一致连续性定理.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 闭区间上连续函数的性质实数完备性理论的一个重要作用就是证一、最大、最小值定理曾经在第四章均给出过.明闭区间上的连续函数的性质，这些性质三、一致连续性定理二、介值性定理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首先来看一个常用的定理首先来看一个常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续,则则 f(x)证证 用两种方法给出证明用两种方法给出证明.第一种方法第一种方法 使用有限覆盖定理使用有限覆盖定理.因为因为 f(x)在在 a,b一、最大、最小值定理局部有界的性质化为整体有界性质局部有界的性质化为

2、整体有界性质.上每一点连续上每一点连续,从而局部有界从而局部有界.我们的任务就是将我们的任务就是将返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 H 覆盖了闭区间覆盖了闭区间a,b.由有限覆盖定理由有限覆盖定理,在在 H 中中存存显然显然在有限个开区间在有限个开区间返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第二种证法第二种证法 采用致密性定理采用致密性定理.因为因为xn 有界有界,从而存在一个收敛的子列从而存在一个收敛的子列.为了书为了书写写方便方便,不妨假设不妨假设 xn 自身收敛自身收敛,令令设设 f(x)在在a,b上无界上无界,不妨设不妨设 f(x)无上界无上界.则则存在存在返回

3、返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故由归结原理可得故由归结原理可得矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6)若函数若函数 f(x)在在a,b证证 f(x)在在 a,b 上连续上连续,因而有界因而有界.由确界定由确界定理理,f(x)在在 a,b 上的上的值域有上确界值域有上确界.设设上连上连续续,则则 f(x)在在 a,b 上取最大、最小值上取最大、最小值.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在a,b 上连续上连续,从而有界从而有界,故存在故存在 G 0,使使这样就有这样就有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这与这与 M 是是 f(x)在在

4、 a,b 上的上确界矛盾上的上确界矛盾.这就证明了上确界这就证明了上确界 M 与下确界与下确界 m 都是都是可取到的可取到的,同理可证同理可证:下确界下确界也属于也属于 f(a,b).最小值最小值.这也就是说这也就是说,M 与与 m 是是 f(x)在在a,b上的最大、上的最大、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(定理定理4.7)设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续,且且证证 在第四章中在第四章中,我们已经用确界定理证明此定理我们已经用确界定理证明此定理.现在用区间套定理来证明现在用区间套定理来证明.二、介值性定理f(a)f(b).返回返回返回返回后页后页后页

5、后页前页前页前页前页将将 a,b 等分成两个区间等分成两个区间 a,c,c,b,若若 F(c)=0,下去下去,得到一列闭子区间得到一列闭子区间个区间的端点上的值异号个区间的端点上的值异号.将这个过程无限进行将这个过程无限进行F(c1)=0,已证已证.不然同样可知函数不然同样可知函数 F(x)在其中一在其中一将将 a1,b1 等分成两个区间等分成两个区间 a1,c1,c1,b1,若若间端点上的值异号间端点上的值异号,将这个区间记为将这个区间记为a1,b1.再再已已证证.不然不然,函数函数 F(x)在这两个区间中有一个区在这两个区间中有一个区返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由区间套

6、定理由区间套定理,存在惟一的存在惟一的 an,bn,满足满足:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(定理定理4.9)若函数若函数 f(x)在在 a,b上连续上连续,则则 f(x)在在证证(证法一证法一)首先用致密性定理来证明该定理首先用致密性定理来证明该定理.在在设设 f(x)在在 a,b 上不上不一致连续一致连续,即存即存在在三、一致连续性定理a,b 上一致连续上一致连续.究究.下述证明过程中下述证明过程中,选子列的方法值得大家仔细探选子列的方法值得大家仔细探返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页现分别取现分别取返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为

7、xn 有界有界,从而由致密性定理从而由致密性定理,存在存在 xn 的的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为所以由极限的不等式性质所以由极限的不等式性质连续连续,所以由所以由归结原理得到归结原理得到矛盾矛盾.(证法二证法二)再再用有限覆盖定理来证明用有限覆盖定理来证明.以及以及 f返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页考虑开区间集考虑开区间集那么那么 H 是是 a,b 的一个开覆盖的一个开覆盖.由有限覆盖定由有限覆盖定理理,因因 f(x)在在 a,b 上连续上连续,对任意对任意一点一点存在有限个开区间存在有限个开区间返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令对于任何对于任何只只要要那么那么必属于上述必属于上述 n 个小区间个小区间中的一个中的一个,也覆盖了也覆盖了 a,b.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以由小区间的定义得知所以由小区间的定义得知这就这就证明了证明了在在a,b上的一致连续性上的一致连续性.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作业：作业：P172：2，3