中值定理与导数的应用(高等数学).ppt

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1、罗必塔法则罗必塔法则罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值中值定理定理柯西柯西中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点导数的应用导数的应用第三章第三章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用(1)(1)罗尔中值定理罗尔中值定理1.中值定理中值定理(2)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理推论推论1 如果函数如果函数f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为零，内的导数恒为零，则则f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数.推论推论2 如果在区间如果在区间(a,b)内内,则则 f(x)=g(x)+C（C为常数）为常数）.(3)(3)柯西柯西(Cauchy

2、)(Cauchy)中值定理中值定理及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:目录上页下页结束返回注意：注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值定理，即拉氏定理是柯西中值定理的特殊情况。2 2、罗必塔法则、罗必塔法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.关键关键:将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决的类型的类型 .定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分

3、子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.注意：注意：1.1.罗必塔法则是求极限的一种有效方法，但与其它方罗必塔法则是求极限的一种有效方法，但与其它方 法结合使用法结合使用(比如无穷小因子替换比如无穷小因子替换)，效果更好，效果更好.2.2.罗必塔法则的条件是充分非必要的，要注意使用的罗必塔法则的条件是充分非必要的，要注意使用的 条件条件3.3.用罗必塔法则可连续用，但要步步检查，步步整理用罗必塔法则可连续用，但要步步检查，步步整理 （如约去公因子，（如约去公因子，提出有确定极限的因子提出有确定极

4、限的因子）3 3、函数的单调性与极值、函数的单调性与极值定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.定理定理(必要条件必要条件)定义定义可能极值点：驻点和不可导点可能极值点：驻点和不可导点.（单调区间的（单调区间的分界点）分界点）注意：注意：极值点可以是不可导点。极值点可以是不可导点。极值的第一判别法极值的第一判别法极值的第二判别法极值的第二判别法求极值的求极值的4 4个步骤：个步骤：（1 1）确定函数的定义域，求出导数

5、）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，）中的点将定义域分成若干个区间，并确定并确定 在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值）中的点是否是极值点，是极大值还是极小值还是极小值 (1)求函数求函数f(x)在在(a,b）内的所有驻点和导数不内的所有驻点和导数不存在的点；存在的点；(2)计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值

6、数值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值（1）闭区间）闭区间a,b 上的连续上的连续函数函数：在在 a,b 上连续的函数上连续的函数 f(x)，一定存在最大值和，一定存在最大值和最小值最小值.这时这时 f(x)在在 a,b 上的最大值点和最小值上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点点一定是区间的端点或可能极值点.求法如下：求法如下：（比较法）（比较法）4.函数的最大值、最小值及其应用函数的最大值、最小值及其应用 f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点在一个区间内可导且只有一个驻点x0，并且这并且这个驻点个驻点x0是函数是函数f(x)的极值点，那么，当的极值点，那么，当f(x0)

7、是极是极值时值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最值；在该区间上的最值；（2）任意区间（包括无穷区间）上连续）任意区间（包括无穷区间）上连续函数函数，有唯一驻点且为极值点有唯一驻点且为极值点单峰曲线单谷曲线转化法（两个条件）转化法（两个条件）（3）实际问题中，往往根据问题的性质可以）实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数断定可导函数f(x)确有最值，而且一定在定义区间确有最值，而且一定在定义区间内部取得内部取得.这时如果这时如果f(x)在定义区间内部只有一个在定义区间内部只有一个驻点驻点x0，那么不需要判断，那么不需要判断f(x0)是不是极值点是不是极值点,就就可以断定可以断定

8、f(x0)是最值是最值.实际问题求最值实际问题求最值:(1)列出目标函数，并确定其定义列出目标函数，并确定其定义域域;(2)求出目标函数在其定义域内的驻点求出目标函数在其定义域内的驻点;（3）设设曲曲线线 f(x)在在(a,b)内内各各点点都都有有切切线线，在在切切点点附附近近如如果果曲曲线线弧弧总总位位于于切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线 f(x)在在（a,b）上上是是凹凹的的如如果果曲曲线线弧弧总总位位于于切切线的下方，则称曲线线的下方，则称曲线f(x)在（在（a,b）上是凸的上是凸的.（1）曲线的凹凸性的定义）曲线的凹凸性的定义 5.曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定理定理（3）凹

9、凸性的判定方法）凹凸性的判定方法（2 2）拐点）拐点求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4 4个步骤：个步骤：（1 1）确定函数的确定函数的定义域定义域，求出导数求出导数（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，）中的点将定义域分成若干个区间，并确定并确定 在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断：）判断：例例1 1 验验证证函函数数f(x)=()=(x-1)(-1)(x -3)-3)在在闭闭区区间间1,31,3上满足罗尔定理的条件，并求上满足罗尔定理的条件，并求 解解

10、（1 1）f(x)在闭区间在闭区间1,31,3上连续；上连续；（2 2）在开区间（）在开区间（1,31,3）内可导，且）内可导，且f(x)=2)=2x-4-4，（3 3）两端点函数值相等，即两端点函数值相等，即f(1)=(1)=f(3)=0(3)=0，即即f(x)在在1,31,3上满足罗尔定理的三个条件上满足罗尔定理的三个条件.因此因此,在在(1,3)(1,3)内至少有一点内至少有一点 ，使使f()=2-4=0()=2-4=0，可知可知 =2.=2.例例2 2证证例例3.3.证明：证明：证明：设证明：设，在区间，在区间上应用拉格朗日中值定理，有上应用拉格朗日中值定理，有使得使得因此，因此，例例

11、4.4.设设函数函数二二阶阶可可导导,且且又又则则当当时时，有，有例例5 求求解解例例6 求求解：此极限为解：此极限为例例7 7解：此极限为解：此极限为例例8 8解解例例 9 9 计算计算解解 因为因为不满足罗必塔法则的条件，所以不能应用罗必塔法则不满足罗必塔法则的条件，所以不能应用罗必塔法则.不存在，不存在，例例1010解：此极限为解：此极限为解：此极限为解：此极限为例例11.11.求求例例1212解：此极限为解：此极限为例例1313解：此极限为解：此极限为例例1414解解例例1515解解 定义域为定义域为(-,+)，极极大大值值极极小小值值单调区间为单调区间为例例16.16.试问试问a a

12、为何值时，函数为何值时，函数 在在处取得极值？它是极大值还是极小值？处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。并求此极值。例例1717证证例例18 求函数求函数y=f(x)=2x3+3x2-12x+14在在-3,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解方程解方程 f(x)=0，得到得到x1=-2,x2=1,由于由于解解 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1).f(-3)=23；f(-2)=34；f(1)=7；f(4)=142,比较可得比较可得 f(x)在在x=4处取得它在处取得它在-3,4上的最大值上的最大值f(4)=142，在在 x=1处取得处取得它在它在-3,4上的最小

13、值上的最小值f(1)=7.例例20 20 有有一一块块宽宽 2 2a 的的长长方方形形铁铁片片，将将宽宽的的两两个个边边缘缘向向上上折折起起，做做成成一一个个开开口口水水槽槽，其其截截面面为为矩矩形形，高高为为 x.问问 x 取何值时水槽的流量最大？取何值时水槽的流量最大？解解 设两边各折起设两边各折起 x,则则横截面的面积为横截面的面积为从而从而x=a/2就是最大值点，就是最大值点，此时此时S(x)为函数最大值。为函数最大值。依题意知必存在最大值，依题意知必存在最大值，例例21 求曲线求曲线 y=2x3+3x2-12x+14的拐点的拐点.解方程解方程 y=0，得，得因此，因此，是曲线的拐点。是曲线的拐点。例例2222解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点拐点：拐点：凹凸区间：凹凸区间：解解 定义域为定义域为(-,+)(-,+)，例例23 23 求曲线求曲线的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点.