线性代数期末复习提纲.doc

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1、 线性代数基本内容与方法第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7） ； （8） （其中为阶方阵，为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、掌握行列式的定义，熟记特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算行列式的值。4、知道并会用克莱姆法则。第二部分 矩阵【主要内容】

2、1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式。3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。4、阶矩阵可逆为非奇异(非退化)的矩阵。为满秩矩阵。只有零解有唯一解的行（列）向量组线性无关的特征值全不为零。可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法；（3）向量组法。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 掌握矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可

3、逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分 向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量，向量组：，向量组：，则（1）向量可被向量组线性表示（2）向量组可被向量组线性表示（3） 向量组与向量组等价的充分必要条件是：（4）基本题型：判断向量或向量组是否可由向量组线性表示？如果能，写出表达式。解法：以向量组：

4、以及向量或向量组:为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程只有零解向量组 线性无关；（2）向量方程有非零解向量组 线性相关。方法二：求向量组的秩（1）秩小于个数s向量组线性相关（2）秩等于个数s 向量组线性无关。（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关以向量组为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关以向量组为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。基本题型：判断向量组的相关性以及

5、求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、掌握向量空间及其基和维数的概念。第四部分 线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩未知量个数n；2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩未知量个数n.3、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵的秩；4、非齐次线性方程组有解增广矩阵秩系数矩阵的秩 特别地，1）增广

6、矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有唯一解；2）增广矩阵的秩系数矩阵的秩 未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分 相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程；（2）特征向量的求法：求方程组的基础解系。5、相似矩

7、阵的定义（）、性质(相似、有相同的特征值)。6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵.（2）求出的所有特征值（3）解方程组（）求对应于特征值的特征向量（4）若特征向量组不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组，记，对二次型做正交变换,即得二次型的标准形8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向

8、量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。线性代数练习题一、单项选择题 1、行列式中，元素的代数余子式是 （A） （B ） （C ） （D） 2、二阶行列式的值为 (A) (B) (C) (D)3、设行列式，则k的取值为（ ）（A）2 （B）-2或3 （C）0 （D）-3或24、若行列式=1，则= （A）1 （B）2 （C）0 （D）5、设a，b，c，d为常数，则下列等式成立的是 （A） （ B） （C） （D） 6、设阶行列

9、式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) (B) (C) (D) 7、设均为阶可逆矩阵，则下列各式成立的是 （A） (B)(C) (D) 8、设为3阶方阵，且行列式，则 (A)-8(B)-2 (C) 2(D)89、设为阶方阵且满足，则 (A) 或 (B) (C) 或 (D) 10、设为阶可逆方阵，则下列各式必成立的是 （A） （B） （C） （D）11、设矩阵，则 (A) (B) (C)（1,0,6） (D) 712、设行矩阵, ， 且则 （A） 1 （B） -1 （C） 2 （D） -213、下列命题正确的是 B .（A）若矩阵满足，则有或（B）若矩阵满足，则矩阵都可逆。（C

10、）若是阶矩阵的伴随矩阵，则（D）若，则14、设为三阶矩阵, , 则= (A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 15、下列说法不正确的是 (A）相似矩阵有相同的特征值。(B）阶矩阵可对角化的充要条件是它有个不同的特征值。(C）元齐次线性方程组有非零解的充要条件是。 （D）正交的向量组一定是线性无关的。16、维向量组线性无关的充要条件是 (A) 存在一组不全为零的数使(B) 中任意两个向量线性无关(C) 中存在一个向量可由其它向量线性表出(D) 中任何一个都不能由其它向量线性表出17、向量组，的秩为 . （A） （B） （C） （D）18、设均为阶可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是 .（A） （

11、B） （C） （D） 19、设，且，则 (A) (B) (C) (D) 20、设A可逆，则的解是 (A) (B) (C) (D) 21、下列说法正确的是( )。 (A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。 (B) 设方阵A是非奇异性的，A经过初等行变换得到阶梯阵B，则方阵B为奇异的。 (C) 初等矩阵都是可逆的。 (D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。22、设A，B都是可逆矩阵，则AB的逆是 （A） （B） （C） （D） 23、设，则 (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 024、设是阶方阵,若,则的基础解系所含向量的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2

12、5、二次型 的矩阵是 (A) (B) (C) (D) 二、填空题1. 五阶行列式的展开式共有 项.2.行列式中元素的余子式=_3.四阶行列式 的值是 4.矩阵中的元素=_5.若A，B为n阶矩阵，则=_6.设为3阶方阵，且，则 7.设矩阵，则 8.设，则 9.若A是可逆矩阵，则=_10.设矩阵，则 11设，是两个可逆矩阵，则分块矩阵 12设矩阵的秩，则 13若向量组线性无关，且，则数 14.向量组，中不能由其余向量线性表示的是 15.向量组的秩为_16在线性方程组中，若未知量的个数n=5，则方程组的一般解中自由未知量的个数为_17设4元线性方程组的系数矩阵的秩为3，且为其两个解，则 的通解为 1

13、8设向量组线性无关，则向量组 （填线性相关，线性无关）。19设元线性方程组有解，则当 时，有无穷多解。20若3阶方阵的特征值分别为1，-1，2，则的特征值为 21已知阶矩阵的特征值都不为零，则的特征值为 22设向量组，线性相关，则 23.若向量与向量正交，则 24已知三阶矩阵 的特征值为，其对应的特征向量分别是，则 25.若方阵与相似，则的特征值为_26若矩阵与相似,则 27若二次型是正定的,则应满足的条件是 三、计算题1、计算行列式2、设，求。3、已知且，求矩阵X。4、设，其中求矩阵5、求的秩。6、求方阵的特征值与特征向量。7、求向量组，的一个极大无关组。8、已知向量组， ，求该向量组的秩，

14、并求其一个极大无关组。9、判断线性方程组，当k为何值是有解？10、设线性方程组的一般解为，为自由变量，求的通解。11、设为34矩阵，若非齐次线性方程组 的三个解分别为： ， ， ，求： （1）齐次线性方程组的通解；（2）非齐次线性方程组的通解.12、求一个正交变换，把下面的二次型化为标准形四、证明题1设，证明：是对称矩阵。2. 证明：若向量是方阵的同时属于特征值的特征向量，则有3设是阶方阵的不同特征值，分别是的对应于的特征向量，证明：不是的特征向量.4证明：若矩阵相似于，则线性代数模拟试题答案一、单项选择题1、A 2、B 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 10、B 11、

15、A 12、C 13、B 14、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B二、填空题1、 5! 2、 3、24 4、1 5、 6、8 7、 8、 9、10、 11、 12、 13、 14、 15、3 16、217、 （注：此题答案不唯一） 18、线性无关 19、小于n 20、 21、 22、2 23、5 24、 25、 26、 27、 三、计算题1、解： 2、解：= 3、解：存在，用右乘方程两边，得 又所以， 4、解：= 及存在，且将已知等式整理得：所以 5、解：对矩阵施行初等行变换得， 所以 6、解：矩阵的特征多项式为： 令

16、，解得的特征值为： 当时，求解齐次线性方程组的基础解系，由得对应的方程组为,从而解得基础解系 于是属于特征值的全部特征向量为，其中k为任意非零常数。当时，求解齐次线性方程组的基础解系， 由得对应的方程组为 , 从而解得基础解系 于是属于特征值的全部特征向量为 ， 其中数是不同时为零的任意常数。7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得， 所以，所求向量组的极大无关组为：。 8、解：记矩阵，对其进行初等变换得 由最后一个矩阵可知从而所求向量组的秩为3 ，又因为非零行非零首元所在的列依次为1，2，5列所以为其中一个极大无关组（或也对） 9、解：已知方程组的增广矩阵为：对施行初等行

17、变换得： 所以当，即时，方程组有解。 10、解： 已知方程组对应的齐次线性方程组的一般解为 （为自由变量）令得：；令得：；则为齐次方程组的基础解系；再令，得非齐次方程组的特解：所以的通解为： 。 11、 解：（1）由已知条件可知，齐次方程组含基础解系个数为 2个向量， 因为 ， ， ，为非齐次方程组的解， 所以为齐次方程组的解 又因为线性无关 所以的通解为：（2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方程组的通解为： （注：此题答案不唯一）12、 解：已知二次型的矩阵为：的特征多项式为：令得特征值：当时 ，解方程组,得基础解系，单位化得当时， 解方程组, 得基础解系当时， 解方程组,得基础解系，单位化得 令矩阵则为正交矩阵，于是所求正交变换为：，就是此变换把二次型化为标准形 四、证明题1. 证明：因为， 所以，从而存在又因为，所以 用左乘等式两边得，故是对称矩阵。 2. 证明： 若 则由 可知： 又因为 所以，这与为特征向量矛盾所以3证明：假若是矩阵的属于特征值特征向量，即 因为分别是的对应于的特征向量，所以线性无关，并且，所以 ，即 于是 ，这与不同矛盾。4证明：因为矩阵相似于，所以 从而