3.1.1平均变化率及其求法.ppt

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1、3.1.1 3.1.1 平均变化率及其求法平均变化率及其求法 微积分的创立者微积分的创立者-牛顿、莱布尼茨牛顿、莱布尼茨牛顿（牛顿（1643-1727）莱布尼茨莱布尼茨（1646-1716）一一微积分简史微积分简史微积分创立背景微积分创立背景微积分的创立主要与四类问题处理有关：微积分的创立主要与四类问题处理有关：瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积 第一类问题 求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度作为时间的函数，求速度和路程。困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每

2、刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0/0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。第二类问题 求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。第三类问题 求已知函数的最大

3、最小值。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。abxyo 第四类问题 求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力（求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）困难在于：欧多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解决第四类问题。二二变化率问题变化率问题 问问02时与时与221时，时，哪段时间的成交额变化快哪段时间的成

4、交额变化快,为什么为什么?501001502002503003504001 2 345 67 8910 11 1213 14 15 1617 18192021 2223成交额成交额Q(t)(亿元亿元)t问题问题1 12013年年11月月11日淘宝天猫成交额随时间变日淘宝天猫成交额随时间变化趋势图如下：化趋势图如下：B(2,100)A(0,0)C(21,300)2-0=2(小时小时)100-0=100(亿元亿元)100/2 =50(亿元亿元/小时小时)成交额随时间变化关系成交额随时间变化关系 Q=Q（t）时间的改变量时间的改变量 t2-t1成交额的改变量成交额的改变量Q2-Q1成交额差成交额差/

5、时间差时间差成交额变化快慢成交额变化快慢快快慢慢问问：怎么量化：怎么量化02时与时与221时成交额变化快时成交额变化快(图象陡峭图象陡峭)、慢、慢(图象平缓图象平缓)？200/1921-2=19(小时小时)300-100=200(亿元亿元)10.53(亿元亿元/小时小时)为什么该人的运动为什么该人的运动s-t图不是直线段？图不是直线段？如何从该如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？图分析他路程随时间的变化快慢？问题问题2 2t1t2S(t1)S(t2)A（21,70）B（24,100）O（0,0）问：问：为什么为什么0-t1图像比图像比t1-t2“平缓平缓”？21-0=21(s)70-0

6、=70(m)慢慢快快路程随时间变化关系路程随时间变化关系S=S（t）时间的改变量时间的改变量 t=t2-t1路程的改变量路程的改变量s=S2-S1路程差路程差/时间差时间差(s/t)速度变化快慢速度变化快慢24-21=3(s)100-70=30(m)30/3=10(m/s)70/21=3.3 (m/s)如何量化图象如何量化图象“平缓（变化慢）平缓（变化慢）”“陡峭（变化快）陡峭（变化快）”？9-0=9(s)60-0=60(m)慢慢快快路程随时间变化关系路程随时间变化关系S=S（t）时间的改变量时间的改变量 t=t2-t1路程的改变量路程的改变量s=S2-S1路程差路程差/时间差时间差(s/t)

7、路程变化快慢路程变化快慢11-9=2(s)100-60=40(m)40/2=20(m/s)60/96.7(m/s)问题问题2 210.53(亿元亿元/小时小时)问题问题1 1两个变化率（快慢）问题两个变化率（快慢）问题如何刻画一般的函数如何刻画一般的函数f(x)在区间在区间x1，x2上上随随x变化（增加或减少）的变化（增加或减少）的“快快”与与“慢慢”？(1)成交额成交额t1,t2平均变化率平均变化率(快慢快慢)问题：问题：(2)路程在路程在t1,t2平均变化率平均变化率(快慢快慢)问题：问题：亦即：亦即：平均变化率等于平均变化率等于函数的增量函数的增量与与自变量的增量自变量的增量之比值。之比

8、值。三三平均变化率的定义平均变化率的定义f(x2)-f(x1)x2-x1f(x2)f(x1)x1x2割线斜率割线斜率这是平均变化率的几何意义这是平均变化率的几何意义（x1，f(x1)）（x2，f(x2)）求函数求函数f(x)平均变化率的步骤：平均变化率的步骤：一、求自变量的增量一、求自变量的增量x=x2-x1二、求函数的增量二、求函数的增量y=f(x2)-f(x1)已知已知f(x)=2x2+1，求：，求：(1)从从x=1到到x=2的平均变化率；的平均变化率；(2)从从x1到到x2的平均变化率。的平均变化率。例题例题1变式训练变式训练:求函数求函数 在下列区间的平均变化率在下列区间的平均变化率(

9、1)1,1.0003 (2)1,1.0002(3)1,1.00014.00064.00064.00044.00044.00024.0002 某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示 (1)(1)求求0s-3s0s-3s的速度平均变化率？的速度平均变化率？（2 2）求）求3s-7s3s-7s的速度平均变化率？的速度平均变化率？（3 3）求）求7s-14s7s-14s的速度平均变化率？的速度平均变化率？（4 4）求）求14s-20s14s-20s的速度平均变化率？的速度平均变化率？提示：提示：例题例题2V(m/s)t(s)0203714166812平均变

10、化率的变化与函数图象的形状有何联系？平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？探究探究.拓展：拓展：平平均均变变化化率率是是曲曲线线陡陡峭峭程程度度的的 数数量量化化曲曲线线陡陡峭峭程程度度是是平平均均变变化化率率的的 视视觉觉化化例例1 1变式训练变式训练：求函数发现发现x越接近于越接近于0，yx越接近越接近4x=0.0003x=0.0002x=0.0001在下列区间的平均变化率：（1）1,1.0003（2）1,1.0002（3）1,1.00014.00064.00064.00044.00044.00024.0002记忆保持量（百分数记忆保持量（百分数）天数天数102040608010023

11、45 21.1%21.1%一个月后一个月后25.4%25.4%6 6天后天后27.8%27.8%2 2天后天后33.7%33.7%1 1天后天后35.8%35.8%8-98-9小时之后小时之后44.2%44.2%1 1小时之后小时之后58.2%58.2%2020分钟之后分钟之后100%100%刚刚记忆完毕刚刚记忆完毕记忆保持量记忆保持量时间间隔时间间隔德国著名心理学家德国著名心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线艾宾浩斯的遗忘曲线 艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线探究探究拓展拓展从从“形形”刻画刻画视觉化视觉化数量化数量化从从“数数”刻画刻画四四本课小结本课小结课外作业课外作业：1 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。2 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。课后作业：课后作业：1、与同学交流你探究、与同学交流你探究“气球膨胀率问题气球膨胀率问题”及及“跳水问题跳水问题”的的心得。心得。