数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案.pdf

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1、丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮第三章 函数逼近与曲线拟合 1()sin2f xx，给出0,1上的伯恩斯坦多项式1(,)Bf x及3(,)Bf x。解：()sin,2f xQ0,1x 伯恩斯坦多项式为 0(,)()()nnkkkBf xfP xn 其中()(1)kn kknP xxxk 当1n 时，01()(1)0P xx 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin022P xxB f xfP xfP xxxx 当3n 时，302212223331()(1)01()(1)3(1)03()(1)3(1)13()3P

2、 xxP xxxxxP xxxxxP xxx 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备3302232233223(,)()()03(1)sin3(1)sinsin63233 3(1)(1)2253 33 3632221.50.4020.098kkkBf xfP xnxxxxxxxxxxxxxxxxgg 2 当()f xx时，求证(,)nBf xx 证明：若()f xx，则 0(,)()()nnkkkBf xfP xn 00111(1)(1)11(1)(1)(1)(1)!(1)(1)(1)1(1)(1)!1(1)11(1)1(1)nkn kknk

3、n kknkn kknkn kknknkknnkxxknk n nnkxxnknnkxxknxxknxxxkx xxx LL 3证明函数1,nxxL线性无关 证明：若20120,nnaa xa xa xxR L 分别取(0,1,2,)kxknL，对上式两端在0,1上作带权()1x的内积，得 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟0101010211111naaannn LMOMMML Q此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解 a=0。函数1,nxxL线性无关。4。计算下列函数()f x关于0,1C的1,ff与2f：3(1)()(

4、1),0,11(2)(),2f xxxf xx(3)()(1),mnf xxxm 与 n 为正整数，10(4)()(1)xf xxe 解：(1)若3()(1),0,1f xxx，则 2()3(1)0fxx 3()(1)f xx在(0,1)内单调递增 01max()max(0),(1)max 0,11xff xff 01max()max(0),(1)max 0,11xff xff 116220172(1)11(1)0777fx dxx 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民(2)若1(),0,12f xxx，则 011101121ma

5、x()2()12()214xff xff x dxxdx 11222011220()1()236ffx dxxdx(3)若()(1),mnf xxxm 与 n 为正整数 当 0,1x时,()0f x 1111()(1)(1)(1)(1)(1)mnmnmnfxmxxx nxnmxxmxm 当(0,)mxnm时,()0fx()f x在(0,)mnm内单调递减 当(,1)mxnm时,()0fx()f x在(,1)mnm内单调递减。01(,1)()0max()max(0),()()xmnm nmxfxnmff xmffnmmnmn g 海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐海纳百川，有容乃大；

6、壁立千仞，无欲则刚。林则徐11010222202220()(1)(sin)(1 sin)sinsincoscos 2 sin!(1)!mnmnmnff x dxxxdxttdtttttdtn mnmgg 1122220144222014141220(1)sincos(sin)2sincos(2)!(2)!2()1!mnmnmnfxxdxttdtttdtnmnm(4)若10()(1)xf xxe 当 0,1x时，()0f x 9109()10(1)(1)()(1)(9)0 xxxfxxexexex()f x在0,1内单调递减。古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼老当益壮，宁移白

7、首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃0110110110011090112022202max()max(0),(1)2()(1)1(1)10(1)0105(1)347()4xxxxxff xffeff x dxxe dxxexe dxefxedxe 5。证明fgfg 证明：()ffggfggfgfg 6。对1(),(),f x g xC a b，定义(1)(,)()()(2)(,)()()()()babaf gfx g x dxf gfx g x dxf a g a 问它们是否构成内积。解：(1)令()f xC（C 为常数，且0C）则()0fx 而(,)()()baf ffx fx dx 这

8、与当且仅当0f 时，(,)0f f矛盾 不能构成1,C a b上的内积。忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮(2)若(,)()()()()baf gfx g x dxf a g a，则(,)()()()()(,),(,)()()()()()()()()(,)bababag fg x fx dxg a f af gKf gf xg x dxaf a g afx g x dxf a g af g 1,hC a b,则(,)()()()()()()()()()()()()()()(,)(,)babbaafg hf xg xh x dxf a g a h af

9、x h x dxf a h afx h x dxg a h af hh g 22(,)()()0baf ffxdxfa 若(,)0f f，则 2()0bafxdx,且2()0fa ()0,()0fxf a()0f x 即当且仅当0f 时，(,)0f f.故可以构成1,C a b上的内积。7。令*()(21),0,1nnTxTxx，试证*()nTx是在0,1上带权21()xxx的正交多项式，并求*0123(),(),(),()Tx Tx Tx Tx。解：若*()(21),0,1nnTxTxx，则 1*0120()()()1(21)(21)nmnmTx Tx P x dxTxTxdxxx 令(21

10、)tx，则 1,1t，且12tx，故 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文1*0112121()()()11()()()211()221()()1nmnmnmTx Txx dxtT t TtdttT t Ttdtt 又Q切比雪夫多项式*()kTx在区间0,1上带权21()1xx正交，且 1210,()(),021,0nmnmxT x Tx dnmtnm*()nTx是在0,1上带权21()xxx的正交多项式。又0()1,1,1T xx Q*001*11()(21)1,0,1(),1,1()(21)21,0,1Tx

11、TxxT xx xTxTxxx Q 22*2222()21,1,1()(21)2(21)1881,0,1T xxxTxTxxxxx Q 33*33()43,1,1()(21)T xxx xTxTx Q 3324(21)3(21)3248181,0,1xxxxxx 8。对权函数2()1xx，区间 1,1，试求首项系数为 1 的正交多项式(),0,1,2,3.nx n 解：若2()1xx，则区间 1,1上内积为 11(,)()()()f gf x g xx dx 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长

12、歌行定义0()1x，则 11()()()()nnnnnxxxx 其中 1101211211211321122111221121(),()/(),()(),()/(),()(,1)/(1,1)(1)(1)0()(,)/(,)(1)(1)0(,)/(1,1)(1)(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx dxx dxxxxxx xxx dxxx dxx xxx dxx22162158532()5dxxx 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹32222132211222122212221122132332222(,)/(,)55552

13、2()()(1)5522()()(1)55022(,)/(,)5522()()(1)55(1)136175251670152179()57014xx xxxxx xx dxxxx dxxxx xxxx dxxx dxxxxxxx 9。试证明由教材式(2.14)给出的第二类切比雪夫多项式族()nu x是0,1上带权2()1xx的正交多项式。证明：若2sin(1)arccos()1nnxUxx 令cosx，可得 121121020()()1sin(1)arccos sin(1)arccos 1sin(1)sin(1)1 cossin(1)sin(1)mnUx Uxx dxmxnxdxxmndmnd

14、 当mn时，200sin(1)1 cos2(1)22mdmd 当mn时，一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文百学须先立志。朱熹0000020sin(1)sin(1)1sin(1)cos(1)11cos(1)sin(1)11cos(1)cos(1)111cos(1)sin(1)111sin(1)cos(1)(1)(mndmdnnndmnmnmdnmmdnnnmndmnm 201)sin(1)sin(1)10nmdn 2011()sin(1)sin(1)01mnmdn 又mnQ，故21()11mn 0sin(1)sin(1)0nmd 得证。10。证明切比雪夫多项式()nT x满足微分方程 22

15、(1)()()()0nnnx T xxT xn T x 证明：切比雪夫多项式为()cos(arccos),1nT xnxx 从而有 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼穷则独善其身，达则兼善天下。孟子22232222222221()sin(arccos)()1sin(arccos)1()sin(arccos)cos(arccos)1(1)(1)()()()sin(arccos)cos(arccos)1sin(arccos)cos(arcco1nnnnnT xnx nxnnxxnnT xnxnxxxx T xxT xn T xnxnxnnxxnxnxnnx ggs)0 x 得证

16、。11。假设()f x在,a b上连续，求()f x的零次最佳一致逼近多项式 解：()f xQ在闭区间,a b上连续 存在12,x xa b，使 12()min(),()max(),a x ba x bf xf xf xf x 取121()()2Pf xf x 则1x和2x是,a b上的 2 个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知 P 为()f x的零次最佳一致逼近多项式。12。选取常数a，使301maxxxax 达到极小，又问这个解是否唯一 解：令3()f xxax 则()f x在 1,1上为奇函数 301311maxmaxxxxaxxaxf 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚

17、忍不拔之志。苏轼先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹又()f xQ的最高次项系数为 1，且为 3 次多项式。3331()()2xT x与 0 的偏差最小。33313()()44xT xxx 从而有34a 13。求()sinf xx在0,2上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。解：1222220()sin,0,2()cos,()sin0()()2,2cos,2arccos0.88069()0.77118()()()()220.10526f xx xfxx fxxf bf aabaxxf xf af xf bf aaxaba Qg 于是得()f x的最佳一次逼近多项式为 12()0.10526P

18、xx 即 2sin0.10526,02xxx 误差限为 11sin()sin0(0)0.10526xP xP 14。求()0,1xf xe在 0,1上的最佳一次逼近多项式。解：(),0,1(),()0 xxxf xexfxefxeQ 人不知而不愠，不亦君子乎？论语百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行22122220()()11ln(1)()1()()()()221(1)ln(1)(1)221ln(1)2xxf bf aaebaeexef xeef af xf bf aaxabaeeeeg 于是得()f x的最佳一次逼近多项式为 11()(1)ln(1)221(1)(1)

19、ln(1)2eP xexeexeee 15。求43()31f xxx在区间0,1上的三次最佳一致逼近多项式。解：43()31,0,1f xxxxQ 令12()2tx，则 1,1t 且1122xt 434321111()()3()122221(1024 229)16f ttttttt 令()16()g tf t，则432()1024229g ttttt 若()g t为区间 1,1上的最佳三次逼近多项式*3()P t应满足*311max()()mintg tP t 当*4234311()()()(881)28g tP tT ttt 时，多项式*3()()g tP t与零偏差最小，故 丈夫志四方，有

20、事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明*343321()()()2731025228tg tT tttt 进而，()f x的三次最佳一致逼近多项式为*31()16P t，则()f x的三次最佳一致逼近多项式为*32332173()10(21)25(21)22(21)16851129544128P txxxxxx 16。()f xx，在1,1上求关于241,spanxx 的最佳平方逼近多项式。解：(),1,1f xx x Q 若11(,)()()f gf x g x dx 且240121,xx，则 2220122220120102122

21、22,5911(,)1,(,),(,),2322(,)1,(,),(,),57fff 则法方程组为 0122221352221357212223579aaa 解得 0120.11718751.6406250.8203125aaa 故()f x关于241,spanxx 的最佳平方逼近多项式为 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语*2401224()0.11718751.6406250.8203125Sxaa xa xxx 17。求函数()f x在指定区间上对于 1,spanx 的最佳逼近多项式：1(1)(),1,3;(2)(),0

22、,1;(3)()cos,0,1;(4)()ln,1,2;xf xf xexf xxf xx 解：1(1)(),1,3;f xxQ 若31(,)()()f gf x g x dx 且011,x，则有 2201220101262,3(,)4,(,)ln3,(,)2,ff 则法方程组为 0124ln326243aa 从而解得 011.14100.2958aa 故()f x关于 1,spanx 的最佳平方逼近多项式为*01()1.14100.2958Sxaa xx(2)(),0,1xf xeQ 若10(,)()()f gf x g x dx 且011,x，则有 老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青

23、云之志。唐王勃志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟220122010111,31(,),2(,)1,(,)1,fef 则法方程组为 01111211123aea 从而解得 010.18781.6244aa 故()f x关于 1,spanx 的最佳平方逼近多项式为*01()0.1878 1.6244Sxaa xx(3)()cos,0,1f xx xQ 若10(,)()()f gf x g x dx 且011,x，则有 2201220101211,31(,),22(,)0,(,),ff 则法方程组为 012101221123aa 从而解得 011.21590.24317aa 常将有日思无日，莫待无

24、时思有时。增广贤文志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟故()f x关于 1,spanx 的最佳平方逼近多项式为*01()1.21590.24317Sxaa xx(4)()ln,1,2f xx xQ 若21(,)()()f gf x g x dx 且011,x则有 220122010171,33(,),23(,)2ln2 1,(,)2ln2,4ff 则法方程组为 0132ln2 1123372ln2423aa 从而解得 010.63710.6822aa 故()f x关于 1,spanx 最佳平方逼近多项式为*01()0.63710.6822Sxaa xx 18。()sin2f xx，在 1,1上

25、按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。解：()sin,1,12f xx x Q 按勒让德多项式0123(),(),(),()P x P x P x P x展开 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文1011121122121334112(),()sincos01228(),()sin231(),()()sin02225348(10)(),()()sin222f x P xxdxxf x P xxxdxf x P xxxdxf x P xxxxdx 则*00*112*222*334(),()/20123(),

26、()/25(),()/20168(10)7(),()/2af x P xaf x P xaf x P xaf x P x 从而()f x的三次最佳平方逼近多项式为*3001122332324223443()()()()()12168(10)53()22420(10)120(212)1.55319130.5622285Sxa P xa P xa P xa P xxxxxxx 19。观测物体的直线运动，得出以下数据：时间 t(s)0 距离 s(m)0 10 30 50 80 110 求运动方程。解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 sabt 令 1,spant 则

27、 22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,ss 则法方程组为 614.728014.753.631078ab 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹从而解得 7.85504822.25376ab 故物体运动方程为 22.253767.855048St 20。已知实验数据如下：ix 19 25 31 38 44 jy 用最小二乘法求形如2sabx的经验公式，并计算均方误差。解：若2sabx，则 21,spanx 则 22012201015,7277699,(,)5327,(,)271.4,(,)369321

28、.5,ff 则法方程组为 55327271.453277277699369321.5ab 从而解得 0.97260460.0500351ab 故20.97260460.0500351yx 均方误差为14220()0.1226jjjy xy 21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度4(10)y 0 用最小二乘法求()yf t。丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖解：观察所给数据的特点，采用方程,(,0)btyaea b

29、 两边同时取对数，则 lnlnbyat 取111,ln,spanSy xtt 则*Sab x 220122010111,0.062321,(,)0.603975,(,)87.674095,(,)5.032489,ff 则法方程组为*110.60397587.6740950.6039750.0623215.032489ab 从而解得*7.55878127.4961692ab 因此*5.21510487.4961692aaebb 7.49616925.2151048tye 22。给出一张记录(4,3,2,1,0,1,2,3),kf用 FFT 算法求 kc的离散谱。解：(4,3,2,1,0,1,2,

30、3),kf 则0,1,7,8kNL 0415426233741,iiieeie 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文谋事在人，成事在天！增广贤文 k 0 1 2 3 4 5 6 7 kx 4 3 2 1 0 1 2 3 1A 4 4 4 2 4 0 4 32 2A 8 4 0 4 8 2 2 0 2 2 jC 16 42 2 0 42 2 0 42 2 0 42 2 23，用辗转相除法将222236()66xxRxxx化为连分式。解 2222236()661218366123394322120.7534.51.5xxRxxxxxxxxxx 24。求()sinf xx在0 x 处的(3,3)

31、阶帕德逼近33()Rx。解：由()sinf xx在0 x 处的泰勒展开为 357sin3!5!7!xxxxxL 得00,C 人不知而不愠，不亦君子乎？论语老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃12341,0,11,3!60,CCCC 511,5!120C 60,C 从而 1 32 23 142 33 24 153 34 25 16CbC bC bCC bC bC bCC bC bC bC 即 321110061100612011006120bbb 从而解得 32101200bbb 又10(0,1,2,3)kkjkjkjaC bC kQ 则 0010 1120 21 130 31

32、 22 13000760aCaC bCaC bCbaC bCbC bC 故 海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明23012333231233233()17601120607603aa xa xa xRxb xb xb xxxxxxx 25。求()xf xe在0 x 处的(2,1)阶帕德逼近21()Rx。解：由()xf xe在0 x 处的泰勒展开为 2312!3!xxxex L 得 01231,1,11,2!211,3!6CCCC 从而 2 13C bC 即 11126b 解得 113b 又10(0,1,2)kkjkjkjaC bC kQ 则 001aC 10 1121 122316aC bCaCbC 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文故 201221122()1211361136462aa xa xRxb xxxxxxx