测量学-第六章.word版本.ppt

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1、测量学-第六章.第一节 测量误差的分类测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差1.粗差(错误)超限的误差2.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校)3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同表面看无规律性。例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)第一节 测量误

2、差的分类误差的处理原则1.避免错误2.多余观测：为了防止错误和提高观测精度，在测量工作中一般需要进行多余必要的观测（距离、角度）3.系统误差应当近可能的按照其产生的原因和规律加以改正第一节 测量误差的分类偶然误差特性举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i 进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。第一节 测量误差的分类第一节 测量误差的分类用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：频率直方图中，每一条形的面积表

3、示误差出现在该区间的频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于于y轴。轴。各条形顶边中点连线经光各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律偶然误差的普遍规律 第一节 测量误差的分类偶然误差的特性从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特四个特性性：(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限在一定的观测条件

4、下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值值(有界性有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性趋势性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性抵偿性)：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n无限增多无限增多(n)、误差区间误差区间d 无限缩小无限缩小(d 0)时

5、，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线正态分布曲线”，又称为又称为“高斯误差分布曲线高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有所以偶然误差具有正态分布正态分布的特性。的特性。正态分布曲线 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x=y第二节 评定误差精度指标几个概念准确度 (测量成果与真值的差异）精（密）度（观测值之间的离散程度）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）测量平差（求解最或是值并评定精度）一、平均误差在实际工作中，采用对某量有限次数的观测

6、值来求得算术平均值，即：第二节 评定误差精度指标二、中误差测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形观测次数观测次数n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形表示偶然误差的离散情形上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：i=i-X第二节 评定误差精度指标第二节 评定误差精度指标m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。m1小于小于m2,说明第一组说明第一组观测值的误差分布比较观测值的误差分布比较集集中中，其，其精度较高精度较高；相对地，；相对地，

7、第二组观测值的误差分布第二组观测值的误差分布比比 较较离散离散，其，其精度较低：精度较低：第三节 评定误差精度指标三、允许误差根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|评定误差精度指标三、相对误差三、相对误差(相对中误差)误差绝对值与观测量之比。用于表示距离距离

8、的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。例例2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米米,m1=0.02m；S2=200米米,m2=0.02m。计算。计算S1、S2的相对误差。的相对误差。K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高。精度较高。K1=；K2=100 5000 200 10000 0.02 1 0.02 1 第三节 误差传播定律在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，

9、如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。第三节 误差传播定律观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数第三节 误差传播定律一、线性函数中误差线性函数一般表达式式中式中x1、x2.xn分别为独立观测值分别为独立观测值式中k1、k2.kn分别为x的常系数1.倍函数第三节 误差传播定律 例例一一:在在1：500比比例例尺尺地地形形图图上上，量量得得A、B两两点点间间的的距距离离S=163.6mm，其其中中误误差差ms=0.2mm。求求A、B两两点点实实地地距距离离D及及其其中中误

10、误差差mD。D=81.80.1(m)mD=MmS=5000.2(mm)=0.1(m)解解：D=MS=500163.6(mm)=81.8(m)(M为为比例尺分母比例尺分母)第三节 误差传播定律2.和差函数 例二例二 某水准路某水准路线线各各测测段段高差的高差的 观测值观测值中中误误差分差分别为别为 h1=18.316m5mm，h2=8.171m4mm，h3=6.625m3mm，试试求求该该水准路水准路线线高差高差及其及其中中误误差差。h=16.882m7.1mm解解 h=h1+h2+h3=16.862()m 2h=m21+m 22m 23 =52+42+32 m h=7.1(mm)第三节 误差传

11、播定律3.一般线性函数中误差二、非线性函数中误差设有函数为独立独立观测值 (a)对(a)全微分(b)用偶然误差 、代替微量元素 、得：(c)转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：(6-5)二、非线性函数中误差二、非线性函数中误差例：例：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ，求由此引起的P点的坐标中误差 、，以及P点的点位中误差 。XYOxyDMP解：解：由误差传播定律：P点的点位中误差：第三节 误差传播定律通过以上误差传播定律的推导，我们可以通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤总结求观测值函数中误差

12、的步骤：1.列出函数式；列出函数式；2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式例：例：量得地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式例例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。解：解：对上式全微分：由中误

13、差式得：2.线性函数的中误差线性函数的中误差 函数式 全微分 中误差式 3.算术平均值的中误差式 由于等精度观测时，代入上式：得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差当等精度观测时：上式可写成：例例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中误差 。解：解：函数式：全微分：中误差式：观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 例：试用中误差传播

14、定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：求全微分：其中：水平距离中误差：例例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度 基本公式：求全微分：其中：高差中误差：例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长 ,全微分:周长的中误差为 面积 ,全微分:面积的中误差为 (2)周长 ;周长的中误差为 面积全微分:但由于 得周长的中误差为 第四节 算术平均值及其中误差二、算术平均值中误差 x是

15、根据是根据观测值观测值所能求得的所能求得的最可靠的最可靠的结结果果，称，称为为最或是最或是值值或算或算术术平均平均值值。一、算术平均值 在实际工作中，采用对某量在实际工作中，采用对某量有限次数有限次数的观测值来求得算术平均值，即：的观测值来求得算术平均值，即：函数式 全微分 中误差式 算术平均值的中误差式 由于等精度观测时，代入上式：得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。例：例：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？=(1+2+3)-180解：解：由题意

16、：2m=15,则 m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。第五节 同等观测值的中误差 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值)用观测值的改正数用观测值的改正数v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式)观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值)对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1=1-

17、X 2=2-X n=n-X上式等号两边分别相加得和：x=1+2+nn两边除以n：由当观测无限多次时：得当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。观测值的改正数v ：Vi=L-i(i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检核L=nv=nL-nv=n -=0v=0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x=n 以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数

18、v，符合vv=min 的“最小二乘原则”。精度评定用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在 与 中：证明如下证明如下：真误差：真误差：改正数：改正数：由上两式得对上式取n项的平方和其中:中误差定义:白塞尔公式:算例例：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V计计 算其中误差：算其中误差：次数次数观测值观测值V VV VV V备注备注1 17676 42424949-4-416162 27676

19、 42424040+5+525253 37676 42424242+3+39 94 47676 42424646-1-11 15 57676 42424848-3-39 9平均平均7676 42424545 V V=0=0VVVV=60=60 7642451.74 算例：算例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离该距离的算术平均值的算术平均值；观测值的中误差观测值的中误差 ；算术平均值的算术平均值的中误中误 差差；算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第六节 不同精度观测一、权的概念一、权的概念 权是权

20、衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1 权的定义：设一组不同精度的观测值为l i,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为称Pi为观测值l i 的权。1.1.权的定义：权的定义：权的定义：权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2 权的性质（1 1）权表示观测值的相对精度；）权表示观测值的相对精度；（2 2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；度高；（3 3）权的大小由选定的）权的大小

21、由选定的值确定，但测值权之间权的比例值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个关系不变，同一问题仅能选定一个值。值。二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法1 同精度观测值的权对于一组同精度观测值l i，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定=m2，则一次观测值的权为：n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：同精度观测值算术平均值的权为：2 单位权与单位权中误差单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值l i，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定=m2，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差

22、为mi的观测值，其权为：相应中误差的另一表示方法为3 水准测量的水准测量的权与测站数成反比权与测站数成反比，或者，或者与路线长度成反比与路线长度成反比。4 4 角度测量的角度测量的权与测回数成正比权与测回数成正比。5 5 距离测量的距离测量的权与长度成反比权与长度成反比三、非等精度观测值的最或是值三、非等精度观测值的最或是值加权平均值加权平均值设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,ln,其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：四、加权平均值的中误差四、加权平均值的中误差本 章 小 结一、基本概念1测量误差=真值-观测值。2观测误差按性质分为系统误差和偶然误

23、差。3算术平均值：(L1，L 2，L n为等精度观测值)4最或是误差：Vi =x-Li (i=1，2，n)且 二、评定观测值精度的标准1中误差：2允许误差：容=2 m或 容=3 m3相对中误差：4算术平均值中误差及相对误差：思考题与习题一、思考题1什么叫测量误差？产生测量误差的原因有哪些？2学习误差基本知识以后，在实际测量工作中应注意哪些问题？3什么是最或是误差？它有何特性？4试述中误差、容许误差、相对误差的含义与区别。5观测值函数的中误差与观测值中误差存在什么关系？二、习题1同精度丈量某基线8次，各次丈量结果如下：L1=87.925 m，L2=87.917m，L3=87.920 m，L4=8

24、7.930 m，L5=87.928 m，L6=87.93 m，L7=87.923 m，L8=87.933 m，求最或是值、观测值中误差、算术平均值中误差及其相对误差。2在水准测量中，每一测站观测的中误差均为 3 mm，今要求从已知水准点推测待定点的高程中误差不大于 5 cm，问最多只能设多少站？3在比例尺为1:500的地形图上，用直尺量测A、B两点间距离共6次，得下列结果：L1=57.8 mm，L2=57.4 mm，L3=57.6 mm，L4=57.4 mm，L5=57.7 mm，L6=57.5 mm，求：(1)观测值中误差；(2)算术平均值的中误差；(3)算出AB实际距离及其相应的中误差。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢