3-Arrow-Debreu经济.ppt

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1、第第 3 章章 Arrow-Debreu 经济经济 3.1 Arrow-Debreu 证券经济证券经济 【定义【定义【定义【定义3.13.1】状态状态状态状态 或有要求权或有要求权或有要求权或有要求权（state-contingent claim）就是当状态为就是当状态为 时支付为时支付为 1 1 而在其他状态下支而在其他状态下支付为付为 0 0 的证券。的证券。可以写成这样的解析形式可以写成这样的解析形式 ，其中，其中 是是示性函数示性函数示性函数示性函数（indicator function）。）。0,状态状态1,状态状态0,状态状态0,状态状态0,状态状态 1 对于每一个状态，可以定义相

2、应的状态或有要求权。对于每一个状态，可以定义相应的状态或有要求权。总括起来，我们共有总括起来，我们共有 个状态或有要求权。个状态或有要求权。这些状态或有要求权或者状态或有证券（这些状态或有要求权或者状态或有证券（state-contingent security）也叫做也叫做 ArrowArrowDebreuDebreu证券证券证券证券（Arrow-Debreu security）。由所有可能的状态或有证券的完全集合所构成的证由所有可能的状态或有证券的完全集合所构成的证券市场就叫做券市场就叫做 Arrow-Arrow-DebreuDebreu证券市场证券市场证券市场证券市场。在在Arrow-A

3、rrow-DebreuDebreu证券市场证券市场证券市场证券市场中，不同证券的个数等于中，不同证券的个数等于可能的状态数，即可能的状态数，即 。其市场结构是一个单位矩阵：其市场结构是一个单位矩阵：3.2 状态价格状态价格 ：状态：状态 或有证券在或有证券在 0 期的价格（以期的价格（以 0 期的期的消费品为单位）。也叫消费品为单位）。也叫状态状态状态状态 的状态价格的状态价格的状态价格的状态价格（state price）。）。状态价格向量记为状态价格向量记为 由由于于证证券券市市场场中中不不应应存存在在免免费费午午餐餐，所所以以状状态态价价格必须为正：格必须为正：3.3 市场的完全性市场的完

4、全性 记记 为为 1 期的任一消费计划。期的任一消费计划。考虑如下组合：考虑如下组合：单位的状态单位的状态 1 或有证券，或有证券，单位的状态单位的状态 或有证券，或有证券，单位的状态单位的状态 或有证券。或有证券。也就是：也就是：它的支付就是它的支付就是 ：这个支付的成本是：这个支付的成本是：【定义【定义【定义【定义3.23.2】如果市场中的任一有限消费计划都可如果市场中的任一有限消费计划都可以通过有限成本的可交易证券的组合来融资，那么我以通过有限成本的可交易证券的组合来融资，那么我们就称这个们就称这个证券市场是完全的证券市场是完全的证券市场是完全的证券市场是完全的。3.4 参与者的优化参与

5、者的优化 考虑一个参与者，他的禀赋为考虑一个参与者，他的禀赋为 ，效用函数为，效用函数为 。参与者的参与者的 1 期禀赋就是他对期禀赋就是他对A-D证券的初始持有量。证券的初始持有量。组合组合 所带来的支付与参与者所带来的支付与参与者在在 l 期的禀赋完全一样：期的禀赋完全一样：复制组合复制组合复制组合复制组合（replicating portfolio）它的支付复制了给定的一个支付它的支付复制了给定的一个支付 。组合组合 可以在市场上进行交易，市值为可以在市场上进行交易，市值为 ，参与者的禀赋的市场价值为：参与者的禀赋的市场价值为：（3.2）我们称之为我们称之为金融财富金融财富金融财富金融财

6、富（financial wealth）。设想一个参与者把他的禀赋设想一个参与者把他的禀赋 兑换成总额兑换成总额为为 的现金。而后，他可以用这些的现金。而后，他可以用这些现金来购买现在的消费现金来购买现在的消费 和状态或有证券的组和状态或有证券的组合合 以得到未来消费以得到未来消费 。预算约束为现在和将来消费的总成本不能超过预算约束为现在和将来消费的总成本不能超过其总财富：其总财富：（3.3）定定义义扩扩展展的的价价格格向向量量 ，把把 l 单单位位 0 期期消费品的价格消费品的价格 当作它的第一个元素，当作它的第一个元素，预算约束可以写成预算约束可以写成 或者或者 优化问题变为：优化问题变为：

7、（3.4）【定理【定理【定理【定理3.13.1】令令 且且 在在 上连续，优化上连续，优化问题（问题（3.4）有解。）有解。【证明】【证明】【证明】【证明】在预算集内的消费计划集是在预算集内的消费计划集是因为因为 且且 ，我们可以确定，我们可以确定 是是 中的有界闭集。中的有界闭集。令令 为为 中的最小元素，它严格为正。中的最小元素，它严格为正。由此可以知道，对于由此可以知道，对于 中的任何一个消费计划，中的任何一个消费计划，它的任何一个元素不会超过它的任何一个元素不会超过 ，因此，因此，有界。有界。它同时也是闭的。而定义在它同时也是闭的。而定义在 上的连续函数上的连续函数 有界闭集上可以取到

8、最大值（有界闭集上可以取到最大值（Weierstrass定理）。定理）。假假设设参参与与者者的的效效用用函函数数可可微微。由由不不满满足足公公理理（Insatiability Axiom），），我们有我们有 （3.5）使用向量形式，我们可以写成：使用向量形式，我们可以写成：和和 【定定定定理理理理3.23.2】假假定定 ，那那么么问问题题（3.4）的的解解满足如下条件：满足如下条件：（3.6a）（3.6b）（3.6c）这里，这里，以及以及 是由（是由（3.6）确定的系数。（确定的系数。（3.6）的解也是（）的解也是（3.4）的解。）的解。（3.6）式所给定的条件叫做）式所给定的条件叫做 Kuh

9、n-TuckerKuhn-Tucker一阶条件一阶条件一阶条件一阶条件，一般情况下它们只是最优化的必要条件。一般情况下它们只是最优化的必要条件。进一步考虑二阶条件，加上凸性的假设，最优的二进一步考虑二阶条件，加上凸性的假设，最优的二阶条件自动满足。一阶条件就成了最优的充分条件。因阶条件自动满足。一阶条件就成了最优的充分条件。因此，求解最优化问题就简化成了求解一阶条件。此，求解最优化问题就简化成了求解一阶条件。【例例例例3.33.3】考考虑虑“Lucas 树树经经济济”，1 期期有有两两个个概概率率相相等等的的状状态态 和和 。假假设设 l 期期的的两两个个可可能能状状态态的的状状态态价价 格格

10、 分分 别别 为为 和和 。考考 虑虑 一一 个个 参参 与与 者者，他他 的的 禀禀 赋赋 为为 。他具有如下对数形式的效用函数：。他具有如下对数形式的效用函数：他的最优消费组合选择是什么他的最优消费组合选择是什么?给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是他的最优化问题是他的最优化问题是 其一阶条件为：其一阶条件为：对于对于 我们立即得到如下解：我们立即得到如下解：在参与者的优化问题中，如果达到最优时非负性约在参与者的优化问题中，如果达到最优时非负性约束不起限制作用，则最优解就叫做束不起限制作用，则最优解就叫做内部解内部解内部解内部解（interior sol

11、ution）。）。如果非负性约束起限制作用，则最优解叫如果非负性约束起限制作用，则最优解叫做做边角解边角解边角解边角解（corner solution），），它在消费集的边界上。它在消费集的边界上。假假设设存存在在内内部部解解，我我们们可可以以把把一一阶阶条条件件写写成成如如下下形式：形式：（3.7）由预算约束决定。这意味着由预算约束决定。这意味着 和和 ，因此，因此，（3.8）（3.8）式）式是在是在 Arrow-Debreu 证券市场中进行交易证券市场中进行交易的参与者达到最优化的条件。的参与者达到最优化的条件。它描述的是在达到最优时，在它描述的是在达到最优时，在 1 期状态期状态 下消费

12、下消费的边际效用与的边际效用与 0 期消费的边际效用之比等于期消费的边际效用之比等于 的状态的状态价格。价格。3.5 市场均衡市场均衡 Arrow-Debreu 经经济济的的均均衡衡是是使使如如下下条条件件成成立立的的状态价格集合状态价格集合 ：给定状态价格，每一参与者达到最优化给定状态价格，每一参与者达到最优化 证券市场出清：证券市场出清：【定理【定理【定理【定理3.33.3】对于定义对于定义 2.5 中给出的，存在中给出的，存在 Arrow-Debreu 证券市场的经济来说，均衡总是存在的。证券市场的经济来说，均衡总是存在的。下面我们来考虑均衡的性质。下面我们来考虑均衡的性质。均均衡衡时时

13、，参参与与者者根根据据市市场场价价格格选选择择最最优优的的消消费费组组合合计计划划。他他在在 1 期期任任意意状状态态下下的的相相对对边边际际效效用用等等于于状状态态价价格格。并并且且所所有有参参与与者者在在市市场场出出清清价价格格下下达达到到他他们们的最优。因此，由（的最优。因此，由（3.8）式我们有）式我们有 也就是说，在任何状态下，所有参与者的相对边际也就是说，在任何状态下，所有参与者的相对边际效用都相等。当参与者可以交易的状态或有证券是完全效用都相等。当参与者可以交易的状态或有证券是完全的时候，这是均衡的一个重要性质。的时候，这是均衡的一个重要性质。【定理【定理【定理【定理3.43.4

14、】对于定义对于定义2.5中给出的，存在中给出的，存在Arrow-Debreu证券市场的经济来说，均衡达到的资源配置是证券市场的经济来说，均衡达到的资源配置是Pareto最优的。最优的。【证明】【证明】【证明】【证明】我们用反证法来证明这个定理。我们用反证法来证明这个定理。记均衡配置为记均衡配置为 ，记均衡状态价格为记均衡状态价格为 。市场出清条件要求：市场出清条件要求：这就是这就是可行性条件可行性条件（feasibility condition）。）。这表明这表明 （3.10）因为因为 。实际上，任意可行配置都应该满足。实际上，任意可行配置都应该满足（3.10）式。现在我们假定均衡配置不是）式

15、。现在我们假定均衡配置不是Pareto最优的，最优的，而是存在另外一个可行分配而是存在另外一个可行分配 使得使得 ，且对某一参与者，且对某一参与者 有：有：首先我们证明，首先我们证明，如果如果 ，那么，那么 。假设不然，即存在假设不然，即存在 使得使得 而且而且 。这意味着这意味着 不比不比 差，但成本较小。差，但成本较小。记记 为从为从 转换到转换到 所节约的成本。则所节约的成本。则 设用设用 来购买额外的消费计划来购买额外的消费计划 。因为因为 ，由不满足性以及，由不满足性以及我们有我们有 。但这是不可能的，因为。但这是不可能的，因为 是预算集中的最优选择。所以，是预算集中的最优选择。所以

16、，必然有必然有 其次，如果其次，如果 ，必然有，必然有 ，即，即 在在 的预算集之外。否则，给定的预算集之外。否则，给定 不应该选择不应该选择 。结合这两个结果，我们有结合这两个结果，我们有 这与（这与（3.10）式矛盾。因此，均衡配置）式矛盾。因此，均衡配置 必须是必须是 Pareto 最优的。最优的。定理定理 3.4 也称为也称为福利经济学第一定理福利经济学第一定理福利经济学第一定理福利经济学第一定理（First Theorem of Welfare Economics）。）。它说的是完全的、无摩擦证券市场使得参与者可它说的是完全的、无摩擦证券市场使得参与者可以达到资源在不同时期和不同状态下的以达到资源在不同时期和不同状态下的Pareto最优配最优配置。这个结果为证券市场所达到的资源配置作用以及置。这个结果为证券市场所达到的资源配置作用以及它所带来的效率提供了理论基础。它所带来的效率提供了理论基础。