高三圆锥曲线经典归纳.doc

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1、优质文本课 题高考数学复习专题圆锥曲线教学目标1. 掌握三种圆锥曲线的定义、图像和简单几何性质。2. 准确理解根本概念如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等。3. 熟练掌握根本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等。4. 熟练掌握求直线方程的方法如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等。5. 在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算。6. 了解线性规划的意义及简单应用。7. 熟悉圆锥曲线中根本量的计算。8 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨

2、法、几何法、待定系数法等。9 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题。重点难点1. 掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法。2. 掌握圆锥曲线中根本量的计算和直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法。圆锥曲线概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结：1第一定义中要重视“括号内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值与|FF|不可无视。假设|FF|，那么轨迹是以F，F

3、为端点的两条射线，假设|FF|，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。如1定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如点及抛物线上一动点Px,y,那么y+|PQ|的最小值是_标准方程是指中心顶点在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数，焦点在轴上时1。方程表示椭圆的充要条件是什么？ABC

4、0，且A，B，C同号，AB。如1方程表示椭圆，那么的取值范围为_2假设，且，那么的最大值是_，的最小值是_2双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：1。方程表示双曲线的充要条件是什么？ABC0，且A，B异号。如1双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，那么该双曲线的方程_2设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_3抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。首先化成标准方程，然后再判断：1椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是_2双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；3抛

5、物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：1在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；2在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。：1椭圆以为例：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心0,0，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。如1假设椭圆的离心率，那么的值是_2以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三

6、角形的面积最大值为1时，那么椭圆长轴的最小值为_2双曲线以为例：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心0,0，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。如1双曲线的渐近线方程是，那么该双曲线的离心率等于_2双曲线的离心率为，那么=3设双曲线a0,b0中，离心率e,2,那么两条渐近线夹角的取值范围是_ 3抛物线以为例：范围：；焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点0,

7、0；准线：一条准线； 离心率：，抛物线。如设，那么抛物线的焦点坐标为_5、点和椭圆的关系：1点在椭圆外；2点在椭圆上1；3点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如1假设直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，那么k的取值范围是_答：2直

8、线ykx1=0与椭圆恒有公共点，那么m的取值范围是_3过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，假设AB4，那么这样的直线有_条2相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；3相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：1直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；2过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两

9、支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；3过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如1过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_2过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_；3过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，假设4，那么满足条件的直线有_条4对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，假设点在抛物线的内部，

10、那么直线：与抛物线C的位置关系是_5过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与FQ的长分别是、，那么_6设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，那么和的大小关系为_(填大于、小于或等于)7求椭圆上的点到直线的最短距离8直线与双曲线交于、两点。当为何值时，、分别在双曲线的两支上？当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？7、焦半径圆锥曲线上的点P到焦点F的距离的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。如1椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，那么点P到右准线的距离为_2抛物线方程为，假设抛物线上

11、一点到轴的距离等于5，那么它到抛物线的焦点的距离等于_；3假设该抛物线上的点到焦点的距离是4，那么点的坐标为_4点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P的横坐标为_5抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，那么线段AB的中点到轴的距离为_6椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，那么点M的坐标为_8、焦点三角形椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，那么在椭圆中， ，且当即为短轴端点时，最大为；，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有

12、：；。如1短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，那么的周长为_2设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，假设，|PF1|=6，那么该双曲线的方程为 3椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当0时，点P的横坐标的取值范围是4双曲线的虚轴长为4，离心率e，F1、F2是它的左右焦点，假设过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，那么_5双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，求该双曲线的标准方程9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：1以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；2设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，那

13、么AMFBMF；3设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，假设P为AB的中点，那么PAPB；4假设AO的延长线交准线于C，那么BC平行于x轴，反之，假设过B点平行于x轴的直线交准线于C点，那么A，O，C三点共线。10、弦长公式：假设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，那么，假设分别为A、B的纵坐标，那么，假设弦AB所在直线方程设为，那么。特别地，焦点弦过焦点的弦：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如1过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于Ax1，y1，Bx2，y2两点，假设x1+x2=6，那么|AB|

14、等于_2过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，|AB|=10，O为坐标原点，那么ABC重心的横坐标为_11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理或“点差法求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=如1如果椭圆弦被点A4，2平分，那么这条弦所在的直线方程是 2直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，那么此椭圆的离心率为_3试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问

15、题时，务必别忘了检验！12你了解以下结论吗？1双曲线的渐近线方程为；2以为渐近线即与双曲线共渐近线的双曲线方程为为参数，0。如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_3中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；4椭圆、双曲线的通径过焦点且垂直于对称轴的弦为，焦准距焦点到相应准线的距离为，抛物线的通径为，焦准距为； 5通径是所有焦点弦过焦点的弦中最短的弦；6假设抛物线的焦点弦为AB，那么；7假设OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线AB恒经过定点13动点轨迹方程：1求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件

16、建立之间的关系；如动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程待定系数法：所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点Mm，0，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，那么此抛物线方程为定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，那么动点P的轨迹方程为2点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，那么点M的轨迹方程是_ (3) 一动圆与两圆M：和N：都外切，那么

17、动圆圆心的轨迹为代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某曲线上，那么可先用的代数式表示，再将代入曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，那么M的轨迹方程为_参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量参数表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。如1AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。2假设点在圆上运动，那么点的轨迹方程是_3过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，那么弦AB的中点M的轨迹方程是_注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那

18、么应从向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子转化。如椭圆的左、右焦点分别是F1c，0、F2c，0，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足1设为点P的横坐标，证明；2求点T的轨迹C的方程；3试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=假设存在，求F1MF2的正切值；假设不存在，请说明理由. 曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质数形结合(如角

19、平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系等等.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点，那么可选择应用“斜率或向量为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：1 给出直线的方向向量或；2给出与相交,等于过的中点;3给出,等于是的中点;4给出,等于与的中点三点共线;5 给出以下情形之一：；存在实数；假设存在实数,等于三点共线.6 给出，等于是的定比分点，为定比，即7 给出,等于,即是直角,给出,等于是钝角, 给出,等于是锐角,8给出,等于是的平分线/9在平行四边形中，给出

20、，等于是菱形;10 在平行四边形中，给出，等于是矩形;11在中，给出，等于是的外心三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；12 在中，给出，等于是的重心三角形的重心是三角形三条中线的交点；13在中，给出，等于是的垂心三角形的垂心是三角形三条高的交点；14在中，给出等于通过的内心；15在中，给出等于是的内心三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；16 在中，给出,等于是中边的中线;圆锥曲线的解题技巧一、高考考点 1、准确理解根本概念如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等2、熟练掌握根本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到

21、角公式、夹角公式等3、熟练掌握求直线方程的方法如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题A:常规题型方面1中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法点差法：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去

22、四个参数。 典型例题 给定双曲线。过A2，1的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。2焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 1求证离心率； 2求的最值。3直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的方法典型例题 1求证：直线与抛物线总有两个不同交点 2设直线与抛物线的交点为A、B，且OAOB，求p关于t的函数f(t)的表达式。4圆锥曲线的有关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题，常用代数

23、法和几何法解决。 假设命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式，那么可建立目标函数通常利用二次函数，三角函数，均值不等式求最值。1，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于2首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想。典型例题抛物线y2=2px(p0)，过Ma,0且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p1求a的取值范围；2假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面

24、积的最大值。5求曲线的方程问题1曲线的形状-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。假设点A-1，0和点B0，8关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题MNQO直角坐标平面上点Q2，0和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数0,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。6 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决典型例题 椭

25、圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称7两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题 直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点如图。 1求的取值范围；2直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：1充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数

26、方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，假设，求的值。二. 充分利用韦达定理及“设而不求的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。三. 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以防止求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题 求经过两圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这

27、也是我们常说的三角代换法。典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，那么，假设直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，假设，求值 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A3，2为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，假设取得最小值，求点P的坐标。