三角形证明题.ppt

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1、掌门掌门1 1对对1 1北京大学 徐莹初中几何证明初中几何证明 证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果那么”的形式。定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”，“证明”的顺序和格式书写。一、直线一、直线 两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。二、多边形二、多边形(三角形三角形)1、概念。、概念。由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。三角形有三

2、条边、三个内角和三个顶点。如图：顶点是A，B，C的三角形记作 ABC。A所对边BC用 a来表示。B 所对边AC用b来表示，边AB用c来表示。BCF叫ACB的外角。有三个外角。2 2、分类、分类。按角分有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。按边分有：一般三角形，等腰三角形、等边三角形。特殊的有等腰直角三角形。3、三角形的性质、三角形的性质。（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（2）三角形三个内角之和等于180。（3）直角三角形的两个锐角互余。（4）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（5）三角形的边、角关系：三角形中，等边对等角，等角对等边。大边对大角，大角对

3、大边。（6）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（7）角平分线的性质：一个角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等；反过来，与一个角的两边等距离的点在这个角的平分线上。（8）内心：三角形的三个内角的平分线交于一点，叫做内心。是三角形内切圆的圆心。（9）外心：三角形的三边垂直平分线交于一点，叫做外心。是三角形外接圆的圆心。（10）垂心：三角形的三条高交于一点，叫做垂心。（11）重心：三角形的三条中线交于一点，叫做重心。且重心和各边中点的距离等于 这边上中线的三分之一。1、全全等三角形等三角形 2、等腰三角形等腰三角形 3、直角三角形直角三角形全等三角形（1）定义：能够完全重合的两个三

4、角形叫做全等三角形。例如ABC和DEF能够完全重合，它们是全等的。记作“ABCDEF”。（2）全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。例 如图ABCBAD，找出它们的对应边和对应角。解：AC与BD，BC与AD，AB与BA是对应边。ABC与BAD，BAC与ABD，C与D 是对应角。（3）全等三角形的判定定理）全等三角形的判定定理：如果三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边边边）或（SSS）。如果三角形的两角及夹边分别相等，那么这两个三角形全等。记作（角边角）或（ASA）。如果三角形的两边及夹角分别相等，那么这两个三角形全等。记作（边角边）或（SAS）。如果三角形的两

5、角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等。记作（角角边）或（AAS）。（2010山东淄博，19，7分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CECF，连接DE，BF求证：DEBF FEDCBA(第19题)证明证明：四边形ABCD是正方形，BC=DC，BCD=90 E为BC延长线上的点，DCE=90，BCD=DCE CECF，BCFDCE，DEBF FEDCBA(第19题)（2014淄博）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持ACP是等边三角形当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此

6、时点P与点B重合）（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：AOCABP；由此你发现什么结论？（1）证明：AOB与ACP都是等边三角形，AO=AB，AC=AP，CAP=OAB=60，CAP+PAO=OAB+PAO，CAO=PAB，在AOC与ABP中，AOCABP（SAS）COA=PBA=90，点P在过点B且与AB垂直的直线上或PBAB或ABP=90 故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PBAB或ABP=90；等等腰三角腰三角形形 等腰三角形定义：等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称三线合一）。它们所在的

7、直线是等腰三角形的对称轴。轴对称图形及性质：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两边的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。性质定理：等腰三角形的两个底角相等。判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么它们所对的边相等。等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形的三个角都相等。（2013淄博）如图，ADBC，BD平分ABC求证：AB=AD ADBC，ADB=DBC，BD平分ABC，ABD=DBC，ABD=ADB，AB=AD （2015淄博）如图，在菱形A

8、BCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60，则 PGPC（）A.B.C D 解：如图，延长GP交DC于点H，P是线段DF的中点，FP=DP，由题意可知DCGF，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，CG=CH，CHG是等腰三角形，PGPC，（三线合一）又ABC=BEF=60，GCP=60，=（2014淄博）如图，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分ABE交AM于点N，AB=AC=BD连接MF，NF（1）判断BMN的形状，并

9、证明你的结论；（1）答：BMN是等腰直角三角形 证明：AB=AC，点M是BC的中点，AMBC，AM平分BAC BN平分ABE，ACBD，AEB=90，EAB+EBA=90，MNB=NAB+ABN=（BAE+ABE）=45 直角直角三角形三角形（1）定义定义：有一个角等于90的三角形叫做直角三角形。（2）性质性质：直角三角形的两个锐角互余。推论：等腰直角三角形的底角等于45。在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30。勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的

10、平方的和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a+b=c。判定定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。ba c 8如图，OAOB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，ECD=45，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75，点E的对应点N恰好落在OA上，则 OCCD（）（A）（B）（C）（D）【答案】C。解析：本题考查的是直角三角形30 度所对的直角边是斜边的一半、三角形的旋转的性质定理、勾股定理的应用。由旋转可知NCE=75，因为ECD=45ECD+NCE+NCO=180所以，NCO=60，所以CNO=30，所以OC=1/2CN，因为

11、三角形CDE等腰直角三角形，所以CD=CE，又因为CN=CE，所以 （2013淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；解：（1）正方形的最大面积是16设AM=x（0 x4），则MD=4x 四边形MNEF是正方形，MN=MF，AMN+FMD=90 AMN+ANM=90，ANM=FMD 在ANM和DMF中 ANMDMF（AAS）DM=AN S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2，=x2+（4x）2，=2（x2）2+8 函数 S正方形MNEF=2（x2）2+

12、8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，0 x4，当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大 最大值是16（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形课后练习课后练习（8分）（2013淄博）分别以ABCD（CDA90）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，ABE，CDG，ADF（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由