6.1数学模型.ppt

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1、1第第 六章六章 控制系统模型控制系统模型26.1 6.1 数学模型数学模型 数学模型是描述系统输入和输出之间关系的方程。数学模型是描述系统输入和输出之间关系的方程。系统可以由一系列的系统可以由一系列的单元单元块组成块组成,每一个单元块有一个属每一个单元块有一个属性函数。性函数。通过通过使用单元块的不同组成方式建立各种系统，使用单元块的不同组成方式建立各种系统，系统输入系统输入和输出的关系可以通过适当的方法组合单元块的关系获得。和输出的关系可以通过适当的方法组合单元块的关系获得。3机床、机器人、飞机、火箭模型机床、机器人、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、

2、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型4数学模型和数学建模数学模型和数学建模对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数

3、学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学建模数学建模5数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建

4、模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；6数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼7 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究来学习

5、。机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究来学习。以下建模主要指机理分析。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤8 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的问题问题9模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术

6、各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤10数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问

7、题成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对象回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践11 机械系统机械系统l建立单元块模型的特点建立单元块模型的特点-质量质量-阻尼阻尼-弹簧弹簧力作为输入力作为输入位移作为输出位移作为输出l处理方法处理方法集中参数集中参数 分布式或连续模型分布式或连续模型12弹簧弹簧系统的刚度系统的刚度线性线性非线性非线性压力压力 拉力拉力 扭矩扭矩叠层板簧叠层板簧盘形弹簧垫圈盘形弹簧垫圈13阻尼器、缓

8、冲器、减震器阻尼器、缓冲器、减震器阻尼或摩擦阻尼或摩擦l阻尼器阻尼器线性线性非线性非线性14质量质量集中质量集中质量分布质量分布质量15转动惯量转动惯量集中惯量集中惯量分布式惯量分布式惯量16能量处理方法能量处理方法能源存储或能源存储或恢复恢复能量耗散能量耗散对于线性系统对于线性系统17机械模型建立机械模型建立净力作用于质量净力作用于质量每个质量块每个质量块自由体自由体受力受力图图净力等于净力等于简单质量简单质量-阻尼阻尼-弹簧弹簧更复杂更复杂多个多个质量质量块块有限元分析有限元分析18自由个体受力图自由个体受力图 这是一个二阶微分方程.弹簧弹簧-阻尼阻尼-质量块质量块19电气模型电气模型电阻

9、电阻电容电容电感电感20电容储存的能量电容储存的能量:电阻耗散的能量电阻耗散的能量:电感储存的能量电感储存的能量:21电流电流 i:i:位移位移 x(x(无速度无速度)电感电感 L:L:质量质量m m电容电容C:C:柔度柔度1/k1/k电阻电阻R:R:阻尼阻尼c cVi=FFo=c0c1/kmxR0=c0机和电的类比机和电的类比 2223系统泛指由一群有关连的个体组成，根据预先编排好的规则系统泛指由一群有关连的个体组成，根据预先编排好的规则工作，能完成个别元件不能单独完成的工作的群体。系统分工作，能完成个别元件不能单独完成的工作的群体。系统分为自然系统与人工系统两大类。为自然系统与人工系统两大

10、类。工程的角度工程的角度:系统指为完成某一特定任务由多个功能单元或系统指为完成某一特定任务由多个功能单元或组件形成有机整体。例如汽车、机床、机器人、飞机等。组件形成有机整体。例如汽车、机床、机器人、飞机等。系统模型系统模型24大多数的机电一体化系统是混合类型，如机械、电子等。大多数的机电一体化系统是混合类型，如机械、电子等。在一个混合系统，每个子系统首先可以作为单一的理论体在一个混合系统，每个子系统首先可以作为单一的理论体系建模。系建模。不同子系统之间的能量转换用来将它们集成为整个系统。不同子系统之间的能量转换用来将它们集成为整个系统。整体数学模型可以组合为一个方程组整体数学模型可以组合为一个

11、方程组,或者一个传递函数。或者一个传递函数。机电一体化系统模型机电一体化系统模型25机电系统数学模型机电系统数学模型常用的数学模型有微常用的数学模型有微(差差)分方程、传递函数、结分方程、传递函数、结构图和信号流图、频率特性以及状态空间表达式。构图和信号流图、频率特性以及状态空间表达式。其中状态空间表达式是应用现代控制理论研究控制其中状态空间表达式是应用现代控制理论研究控制系统，特别是多输入多输出系统特性的数学模型。系统，特别是多输入多输出系统特性的数学模型。26一个实体的数学模型可以通过分析和实验的方法得到一个实体的数学模型可以通过分析和实验的方法得到分析模型是系统根据物理定律导出的，如牛顿

12、定律、分析模型是系统根据物理定律导出的，如牛顿定律、欧姆定律等。欧姆定律等。它通常组合成一个或多个微分它通常组合成一个或多个微分(对于离散时间系统是差对于离散时间系统是差分分)方程方程一个分析模型可以是线性或非线性的一个分析模型可以是线性或非线性的 机电系统的数学模型机电系统的数学模型27机电系统数学模型的建立方法机电系统数学模型的建立方法 其方法有解析法和实验法两类其方法有解析法和实验法两类解析法解析法确定数学模型时要求确定控制系统的数学模型，确定数学模型时要求确定控制系统的数学模型，要求依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定要求依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变

13、量间的数学关系式律，列出各变量间的数学关系式实验法实验法确定数学模型时要求对系统施加典型的测试信号确定数学模型时要求对系统施加典型的测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性28建立系统模型的主要目的建立系统模型的主要目的：主要目的是为了分析系统的性能主要目的是为了分析系统的性能求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递传递函数函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算

14、计算傅傅氏氏变变换换S=jS=j频率频率特性特性29系统按其微分方程是否线性，可分为线性系统与非线性系系统按其微分方程是否线性，可分为线性系统与非线性系系统按其微分方程是否线性，可分为线性系统与非线性系系统按其微分方程是否线性，可分为线性系统与非线性系统。统。统。统。线性系统满足叠加性，即系统的几个输入同时作用于系统线性系统满足叠加性，即系统的几个输入同时作用于系统线性系统满足叠加性，即系统的几个输入同时作用于系统线性系统满足叠加性，即系统的几个输入同时作用于系统时，可以逐个输入，求出输出，然后逐个叠加，求出总输时，可以逐个输入，求出输出，然后逐个叠加，求出总输时，可以逐个输入，求出输出，然后

15、逐个叠加，求出总输时，可以逐个输入，求出输出，然后逐个叠加，求出总输出出出出。在研究控制系统时，必须建立动态系统的数学模型，在研究控制系统时，必须建立动态系统的数学模型，在研究控制系统时，必须建立动态系统的数学模型，在研究控制系统时，必须建立动态系统的数学模型，并且分析系统的动态特性。并且分析系统的动态特性。并且分析系统的动态特性。并且分析系统的动态特性。系统的数学模型可以多样化，但是否线性与非线性完全系统的数学模型可以多样化，但是否线性与非线性完全系统的数学模型可以多样化，但是否线性与非线性完全系统的数学模型可以多样化，但是否线性与非线性完全由系统的结构与参数确定。由系统的结构与参数确定。由

16、系统的结构与参数确定。由系统的结构与参数确定。30工程实例工程实例分析数控机床机械系统的动态特性分析数控机床机械系统的动态特性分析数控机床机械系统的动态特性分析数控机床机械系统的动态特性31机电系统的微分方程机电系统的微分方程解解:为为了了建建立立微微分分方方程程，将将各各环环节节转转动动惯惯量量、质质量量和和阻阻尼尼系系数数归归算算到到轴。轴。（1）每个轴的转动惯量及工作台质量归算）每个轴的转动惯量及工作台质量归算32机电系统的微分方程机电系统的微分方程33机电系统的微分方程机电系统的微分方程（2）传动刚度归算）传动刚度归算34机电系统的微分方程机电系统的微分方程35机电系统的微分方程机电系

17、统的微分方程（3）粘性阻尼系数归算）粘性阻尼系数归算36机电系统的微分方程机电系统的微分方程机械传动系统简化为等效机械传动系统机械传动系统简化为等效机械传动系统（4 4）数控机床机械传动系统微分方程）数控机床机械传动系统微分方程37机电系统的微分方程机电系统的微分方程（5 5）等等效效机机械械传传动动系系统统以以电电机机轴轴转转角角为为输输入入量量，工作台位移为输出量的微分方程。工作台位移为输出量的微分方程。应用点评应用点评把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧把传动系统各部分的质量、阻尼系数和弹簧刚度归算到一根轴上，

18、将系统简化为一个传刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传刚度归算到一根轴上，将系统简化为一个传动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的动系统模型，根据牛顿第二定律建立系统的微分方程，是工程上常用的建立系统微分方微分方程，是工程上常用的建立系统微分方微分方程，是工程上常用的建立系统微分方微分方程，是工程上常用的建立系统微分方程的一种方法。程的一种方法。程的一种方法。程的一种方法。38进行拉氏变换进行拉氏变换,可求得该系统的传递函数为可求得该系统的传递函数为 式中式中:n 系统的固有频率

19、系统的固有频率,其值为其值为 n n=系统的阻尼比系统的阻尼比,其值为其值为39n和和是是二二阶阶系系统统的的两两个个特特征征参参量量,它它们们是是由由惯惯量量（质质量量）、摩摩擦擦阻阻力力系系数数、弹弹性性变变形形系系数数等等结结构构参参数数决决定定的的。对对于于电电气气系系统统,n和和则则由由R、C、L物物理理量量决决定定,它它们们具具有有相相似似的的特特性性。将将s=j代代入入上上式式可可求求出出A（）和和（）,即即该该机机械械传传动动系系统统的的幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性。由由A（）和和（）可可以以分分析析出出系系统统不不同同频频率率的的输输入入（或或干干扰扰）信信号号对对输输出出幅幅值值和和相相位位的的影影响响,从从而而反反映映了了系系统统在在不不同同精精度度要要求求状状态态下下的的工工作作频频率率和和对对不同频率干扰信号的衰减能力。不同频率干扰信号的衰减能力。