性 四、教学与学法 启发式教学，充分发挥学生的主体作用 五、教学过程 (一) 引入 如图为某地区2022年元旦这一天24小时内的气温变化图， 教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？ 教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？ (二) 作出下列函数的图像 l 图像1 y=2x+1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为上升）称为增函数 l 图像2 y=-2x+1在R上，y随x的增大而减小，

23、若任意x1f(x2)（左到右为下降）称为减函数 l 图像3 y=x2以对称轴，左侧下降，右侧上升 在(-,0上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,+上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数 问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 以y=x2为例，在(0,+上任取x1，都有x1x2 22、 x2，则 f(x1)=x12， f(x2)=x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,+上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即y=x在(0,+上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出y=x2在(0,+上为增函数 2在区间(-,0上同理推得y=x （三）定义

24、 为减函数 一般的设函数f(x)的定义域为I a) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值 1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时， ，那么说函数f(x)在区间D上为增函数 xxx1f(x2)时， ，那么说函数f(x)在区间D上为减函数 （四）单调性、单调区间定义： 如果函数y=f(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间D为y=f(x)的单调区间 （五）举例 例 1、如图，y=f(x)在定义在-5,5的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。 解：单调区间-5,-2,-2,1,1,3,

25、3,5 -5,-2,1,3为减函数，-2,1,3,5为增函数 注意： a) 书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“U”链接 b) 对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c) 函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的 例 2、证明f(x)=-2x+3在R上为单调减函数 证明： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)Qx1x2x1-x20f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)函数f(x)=-2x+3在R上为单调减函数 小结：证明函数单调性的步骤 a) 设值，设任意的 1、b) 作

26、差变形，xx2 ，且 x1x2 f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等 的正负 c) 判断差符号，确定 f(x1)-f(x2)d) 下结论，由定义得出函数的单调性 （六）课堂练习 证明f(x)=x在0,+是增函数证明：设x1,x20,+),且x10x2)x2)=x1-x2x1+x2(对分子有理化详细讲解）又Q0x1 给学生时间做32练习4 解： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+)-(-2x2+)=-2(x1-x2)Qx1x2x1-x20f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)函数f(x)=-2x+1在R上为单调减

27、函数 （七）课堂小结 a) 增函数、减函数的定义 b) 图像法判断函数的单调性 （由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数） c) 证明单调函数的步骤 （设值作差变形.判断差符号.下结论.） （八）作业 P39习题 1、3A组 1、题2 判断函数f(x)=x3+1在(,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0，），函数f(x)是增函数还是减函数？ 第4篇：函数的单调性教案 函数的单调性 教学目标 知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。 能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察

28、猜想推理证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。 德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。： 教学重点：函数单调性的有关概念的理解 教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性 教 具： 多媒体课件、实物投影仪 教学过程： 一、创设情境，导入课题 引例1如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图观察这张气温变化图： 问题1：气温随时间的增大如何变化？ 问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 引例2观察二次函数 的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。 结论：（

29、1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升； （2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。 上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。 二、给出定义，剖析概念 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 若当图3）； 若当图4）。 )f( ),则f(x) 在这个区间上是减函数（如 ) ),则f(x)在这个区间上是增函数（如 单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数

30、是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。 注意： （1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 当x1 f(x2)y随x增大而减小。 几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。 （2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。 有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。 。 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。（） 函数的单调性是函数在一个

31、单调区间上的“整体”性质，不能用特殊值代替。 训练：画出下列函数图像，并写出单调区间： 三、范例讲解，运用概念 具有任意性，例1、如图，是定义在闭区间-5，5上的函数出函数。 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数 的图象，根据图象说 是增函数还减 注意： （1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。 （2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。 例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。 引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程： 证明：设任意的

32、由 于是 即 所以，。 在R上是增函数。 ，得 ，且 ，则 分析证明中体现函数单调性的定义。 利用定义证明函数单调性的步骤： 任意取值：即设x 1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 作差变形：作差f(x1)f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 判断定号：确定f(x1)f(x2)的符号 得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差 0，则为减函数） 即“任意取值作差变形判断定号得出结论” 例 3、证明函数 证明：设 ，且 在(0,+)上是减函数.，则 由 又由 于是 即。 ，得 ，得即 （*） ， 。 所以，函数 问题1 ： 在区间 在 上是单

33、调减函数。 上是什么函数？(减函数) 在定义域 上是减函数？ （学生讨论 问题2 ：能否说函数得出） 四、课堂练习，知识巩固 课本59页 练习：第 1、 3、4题。 五、课堂小结，知识梳理 1、增、减函数的定义。 函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。 2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明： 证明的步骤：任意取值作差变形判断符号得出结论。 六、布置作业，教学延伸 课本60页 习题2.3 ：第 4、 5、6题。 第5篇：复合函数单调性教案 复合函数单调性教案 教学目标 知识目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.

34、会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.能力目标 培养学生的数学转化思想和构建数学建模能力。 情感目标 培养学生分析问题，解决问题的能力。 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计 师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函

35、数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例 求下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k0). 解 当k0时，(，+)是这个函数的单调增区间；当k0时，(，+)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=k (k0).x解 当k0时，(，0)和(0，+)都是这个函数的单调减区间，当k0时，(，0)和(0，+)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a0). bb)是这个函数的单调减区间，(，+)是它的单调增区间；2a2abb当a0时(，)是这个函数的单调增区间，(，+)是它的单调减区间；

36、 2a2a解 当a0时(，4.指数函数y=ax(a0，a1). 解 当a1时，(，+)是这个函数的单调增区间，当0a1时，(，+)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a0，a1). 解 当a1时，(0，+)是这个函数的单调增区间，当0a1时，(0，+)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=xn(n为有理数)，由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(，+)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(，

37、+)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书) 引理1 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)

38、g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)， 故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢? 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.) 引理2 已知函数y=fg(x).若u=g(

39、x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d). 因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2) ，故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱

40、们把它们总结成一个图表.(板书) 师：你准备怎样记这些引理?有规律吗? (由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.) 师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1 求下列函数的单调区间： y=log4(x24x+3) 师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案? 生：这是由 y=log4u与u=x24x+3构成的一个复合

41、函数，其中对数函数 y=log4u 在定义域(0，+)上是增函数，而二次函数u=x24x+3，当x(，2)时，它是减函数，当x(2，+)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(，2)为复合函数的单调减区间；(2，+)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么? 生： 生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢? 生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的 定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的 单调区间时，第一步应该怎么做?