人身保险的数理基础.ppt

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1、人 身 保 险第二章人身保险的数理基础第二章人身保险的数理基础l2.1寿险精算概论l2.2利息理论l2.3生命表和生命函数l2.4生存年金l2.5人寿保险保费的确定l2.6健康和人身意外伤害保险保费的确定l2.1.1寿险精算的概念寿险精算的概念l2.1.2寿险精算的起源寿险精算的起源l2.1.3寿险精算的内容寿险精算的内容l2.1.4寿险精算的意义寿险精算的意义l2.1.5寿险精算的基础寿险精算的基础2.1寿险精算概论寿险精算概论2.1.1寿险精算的概念寿险精算的概念l保险精算的概念保险精算的概念l保保险险精精算算就就是是运运用用数数学学、统统计计学学、金金融融学学、保保险险学学及及人人口口学

2、学等等学学科科的的知知识识和和原原理理,对对保保险险业业经经营营管管理理中中的的各各个个环环节节进进行行数数量量分分析析,为为保保险险业业提提高高管管理理水水平平、制制定定策策略略和和做做出出决决策策提提供供科科学学依依据据和和工工具具的的一门学科一门学科l保险精算：保险精算：寿险精算寿险精算和和非寿险精算非寿险精算一个案例一个案例2000年年初初成成立立了了XYZ人人寿寿保保险险公公司司，注注册册资资本本为为20亿亿元元。假假设设该该公公司司出出售售一一种种两两全全保保单单“一一生生如如意意”，该该保保单单是是这这样样设计的：设计的：保保险险金金额额为为10万万元元，当当被被保保险险人人在在

3、60岁岁前死亡时或活到前死亡时或活到60岁时支付。岁时支付。问题问题l问题一：该保单应该如何定价？l问题二：在资产负债表上，如何确定该保单相应的负债？l问题三：被保险人如果退保，该返还其多少？l问题四：如果该产品是分红保单，如何确定红利的分配原则？l问题五:如何对该保单的利润进行敏感性分析？l问题六：保费收入如何投资以及如何进行资产负债管理？l问题七：怎样才能确保该公司的偿付能力？l问题八:如何确定该公司的价值？寿险精算的概念寿险精算的概念l概念:是在对人身保险事故出险率及出险率的变动规律加以研究的基础上,考虑资金投资回报率及其变动,根据保险种类.保险金额.保险期限.保险金给付方式.保险费缴纳

4、方式及保险人对经营费用等的估计等,对投保人需缴纳的保险费水平.保险人有不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其他方面等进行的科学精确的计算.l1693年，英国天文学家、数学家爱德华.哈雷根据德国布雷斯劳市居民的死亡资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，有科学的方法精确地计算出各年龄段人口的死亡率。l18世纪，托马斯.辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表。后来，詹姆斯多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表。l1724年，法国数学家亚伯拉罕.德.莫伊维提出了死亡法则。寿险精算的起源寿险精算的内容寿险精算的内容l人身保险按投保人数的不同，可分为l一元生命人身保险

5、l复合生命人身保险l随机事件与概率l大数定律及其在保险中的应用寿险精算的基础寿险精算的基础寿险精算的基础寿险精算的基础l随机事件与概率l随机试验符合符合以下特征的事件:1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.l概率:表示随机事件的可能性的大小,概率在就表示某种事件出现的可能性就大.0P(A)1寿险精算的基础寿险精算的基础l大数定律及其在保险中的应用l大数定律应用于保险时得出的最有意义的结论是:当保险标的的数量足够大时,通过以往统计数据计算出的估计损失概精算师的职业排名精算师的职业排名 The

6、Best and Worst Jobs(2008)The BestThe Worst1.Mathematician 200.Lumberjack2.Actuary 199.Dairy Farmer3.Statistician 198.Taxi Driver4.Biologist 197.Seaman5.Software Engineer 196.EMT6.Computer Systems Analyst 195.Roofer 7.Historian 194.Garbage Collector8.Sociologist 193.Welder9.Industrial Designer 192.Ro

7、ustabout10.Accountant 191.Ironworker11.Economist 190.Construction Worker12.Philosopher 189.Mail Carrier13.Physicist 188.Sheet Metal Worker14.Parole Officer 187.Auto Mechanic15.Meteorologist 186.Butcher16.Medical Laboratory Technician 185.Nuclear Decontamination Tech17.Paralegal Assistant 184.Nurse(L

8、N)18.Computer Programmer 183.Painter19.Motion Picture Editor 182.Child Care Worker20.Astronomer 181.Firefighter什么是精算学和精算师什么是精算学和精算师?l精算学是指综合运用数学、统计学和金融理论研究经济市场，特别是其中涉及保险、养老金计划中的随机现象的一门学科;l精算师就是指那些运用精算学知识分析研究经济风险的专职从业人员。l精算师的工作范围除了保险公司外，还遍及咨询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的部门。保险精算的发展和现状保险

9、精算的发展和现状 l精算职业范围的发展l精算职业团体的发展l精算学作为一门学科的发展专门职业和精算师专门职业和精算师l它的基本目的是为公众及公众利益提供服务；l它为成员个人提供支持，并提高成员集体的社会地位；l它是一个学习性的社团，鼓励研究，促进成员之间的交流；l它的成员具有专业技能；l对那些在专业技能考试中达到必需标准的成员，它经常以签名证书的形式给予资格证明；l它通过提供后续职业教育，帮助并要求成员保持职业技能；l它建立了成员所必须遵循的行为规范和实践标准；l它拥有惩戒程序以保证成员遵守行为规范和维护职业标准。精算职业的目标精算职业的目标l正确和实用的理论；l高尚的道德标准和服务客户、雇主

10、或其他公共利益的意愿；l精算师在为公共利益提供服务中的角色，比如保险公司的指定精算师；l组织形成具有凝聚力的自我管理团体；l愿意为解决公众和社会服务的争论作出贡献；l保持资质标准，提高职业声誉。保险精算的发展和现状保险精算的发展和现状l从传统产品到非传统产品l从寿险到非寿险、养老金、财务和投资l从保险公司到咨询机构、政府部门l从各个国家独立的精算制度到国际统一的精算标准精算在我国的发展精算在我国的发展 l精算职业团体在我国的发展l精算教育在我国的发展l精算师资格考试 如何才能成为合格的精算师如何才能成为合格的精算师 l第一种以欧洲大部分国家和拉美国家为代表，一般只要在大学取得相应的学位后，在实

11、务领域有一定工作经验后即可由精算职业组织认可其为精算师；l第二种以北美和英联邦国家为代表，主要凭参加精算职业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格。l我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认可体系，也就是说，考生必须通过专门的精算职业资格考试才能获得中国精算师资格。精算师应该具有的三项基本素质精算师应该具有的三项基本素质 l职职业业道道德德：其基本原则有：精算师应该为公众利益服务；精算师有责任保护客户的隐私；精算师在明确自己有足够的知识和经验后才能提供精算建议；公司、客户和精算师本人的利益有冲突时，精算师应当向客户说明；精算师如果违背了职业道德的要求，将受到精算职业组织的惩罚。l专专业

12、业素素质质：精算师的专业素质主要表现为量化分析金融市场特别是保险市场中的随机现象的能力。也是保险公司参与市场竞争最重要的比较优势之一。l沟通能力沟通能力：精算师不仅要懂得如何利用精算知识发现和解决问题，也必须懂得如何向包括政府监管部门、公司管理层和股东、投保人和其他相关公众交流自己的研究结果。保险精算的主要内容保险精算的主要内容 l寿险精算寿险精算l利息理论利息理论l生命表理论生命表理论l寿险精算数学寿险精算数学l非寿险精算非寿险精算l非寿险精算数学非寿险精算数学l养老金精算和其它精算理论养老金精算和其它精算理论l投资和财务理论投资和财务理论l2.2.1利息概述及度量利息概述及度量l2.2.2

13、利息力利息力l2.2.3利率、贴现率及息力之间的关系利率、贴现率及息力之间的关系l2.2.4现金流的现值与终值的计算现金流的现值与终值的计算l2.2.5确定年金确定年金2.2利息理论利息理论l是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而支付给贷款人的报酬。贷款人的报酬。l从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。间的投资后产生的价值增值。l利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而可能遭受的损失受的损失l理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一

14、定理论上，利息可以是任何有价值的东西，未必一定是资本或货币是资本或货币l实际中，利息多用货币资本表示实际中，利息多用货币资本表示利息的基本概念利息的基本概念利息利息=得到的得到的-付出的付出的基本概念：基本概念：n本金本金：每项业务开始时投资的金额称为本金；：每项业务开始时投资的金额称为本金；n终终值值：业业务务开开始始一一定定时时期期后后回回收收到到的的总总金金额额称称为为该时刻的积累值（或该时刻的积累值（或积累值积累值）；）；n利息利息=终值终值-本金（或本金（或积累值积累值-本金本金）；）；暂暂时时假假定定，在在投投资资期期间间不不再再加加入入或或抽抽回回本本金金，以以后将放松这一假设。

15、后将放松这一假设。时时间间单单位位-“度度量量期期”或或“期期”。除除非非特特别别声声明明，一一个度量期就是一年。个度量期就是一年。利息概述及度量利息概述及度量利息的度量利息的度量l终值函数终值函数1l终值函数终值函数2l第第N期利息期利息单单位位货货币币的的终终值值函函数数，期期初初投投资资的的1元元本本金金在在时时刻刻t时时所所得得到到的的总总价价，是度量利息和利率最基本的工具。是度量利息和利率最基本的工具。K个货币单位的终值函数个货币单位的终值函数n终值函数终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=Ka(t),有有时时也也称称为

16、为t期期积积累累因因子子，累累积积函数函数简称简称a(1)为为积累因子积累因子。l终值函数l金额函数l贴现函数l第N期利息1-K-10t=n终值函数终值函数a(t)A(t)=A(0)+I(t)a(t)=A(t)/A(0)A(t)=Ka(t)A(0)=K性质性质:（1 1）初始值，本金初始值，本金（2 2）（3 3）若连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；若连续结转利息，则累积涵数为连续涵数；否则为非连续涵数否则为非连续涵数（4 4）累累积积涵涵数数必必然然通通过过（0，1）和和（1，1+i）两两点点 四种常见终值函数的图形四种常见终值函数的图形贴贴现现函函数数a-1(t)：也也叫叫为为t期期贴贴

17、现现因因子子。a-1(1)简简称为称为贴现因子贴现因子，并简记为，并简记为v;为了在为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）称为该积累值的现值（或折现值）l现值函数现值函数一个货币单位的终值在期初的价值，一个货币单位的终值在期初的价值，也称贴现函数也称贴现函数n现值函数现值函数a-1(t)A-1(t)=K.a-1(t)l终值函数l金额函数l贴现函数l第N期利息1-K-10t=例题例题2.1：假设终值函数：假设终值函数如果期初的如果期初的100元在第三年末可以累元在第三年末可以累积到积到172元，试计算在第五年

18、末可以元，试计算在第五年末可以累积到多少元累积到多少元?例题：例题：1、例题例题2.2如果如果A（t）=t2+2t+3，试确定对应的终值函数，试确定对应的终值函数a(t)，并验证并验证a(t)是否满足三个基本性质是否满足三个基本性质满足三个基本性质满足三个基本性质利息概述及度量利息概述及度量l2.利息的定义利息的定义:l资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一资本借入者因使用资本而支付给资本所有者的一种报酬，即使用资本的代价。种报酬，即使用资本的代价。影响利息大小的三要素影响利息大小的三要素n本金本金n利率利率n时期长度时期长度利率=利息/本金利率的本质利率的本质：反映资金增长速度：反映资金

19、增长速度l3.利息计算的方法l3.利息计算的方法l线形积累l单利l指数积累l复利l实实际际利利率率：是是指指在在某某一一时时期期开开始始时时，投投资资一一单单位位本本金金时时，在在此此时时期期内内应应获获之之利利息息。实实际际利利率率是是在在期末支付且整个时期内只支付一次利息。用期末支付且整个时期内只支付一次利息。用i表示表示如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率如果一个时期内支付或结转若干次利息，相应的利率称为名义利率 l3.利息计算的方法例例2.3 l某人以某人以1万元本金进行万元本金进行5年投资，前年投资，前2年的利率年的利率为为5，后，后3年的利率为年的利率为6，分

20、别以单利和复，分别以单利和复利计算利计算5年后的累计积累值。年后的累计积累值。答案答案 单利（单利（simple interest）一、含义：1、每期只对本金计算利率 2、每期的利息为常数 3、利息总量与时期数线性正相关二、单利的累积涵数：单利具有线性累积涵数三、单利累积涵数的特点：三、单利累积涵数的特点：利息利息=本金本金 利率利率 时期数时期数实际利率是时间的减涵数实际利率是时间的减涵数例题例题2.4 如果如果 ，试计算，试计算i5复利（复利（pound interest）一、复利的含义：一、复利的含义：1、每期都对本金和上期的利息计算利息、每期都对本金和上期的利息计算利息2、每期的利息是

21、变数、每期的利息是变数二、复利的累积涵数二、复利的累积涵数三、特点：三、特点：例题例题2.5复利的实际利率复利的实际利率就等于复利率就等于复利率单利与复利的区别单利与复利的区别相同点：相同点：1、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变、单利和复利投资的本金在整个投资期间不变2、原始投资利率在整个投资期间不变。、原始投资利率在整个投资期间不变。区别：区别：1、单单利利的的实实际际利利率率是是时时间间的的减减涵涵数数，复复利利的的实实际际利利率率是是一一常常数数2、在在时时刻刻0和和时时刻刻1时时，单单利利和和复复利利的的累累积积值值相相等等，该该期期间间内内产生的利息相等产生的利息相等3、单单利

22、利在在相相等等的的期期间间内内有有相相等等的的利利息息额额，复复利利在在相相等等的的期期间间内有相等的利息增长率内有相等的利息增长率4、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化、单利考虑绝对增量的变化，复利考虑相对增量的变化5、复复利利几几乎乎用用于于所所有有的的金金融融业业务务，单单利利只只用用于于短短期期计计算算或或复复利的不足期近似计算利的不足期近似计算单复利计息之间的相关关系单复利计息之间的相关关系l单单利利的的实实质质利利率率逐逐期期递递减减，复复利利的的实实质质利利率率保保持持恒定。恒定。l 时时，相相同同单单复复利利场场合合，单单利利计计息息比比复复利利计计息息产产生生更更

23、大大的的积积累累值值。所所以以短短期期业业务务一一般般单单利利计计息。息。l 时时，相相同同单单复复利利场场合合，复复利利计计息息比比单单利利计计息息产产生生更更大大的的积积累累值值。所所以以长长期期业业务务一一般般复复利利计计息。息。单单/复利场合积累函数示图复利场合积累函数示图单利与复利的比较单利与复利的比较l例、以年利率5%为例，比较单利和复利计算方法的异同效果。解：1）单利情况下，每年的实际利率水平n123456in5%4.76%4.55%4.35%4.17%4%6年内，实际利率水平降低了一个百分点年内，实际利率水平降低了一个百分点2）复利的实际利率等于复利率3）复利累计值超过单利累计

24、值3%的时刻n123456单利1.051.101.151.21.251.3复利1.051.10251.15761.21551.27631.3401复利超过单利的%00.2270.6631.292.13.1可可见见，经经过过6年年的的时时间间，复复利利方方式式比比相相同同单单利利方方式式的的累累积值超过了积值超过了3%利息概述及度量利息概述及度量l4.利息的度量l实际利率实际利率:il名义利率名义利率:i(m)l名义利率和实际利率的相互转化名义利率和实际利率的相互转化li=1+i(m)/mm-1l名义贴现率和实际贴现率名义贴现率和实际贴现率lD=1-1-d(m)/mm利息转换频率不同利息转换频率

25、不同l实质利率实质利率 ：以一年为一个利息转换期，该利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率记为实质利率l名义利率名义利率 ：在一年里有：在一年里有m个利息转换期，假如个利息转换期，假如每一期的利率为每一期的利率为j，有，有 。l利息力利息力 ：假如连续计息，那么在任意时刻：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬的瞬间利率叫作利息力。间利率叫作利息力。l实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。利率类似。名义利率与实际利率转化名义利率与实际利率转化l 名义利率11实际利率与名义利率关系实际利率与名义利率关系名义利率名义利率：（1）一个

26、度量周期内结转）一个度量周期内结转m次利息的利率次利息的利率（2）度量的是资本在一个小区间）度量的是资本在一个小区间 内的实际利率内的实际利率（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相联系 名义利率与实际利率的关系名义利率与实际利率的关系：在在年年名名义义利利率率一一定定的的条条件件下下，m越越大大，年年实实际利率越大际利率越大休息休息名义贴现率名义贴现率l 名义贴现率11名义贴现率名义贴现率名义贴现率：（1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率（2）度量的是一个小区间 内的实际贴现率名义贴现率与实际贴现率的关系：休息休息在在在在年年年年名

27、名名名义义义义贴贴贴贴现现现现率率率率一一一一定定定定的的的的条条条条件件件件下下下下，一一一一年年年年内内内内结结结结转转转转的的的的贴贴贴贴现现现现次次次次数数数数越越越越多多多多，年年年年实际贴现率越小。实际贴现率越小。实际贴现率越小。实际贴现率越小。贴现函数与实际贴现率贴现函数与实际贴现率l贴贴现现函函数数：贴贴现现是是累累积积的的逆逆运运算算，是是计计算算现现在在值值，贴贴现现函函数数是是累累积积函函数数的的倒倒数数，贴贴现现与与累累积积是是两两种种互互相相对对称的计算货币时间价值的方法。称的计算货币时间价值的方法。l时时刻刻t的的一一个个单单位位货货币币在在时时刻刻0的的价价值值称

28、称为为贴贴现现函函数数（discount function）单利的贴现涵数：单利的贴现涵数：复利的贴现涵数：复利的贴现涵数：称称v v为贴现因子为贴现因子贴现函数与实际贴现率贴现函数与实际贴现率l实际贴现率：实际贴现率：一个计息期内的利息收入与期末货币一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值。其中的利息是在期末实现的。量的比值。其中的利息是在期末实现的。注意：注意：1、di 2、对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等、对于同样一笔业务，利息值与贴现值相等 3、利息在期末支付，贴现在期初收取、利息在期末支付，贴现在期初收取 4、利率说明了资本在期末获得利息的能力，、利率说明了资本在期末获得利息的能

29、力，贴现率说明了资本在期初获得利息的能力贴现率说明了资本在期初获得利息的能力单利的实际贴现率单利的实际贴现率单利的实际贴现率dt例、例、i=10%i=10%，单利，试计算，单利，试计算d d5 5实际利率与实际贴现率的关系实际利率与实际贴现率的关系1、2 23 3、贴现函数：、贴现函数：4 4、累积函数：、累积函数：5 5、这这一一关关系系的的字字面面意意义义是是：借借贷贷1元元，在在期期末末还还1+i，等等价价于于期期初初借借1-d，在期末还，在期末还1元。元。单贴现单贴现1、单贴现：与单利相对应，每一时刻的贴现额相等，贴现涵数为：2 2、单贴现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质、单贴

30、现不同于单利，具有与单利相类似但反向的性质3 3、当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的、当投资时期加长时，单利的实际利率递减，而单贴现的 实际贴现率递增实际贴现率递增复贴现复贴现复贴现：每一时刻产生的贴现值不相等，贴现函数为：单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对较长的时期，单贴现比复贴现单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对较长的时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反产生较小的现值，而对较短的时期则情况相反例题例题2.6l已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求投资本金。解：设本金为p，则pi=336，pd=30

31、0 例例2.71、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。1、2、3、例题例题如何用贴现率比较收益？现有面额为100元的债券在到期前一年的时刻价格为95元，一年期储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？解：从贴现的角度看，债券的贴现率为：储蓄的贴现率为：储蓄的贴现率为：从年利率的角度看：债券的从年利率的角度看：债券的而储蓄的年利率为而储蓄的年利率为5.25%5.25%，因此，债券投资略优于储蓄因此，债券投资略优于储蓄利息力利息力l利息力利息力又简称

32、息力,是衡量在某个确切点上利率水平的指标.用&表示 a(t)=e&t.dt a-1(t)=e-1&t.dt利息力（利息强度）利息力（利息强度）利息力：（要求累积函数必须是连续的，且可微，既是每个瞬间都可以进行利息的换算）（1）度量了资本在无穷小区间上的获利能力。（2）刻画了资本在每一时刻上的获利强度。（3）是累积函数的相对变化率（4）是连续结转利息时的名义利率是连续结转利息时的名义利率（5）累积函数由累积函数由利息力和时利息力和时间长度唯一间长度唯一确定确定利息力利息力l定义：瞬间时刻利率强度等价公式等价公式l一般公式l恒定利息效力场合例例2.8l确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值

33、1、2、例例2.8答案答案利息力（利息强度）利息力（利息强度）例题3：如果 ，确定投资1000元在第1年末的累计值和第二年内的利息金额。解：常数利息力常数利息力（1）资本在任一时点上的获利强度都相等，记为（2）利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必利息力为常数时，实际利率也是常数；反之未必常常数数利利息息力力和和实实际际利利率率的关系式的关系式例题：已知年度实际利率为8%，求等价的利息强度。解：例题：一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元，经过8年的累计值。解：单利和复利的利息力单利和复利的利息力单利的累积函数：a(t)=1+it，复利为a(t)=(1+i)t单利的利息力：单利的利息力

34、：是时间的是时间的减函数减函数复利的利息力：复利的利息力：与时间与时间无关无关贴现力（贴现效力）贴现力（贴现效力）（1）贴现函数的单位变化率（2）度量每一时刻上获得贴现值的能力，记为：利息力与贴现力是等价的利息力与贴现力是等价的l关系利率、贴现率及息力之间的关系利率、贴现率及息力之间的关系名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系（相同计息期内的）（相同计息期内的）实际利率与实际贴现率之间的关系是：当当李李名义利率与名义贴现率之间的关系为：名义利率与名义贴现率之间的关系为：实际利率与名义贴现率之间的关系：实际利率与名义贴现率之间的关系：名义利率与实际贴现率之间的关系：名义利率与实际贴

35、现率之间的关系：例题例题2.91、初始投资500元，每季度结转一次利息的年利率为8%，5年后的累积值是多少？2 2、年利率年利率6%6%，每半年结转一次，到第，每半年结转一次，到第6 6年末时可得年末时可得10001000元，现时投资要多少？元，现时投资要多少？例题例题3、已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。解：例题例题4、以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。解：设现值为PV，则例题例题5、一张100元的期票在到期前3个月被人以96元买走，试确定：1）购买者所得到的按季度转换的名义贴现率2）购买者所得到的年度年度实质利率解：解：1 1）季度

36、贴现额）季度贴现额=100-96=4=100-96=4元，季度贴现率元，季度贴现率年名义贴现率年名义贴现率=44%=16%=44%=16%2 2）季度实际利率：）季度实际利率：利率和贴现率利率和贴现率l期末计息利率l第N期实质利率l期初计息贴现率l第N期实质贴现率单利场合利率与贴现率的关系单利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系复利场合利率与贴现率的关系初始值利息积累值11l某人投资1万元，如果以5的利率复利计息，那么此人利息获取的方式是怎样的，两年后一共获得多少利息？l如果该投资项目是以5的贴现率复利计息，那么此人利息获取的方式

37、是怎样的，两年后一共获得多少利息？l已知利息率，求a(t)l已知利息率，求a-1(t)l已知贴现率，求a(t)l已知贴现率，求a-1(t)l已知息力。求a(t)或a-1(t)现金流的现值与终值的计算现金流的现值与终值的计算l已知利息率，求a(t).设本金为了,经过t后的终值l(1)在单利的条件下:a(t)=1+itl(2)在复利的条件下:a(t)=(1+i)tl(3)在实际利率的条件下:a(t)=(1+i1)(1+i2)(1+it)l(4)在名义利率的条件下:a(t)=1+i(m)/mmtl已知利息率，求a-1(t).设时期t的终值为1l(1)在单利的条件下:a-1(t)=(1+it)-1l(

38、2)在复利的条件下:a-1(t)=(1+i)-tl(3)在实际利率的条件下:a-1(t)=(1+i1)-1(1+i2)-1(1+it)-1l(4)在名义利率的条件下:a-1(t)=(1+i(m)/m)-mtl已知贴现率，求a(t).l(1)在单贴现率的条件下:a(t)=(1-dt)-1 (0t1/d)l(2)在复贴现率的条件下:a(t)=(1-d)-tl(3)在实际贴现率的条件下:a(t)=(1-d1)-1(1-d2)-1(1-dt)-1l(4)在名义贴现率的条件下:a(t)=(1-d(m)/m)-mtl已知贴现率，求a-1(t)l(1)在单贴现率的条件下:a-1(t)=1-dtl(2)在复贴

39、现率的条件下:a-1(t)=(1-d)tl(3)在实际贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d1)(1-d2)(1-dt)l(4)在名义贴现率的条件下:a-1(t)=(1-d(m)/m)mt利息问题求解利息问题求解l利息问题求解四要素l原始投资本金l投资时期长度l利率及计息方式l期初/期末计息：利率/贴现率l积累方式：单利计息、复利计息l利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力l本金在投资期末的积累值 利息问题求解原则利息问题求解原则l本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题l工具：现金流图l方法：建立现金流分析方程（求值方程）l原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现

40、时值相等。0现金流时间坐标例例2.10：求本金：求本金l某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？答案答案l以第7年末为时间参照点，有l以第8年末为时间参照点，有l请同学们自己练习以其他时刻为时间参照点例例2.11：求利率：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？答案答案（1）（2）例例2.12：求时间：求时间l假定 分别为12%、6%、2%l计算

41、在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？答案答案 近似答案近似答案rule of 72例例2.13：求积累值：求积累值 l某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？答案答案 l年年金金：在在一一定定时时期期内内在在相相等等的的时时间间间间隔隔上上所所作作的的一系列给付。一系列给付。l并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔并不局限于每年给付一次，只要相等时间间隔l每每次次的的给给付付额额可可以以是是固固定定量量，也也可可以以是是非非固固定定量

42、量确定年金确定年金年年金金(annuity)：间间隔隔相相等等的的一一系系列列收收付付款款或或间间隔隔相相等等的的一一系系列列资资金金流流。如如，房房屋屋的的租租金金、抵抵押押贷贷款款、分分期期付付款款、利利息息付付款款、保保险险费费的的缴缴纳纳、保保险险费费的的领领取取及及养养老老金金、手手机机和和电电话话的的月租费、公用事业费等。月租费、公用事业费等。是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用。是许多复杂现金流的基础，是利率计算的最直接的一种应用。l分类分类l基本年金基本年金（比如（比如等额年金：间隔周期相等的等等额年金：间隔周期相等的等额资金流）额资金流）l等时间间隔付款等时间

43、间隔付款l付款频率与利息转换频率一致付款频率与利息转换频率一致l每次付款金额恒定每次付款金额恒定l一般年金一般年金l不满足基本年金三个约束条件的年金即为一不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金般年金年金的种类年金的种类1、确定年金和风险年金：、确定年金和风险年金：确定年金的支付时间和支付金额事先确定确定年金的支付时间和支付金额事先确定风险年金的支付时间和支付金额不确定风险年金的支付时间和支付金额不确定2、定期年金和永续年金：、定期年金和永续年金：定定期期年年金金的的支支付付期期限限是是有有限限期期间间，有有固固定定的的到到期期日日。付息债券的息票付息债券的息票永续年金的支付期限是无限的，

44、没有到期日。股息永续年金的支付期限是无限的，没有到期日。股息休息休息3、期初付年金和期末付年金：、期初付年金和期末付年金：期期初初付付年年金金的的支支付付是是在在每每个个周周期期的的期期初初。月月初初发发工工资和养老金资和养老金期期末末付付年年金金的的支支付付是是在在每每个个周周期期的的期期末末。月月末末发发工工资和养老金资和养老金4、即期年金和延期年金：、即期年金和延期年金：即即期期年年金金是是指指当当期期开开始始支支付付，延延期期年年金金是是指指一一定定时时期后开始支付期后开始支付5、等额年金和变额年金：、等额年金和变额年金：等等额额年年金金的的每每期期支支付付额额相相等等，变变额额年年金

45、金的的每每次次支支付付额不全相等额不全相等l确确定定年年金金：年年金金的的一一种种形形式式，只只要要事事先先约约定定，就就必定支付的年金。必定支付的年金。l仅与利率有关，而与人的生死无关仅与利率有关，而与人的生死无关l分类：分类：付付 款款 时时 刻刻 不不 同同：期期 初初 付付 年年 金金、期期 末末 付付 年年 金金、即期年金、延期年金即期年金、延期年金付款期限不同：有限年金付款期限不同：有限年金/永久年金永久年金年金支付期等于利息结算期的确定年年金支付期等于利息结算期的确定年金金l期末付年金 an-i=V+V2+Vn=(1-Vn)/I Sn-=1+(1+i)+(1+i)n-1=l期初付

46、年金l期末付年金和期初付年金的关系年金支付期大于利息结算期的确定年年金支付期大于利息结算期的确定年金金l期末付年金l期初付年金年金支付期小于利息结算期的确定年金年金支付期小于利息结算期的确定年金l期末付年金l期初付年金年金的现值年金的现值年金现值：年金在期初的价值年金现值：年金在期初的价值1、期末付定期年金的现值：单位资金的收付、期末付定期年金的现值：单位资金的收付时期时期 0 0年金年金2 21 1n-1n-1n n1 11 11 11 1example1,Find the present value of an annuity which pays$500 at the end of ea

47、ch half-year for 20 years,if the rate of interest is 9%convertible semiannually.example2,If a person invests$1000 at 8%per annum convertible quarterly,how much can he withdraw at the end of quarter to use up the fund exactly at the end of 10 years?年金的现值年金的现值2、预付定期年金的现值：单位资金的收付时期时期 0 0年金年金2 21 1n-1n-

48、1n n1 11 11 1休息休息1 11 1年金现值的关系：年金现值的关系：年金的现值年金的现值3、期末付永续年金的现值：4 4、期初付永续年金的现值：、期初付永续年金的现值：休息休息年金的终值年金的终值年年金金终终值值：年年金金在在支支付付结结束束时时的的累累积积值值，永永续续年年金没有终值金没有终值1、期末付定期年金终值：单位资金的收付、期末付定期年金终值：单位资金的收付0 01 12 2n-2n-2n-1n-1n n时期时期年金年金1 11 11 11 11 1（1+i1+i)休息休息年金的终值年金的终值2、期初付定期年金的终值期初付定期年金的终值0 01 12 2n-2n-2n-1n

49、-1n n时期时期年金年金1 11 11 1（1+i1+i)1 1期初付定期年金终值与期末付定期年金终值的关系期初付定期年金终值与期末付定期年金终值的关系1、2 2、例题例题2.141、一位投资者希望投资一笔年金，到第、一位投资者希望投资一笔年金，到第12年之末积年之末积累到累到1000元。为此他打算每年年底存入一笔钱，最元。为此他打算每年年底存入一笔钱，最后一次存款将在投资时期结束前一年。如果此基金后一次存款将在投资时期结束前一年。如果此基金的实质利率为的实质利率为7%，问他每年应存入多少钱？，问他每年应存入多少钱？解：视为期初付款，建立求值方程；解：视为期初付款，建立求值方程；课堂练习题课

50、堂练习题有一笔1000元的贷款，为期10年。若实际利率为年率9%，试对下面三种还款方式比较其利息总量：1）第10年末，本金利息一次还清2）每年支付利息，本金第10年末归还3）贷款在10年期内按每年付款数相同的原则还清解：2 2）每年的利息）每年的利息=10000.09=90=10000.09=90，所以支付的利息总量为，所以支付的利息总量为9010=9009010=900元元3 3）设相等的付款为）设相等的付款为R,R,为为 何何 第第 三三种种 方方 式式 的的利息较小利息较小例题例题2.151、某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利0.5%的情况下，每月初需要存入