演绎归纳类比学习资料.ppt
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1、演绎归纳类比归纳推理归纳推理是以个别知识的判断为前提,推出一般性知识的判断为结论的推理。根据前提中是否考察了某类事物的全部对象,归纳推理可分为完全归纳推理和不完全归纳推理两种。归纳推理的几个特点1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上归纳推理的一般步骤:试验、观察概括、推广猜测一般性结论结论 对于所有的自然数n,前五个均是质数4=2+26=3+363+3,83+5,105+5,125+7,147+7,165+
2、11,18=7+11,,100029+9711002=139+863,前提:“任何一个大于任何一个大于2 2的偶数都可的偶数都可以表示为两个素数之和以表示为两个素数之和”-歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想结论:目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的,称为陈氏定理.“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1,且,且(n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.分别把分别把n=1,2,3,4代入代入 得得:归纳归纳:例2.有三根针和
3、套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?n=1时时,n=2时时,n=1时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,n=2时时,n=1时时,n=3时时,n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,n=4时时,n=3时时,n=2时时,n=1时时,归纳归纳:例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四
4、棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体
5、立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想欧拉公式类比推理类比推理是两个对象在一系列属性上相同,而且已知其中一个对象还具有其他属性,由此推断另一个对象也具有同样属性的推理。类比的推理是一种“合情推理”,不是证明,它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是,它是获得新思路,新发现的一种观点、一种手段。类比推理是探索真理的重要逻辑形式。类比推理的逻辑形
6、式类比推理的逻辑形式类比推理可用如下公式表示:A对象具有a、b、c、d属性,B对象具有a、b、c属性,因此,B对象可能也有d的属性类比推理的特征类比推理的特征(1)类比推理的方向是从个别到个别,或从一般到一般。(2)类比推理的结论是或然的。类比的结果是猜测性的不一定可靠不一定可靠,但它却有发现发现的功能的功能.检验猜想检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:找出找出两类对象之间可以确切表述的两类对象之间可以确切表述的相似特征相似特征;用一类对象的已知特征去用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征推测另一类对象的特征,从而得出
7、一个猜想;从而得出一个猜想;即即类比推理的一般模式类比推理的一般模式:所以所以B B类类事物事物可能可能具有具有性质性质d.A A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同)相似或相同)1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等.科学家猜想;火星上也可能有
8、生命存在.平面向量平面向量空间向量空间向量若若 ,则则 若若 ,则则 利用利用平面向量平面向量的性质类比得的性质类比得空间向量空间向量的性质的性质例例3.在平面几何里在平面几何里,有有勾股定理勾股定理:“设设ABC的两的两边边AB、AC互相垂直,则互相垂直,则AB2+AC2=BC2.”拓展拓展到空间,到空间,类比平面几何的勾股定理类比平面几何的勾股定理,“设三棱锥设三棱锥A-BCD的三个侧面的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相两两互相垂直,研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系垂直,研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可以得出的猜想是可以得出的猜想是_.”DABCabcc2 2=a2 2+
9、b2 2直角三角形直角三角形C90903 3个边的长度个边的长度a,b,c 2 2条直角边条直角边a,b和和1 1条斜边条斜边c 类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理,得空得空间中四面体性质的猜想间中四面体性质的猜想3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体PDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1,S2,S3和和S 3个个“直角面直角面”S1,S2,S3和和1个个“斜面斜面”S例例4 4、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合点的集合.球的
10、定义:到一个定点的距离等于定长的点的集球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x0 0,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x0 0)2 2+(+(y-y0 0)2 2=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与
11、不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x0 0,y0 0,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x0 0)2 2+(+(y-y0 0)2 2+(+(z-z0 0)2 2=r2 2例例5:5:利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积等差数列等差数列等比数列等比数列定义定
12、义通项公通项公式式前前n项和项和例例6.利用等差数列性质类比得等比数列性质利用等差数列性质类比得等比数列性质等差数列等差数列等比数列等比数列中项中项性质性质n+m=p+q时时,am+an=ap+aqn+m=p+q时时,aman=apaq任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项,为,为当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项,为,为成等差数列成等差数列成等比数列成等比数列下标等差下标等差,项等差项等差下标等差下标等差,项等比项等比例例4:试根据等式的性质猜想不等式的性质。:试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质:等式的性质:(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b
13、ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质:猜想不等式的性质:(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。等等。思考思考:这样猜想出的结论是否一定正确呢?:这样猜想出的结论是否一定正确呢?又如又如,在平面内,若在平面内,若ac,bc,则则a/b.类比到空间,你会得到类比到空间,你会得到 什么结论?并判断正误什么结论?并判断正误.错误错误(可能相交)(可能相交)猜想猜想:在空间中,若在空间中,若a a g g,b b g,g,则则a a/b b。归纳推理和类比推理的共同点归纳推理和类比推理的共同点 归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理都是根据已有
14、的事实都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合合情推理情推理.从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想分割问题中的类比分割问题中的类比 1 问问 题题:5个个平平面面最最多多把把空空间间分分为为几几个个部部分分?平平面面互互相相尽尽可可能能多多地地相相交交,才才能能分分割割最最多多。如如果果5个个平平面面全全都都平平行行,那那末末空空间间分分成成的的是是6部部分分,就就较较少少。但但
15、5个个平平面面如如何何相相交交最最多多以以致致分分割割最最多多,一一时时也也想不清楚,先把问题一般化,再把问题特殊化,逐渐想不清楚,先把问题一般化,再把问题特殊化,逐渐找规律。找规律。2问题一般化:问题一般化:n个平面最多把空个平面最多把空间分为几个部分?间分为几个部分?记分为记分为 个部分,再令个部分,再令 把问题特殊化把问题特殊化。3问问题题特特殊殊化化:从从简简单单的的情情况况做做起起,以以便便“类比类比”由由此此我我们们想想到到了了空空间间的的四四面面体体,这这似似乎乎是是四四个个平平面面相相交交最最多多(从从而而分分割割最最多多)的的情情况况,把把四四面面体体的的四四个个面面延延展展
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