排列组合常见题型与解题策略答案.doc

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1、优质文本排列组合常见题型及解题策略一可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复的元素看作“店，那么通过“住店法可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】 1有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？2有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？3将3封不同的信投入4个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？【解析】：12 3【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习

2、生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 A、 B、 C、 D、【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店，3项冠军看作3个“客，他们都可能住进任意一家“店，每个“客有8种可能，因此共有种不同的结果。所以选A二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，

3、种【例2】2016四川卷理3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，其中男生甲站两端的有，符合条件的排法故共有288 三相离问题插空法 ：元素相离即不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法数

4、是【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法数字作答【解析】： 【例3】 高三一班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有20种不同排法。【例5】某市春节晚会原定10个节目，导

5、演最后决定添加3个与“抗冰救灾有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】： 【例6】.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，

6、那么坐法的种数有多少种？【解析】： 解法1、先将3个人各带一把椅子进行全排列有A，*，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两边都空位的排法有=24种.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有几种？【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有种方法. 注：题中*表示元素，表示空.四元素分析法位置分析法：某个或几个

7、元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例1】 2017年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，假设其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，那么不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。 方法二：分两类：假设小张或小赵入选，那么有选法；假设小张、小赵都入选，那么有选法，共有选法36种，选A. 【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，假设老师不站两端那么有不同的排法有多少种？【解析】：

8、 老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一： 法二： 法三：五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】1 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种2把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为AB CD 38个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：1前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成

9、6个不同的元素排成一排，共种，选. 2答案：C3看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.六定序问题缩倍法等几率法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必须站在的右边可以不相邻那么不同的排法种数【解析】：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？【解析】 ：法一： 法二：【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字

10、母排成一排，假设A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原那么A、B、C允许不相邻，有多少种不同的排法？ 【解析】 ：法一： 法二： 六标号排位问题不配对问题 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，

11、选.【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么4张贺年卡不同的分配方式共有( ) A6种B9种C11种D23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，那么乙的取法可分两类：1乙取a，那么接下来丙、丁取法都是唯一的，2乙取c或d2种方式，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取

12、法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。 应选B【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )A60种B44种C36种D24种 答案：B 七不同元素的分配问题先分堆再分配：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按以下分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ 分成1本、2本、3本三组；分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；分成每组都是2本的三个组；分给甲、乙、丙三人，每个人2本；分给5人每人至少1本。【解析】 ：1 2 3 4 5【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配

13、方案有 种数字作答【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有所以满足条件得分配的方案有说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，那么不同的分派方法共有A150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，假设是1,2,2，那么有60种，假设是1,1,3，那么有90种，所以共有150种，选A【例4】 将9个含甲、乙平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为 A70B140C2

14、80D840 答案 ： A 【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，那么不同的分配方案有 A种B种 C种D种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种分配方案。选B.【例6】 某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程,且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有 种 A16种 B36种 C42种 D60种【解析】：按条件工程可分配为与的结构， 应选D；【例7】15本不同的书，全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为

15、 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：.212名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有多少种？答案： 【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到

16、西宁，共有多少种不同派遣方案？ 【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：假设甲乙都不参加，那么有派遣方案种；假设甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；假设乙参加而甲不参加同理也有种；假设甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.八相同元素的分配问题隔板法：【例1】：

17、把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，那么有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种。【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种. 变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放

18、法有 种变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯方法有 种【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？ 【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、种方法。3、由分步计数原理

19、可得=720种九多面手问题 分类法选定标准 【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？ 变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式? 答案 ：185十走楼梯问题 分类法与插空法相结合【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。相邻楼层之间有16级台阶，那么小明从一

20、层到二层共有多少种不同的走法？【解析】：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1有0次走3级台阶即全走2级，那么有1种走法； 2有1次走三级台阶。不可能完成任务；3有两次走3级台阶，那么有5次走2级台阶：a两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有 种b两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，有种走法。4有3次不可能5有4次走3级台阶，那么有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶形成得空中，同3考虑挨着和不挨着两种情况有种走法；6有5次不可能 故总共有：1+6+15+15=37种。变式：欲登上第10级楼梯，

21、如果规定每步只能跨上一级或两级，那么不同的走法共有( )A34种B55种C89种D144种 答案： C十一排数问题注意数字“0【例1】1由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A、210种 B、300种 C、464种 D、600种【解析】：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个， 个，合并总计300个,选.2从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法不计顺序有多少种？【解析】：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个

22、有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.十二染色问题：涂色问题的常用方法有：1可根据共用了多少种颜色分类讨论;2根据相对区域是否同色分类讨论; 3将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例1】 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)假设恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，

23、故有种方法。(2)假设恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。(3)假设恰用五种颜色染色，有种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.【解析二】设想染色按SABCD的顺序进行，对S、A、B染色，有5x4x3=60种染色方法。 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论： C与A同色时此时C对颜色的选取方法唯一，D应与AC、

24、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1x3+2x2=7种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是60x7=420【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有几种的涂色方法？总体实施分步完成,可分为四大步:给S涂色有5种方法;给A涂色有4种方法(与S不同色);给B涂色有3种方法(与不同色);给涂色.当C与A异色时都有2种涂色方法; 当C与A同色时有一种涂色方法(与A同色)有3种涂色方法.给涂色共有22+3=7种方法.由分步计数原理共有5437=420种方法规律小结 涂色问题的常用方法有：1可根据共用了多少种颜色分类讨论;2根据相对区域是否同色分类讨论;3将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。十三“至多“至少问题用间接法或分类:十四 几何中的排列组合问题:【例1】 直线是非零常数与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有： 12 个 其中关于原点对称的有4 条 不满那么条件 切线有 ，其中平行于坐标轴的有14条 不满那么条件 66-4+12-14=60 答案:60