理想流体力学课程设计(Hess Smith方法求附加质量)161054.pdf

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1、宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经 一、物理背景 无论是船舶还是海洋平台在海洋开发中都起着关键的作用，而开发海洋首先需要对海洋结构物进行深入地研究。这其中，水动力学中的附加质量是研究的重要方面，掌握物体附加质量的计算无疑具有重要的意义。附加惯性力的存在使物体在理想流体中的变速运动相当于物体自身质量上增加了一个附加质量而在真空中运动，换句话说，理想流体增大了物体的惯性，使物体很难加速也难减速。计算机是求解附加质量的重要工具，本课程设计主要依据分布源模型的面元法等知识来对圆球、椭球、圆柱、双椭球的附加质量进行数值模拟计算，

2、并进行相关讨论。二、理论依据 用s表示无界流中的物体表面，来流为均匀流，其未扰动速度或无穷远处的速度为 ,1xyzVV iVjV kVV (2.1.1)用 x,y,z表示定常速度势，它在物体外部空间域中适合拉普拉斯方程，在物面上适合不可进入条件，在无穷远处，应该与均匀来流的速度势吻合，即 20 （物体外）(2.1.2)0n（物面s上）(2.1.3)xyzxVyVzV（无穷远处）其中,单位法线向量n指向物体内部。在速度势中分出已知的均匀来流项，记 xyzxVyVzV (2.1.4)这里的是扰动速度势，应适合以下定解条件：20（物体外）(2.1.5)Vnn（物面s上）(2.1.6)0（无穷远处）(

3、2.1.7)易知过物面s的通量为零，即 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖 sdsn0 所以远方条件(2.1.7)可进一步具体化为 21rO （222rxyz）(2.1.8)用pqr表示点p和q之间的距离，对函数 q和1/pqr在物面s外部和远方控制面c的内部之空间域内用格林公式，当点p在上述空间域内时 1114qpqqqpqs cpqqdsrnnr (2.1.9)从的远方条件(2.1.8)可知，c上积分趋于零，式(2.1.9)成为 1114qpqqqpqspqqdsrnnr (2.

4、1.10)其中,p是物面s外的任意一点。在物体的内部域中构造一个合适的内部解i，它在s内部适合拉普拉斯方程，在物面s上适合某种物面条件，其具体形式将在下面给出。对于上述物体外部的点p函数1/pqr在物体内部域中没有奇点，在内部域中对函数()iq和1/pqr用格林公式，得到 110iiqpqqqpqsqqdsrnnr (2.1.11)式(2.1.10)和(2.1.11)中的p是物体外部同一个点，把两式相减，得到 qspqqiqiqpqdsrnnnrp114 (2.1.12)在物面s上取i适合下述两种物面条件，得到两种i的定解条件，一种是：20(iiss内部)(上）(2.1.13)定解问题(2.1

5、.13)是拉普拉斯方程的第一类边值问题，它的解是存在且唯一的。取式(2.1.12)中的内部解i为式(2.1.13)所决定的函数，则式(2.1.12)成为 qspqdsrqp (2.1.14)其中 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备 nnqi41 (2.1.15)式(2.1.14)表示扰动速度势可以用物面s上的分布源表示，其中分布源密度是未知函数，将由扰动势的物面条件（2.1.6）来决定。物体的附加质量ijm，表示物体沿i方向运动引起的j方向的附加质量，公 式如下:(,1,2,6)jjiijisbsbmn dsds

6、i jn (2.2.1)利用式(2.1.14)，再结合物面条件，得到 12qspppqspqdVnnr (2.3.1)这就是分布源密度所适合的线性积分方程。把积分方程(2.3.1)转换成线性代数方程组，即用离散量代替连续变量。把物面s分成N小块，记 1Njjss (2.3.2)用平面四边形或三角形来近似代替小曲面js。具体做法如下，取第j小块的四个顶点坐标之算术平均值，得到中心点jp的坐标。计算对角线向量的向量积（指向与曲面法线指向相符合），用jn表示该方向上的单位向量，形成以jn为法线且通过中心点jp的平面，再把四个顶点向该平面作投影，以四个投影点为顶点组成平面四边形jQ，用jQ代替原来的小

7、曲面js，称jQ为单元。通常把小范围内的分布源密度作为常数，因此只要分割不太粗，可以认为在单元jQ上为常数，记作j，从而 qpqQpjqpqpsdsrndsrnqjj11 (2.3.3)因此物面s上的积分可以用N个平面四边形（三角形）上积分之和来近似，即 qpqQpjNjqpqpsdsrndsrnqj111 (2.3.4)上式左端的未知量()q是连续型变量，而上式右端的未知量是N个离散量(1)jjN。为了求解这N个未知数，须要N个方程。取积分方程(2.3.1)中的我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语 动点p为N个

8、单元jQ的中心点(1)jpjN，称之为控制点，即控制物面条件使之成立的点。用近似式(2.3.4)代替积分方程(2.3.1)的左端，便可以写出j的N阶线性代数方程组：1(1,2,)NijjijabiN (2.3.5)其中 1()iijijqpp qQadsjinr 2,iijipabVn 称ija为影响系数，即第j个单元上的分布源在第i个控制点上的影响。求解线性代数方程组(2.3.5)得到j的值以后，便可以得到速度势 p在控制点ip处的值，即 jijNjicp1 (2.3.6)1ijijqp qQcdsr (2.3.7)另外，物面s上的诱导速度为 12Niijjiijpnvpps (2.3.8)

9、其中表示求和是不计ji这一项。，这里的曲面法线n指向物体内部。三、数值模型 将物体表面划分成四边形面面元，物面为S，每一个四边形面面元为jS。为了简化计算，将面网格投影到各自对应的平面上，使曲面网格jS变为平面网格jQ。投影的方法为：取jS四个顶点坐标之平均值，作为中心点jp的坐标。计算jS对角线连线向量的向量积并使得积的方向与流域法向相同。用jn表示该方向上的单位向量。设：(,)jjxjyjznnnn jp的坐标为：(,)jxjyjzppp 则取投影面为过jp并以jn为法向量的平面：穷则独善其身，达则兼善天下。孟子人不知而不愠，不亦君子乎？论语 ()()()0jxjxjyjyjzjznxpn

10、ypnzp 设在该平面上的投影点为：(,)x y z 而曲面四边形某个顶点为：000(,)xyz 则有：000(,)/(,)jxjyjzxxyyzznnn 因此得到由jS顶点坐标求解投影点（jQ顶点）坐标的线性方程组：000000jxjxjyjyjzjzjxjyjzjyjxjyjxjzjxjzjxn pn pn pnnnxnnyn xn ynnzn xn z 由此线性方程组可解出投影点坐标。假设速度势和分布源在jQ上是不变的，其值为该单元中点（控制点）处的速度势或分布源。由于所求速度势和速度等物理量均为物面上的物理量，因此要令p点落在物面之上。式右端分布源的法向导数极限由两部分组成，一部分是

11、P 点附近小曲面的贡献，另一部分是屋面其余部分s贡献。当p所趋近于的物面上的点p作为控制点的单元，积分时需要考虑奇异性；其余部分为s。设其中一单元为单元i，其余模型为单元j。对于每一个控制点i，令1jN循环一次求得前述方程的积分项（包括奇异积分）。再由1iN可以得到N组方程，进而形成求解各个控制点处物理量的矩阵。p点表示控制点（编号i），对于每一个控制点的物理量，通过在和s上积分得到。即：对于任意一i,，有 qpqQpjNjqpqpsdsrndsrnqj111 1(1,2,)NijjijabiN 其中，1()iijijqpp qQadsjinr 2,iiiipabVn 将模型控制点数据导入到程

12、序中计ija和ib，可以得到方程组：丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖 111111NNNNNNbaaaab 求解上面线性代数方程组得到j的值以后，便可以得到速度势 p在控制点ip处的值，即 jijNjicp1 其中，1ijijqp qQcdsr 每一个i点（控制点）处诱导速度为（是向量）：11()()()Nijjiiijpvpps 其中，1(d)()()1lim(d)()jijpiqpqQjipiqpppqQsijrvpsijr 在常分布单元假设条件下：1lim(d)2ijpiqipppqQsnr 可得，11()2()()N

13、ijijjiiijpnvpps 于是便可求解出速度势和物面速度。四、几何模型 4.1 椭球、圆球、有限长圆柱、平行椭球 利用计算机编程来完成以上四类几何模型的建立并划分网格如图 4.1、图4.2、图 4.3、图 4.4 所示。其中，椭球长短轴之比为 5：1，有限长圆柱柱体长和截面直径之比为 5，平行椭球的两个椭球相同且长轴平行，间距为短半轴的 3、5、7 倍。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文 图 4.1 椭球面网格划分 图 4.2 圆球面网格划分 图 4.3 有限长圆柱面网格划分 图 4.4 平行椭球面网格划分 人人好公，则天下太平；人人

14、营私，则天下大乱。刘鹗丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武 五、计算参数及结果讨论 5.1 椭球 5.1.1 椭球附加质量系数 M11 经查阅资料可知，椭球附加质量系数 M11 的理论值为 0.059。不同面元数时，M11 的计算结果见表 5.1。表 5.1 椭球的附加质量系数 M11 随面元数的变化 面元数 椭球的附加质量系数 M11 300 0.06204 400 0.06138 500 0.06117 600 0.06101 700 0.06090 800 0.06074 900 0.06064 M11 随面元数变化曲线见图 5.1。图 5.1 M11 随面元数变化曲线

15、 5.1.2 椭球附加质量系数 M33 椭球附加质量系数 M33 的理论值为 0.894。不同面元数时，M33 的计算结果见表 5.2。表 5.2 椭球的附加质量系数 M33 随面元数的变化 面元数 椭球的附加质量系数 M33 300 0.9706541 400 0.9676541 常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武 500 0.9582145 600 0.9518741 700 0.9453254 800 0.9422548 900 0.9406142 M33 随面元数变化曲线见图 5.2。图 5.2 M33 随面元数变化曲线 5.

16、1.3 结果讨论 由计算结果可以看出，椭球在附加质量系数 M11 较 M33 小很多，这点由椭球几何形状可以容易看出，与实际有较好的符合。随着面元数量的增加附加质量系数 M11 和 M33 均更接近于各自理论值，误差都有减小。在计算过程中发现，面元的划分形式存在质量好坏的区别，对于同样多数量的面元，面元形式的不同会造成不一样的结果，比如同是数量为 600 的单元，长轴方向划分为 20 份，周向 30 份得出的 M33 为 0.964419，而长轴方向划分为 30份，周向为 20 份，得出的附加质量 M33 为 0.9514185，更接近与理论值，误差更小，这是由于对于本细长的椭球模型而言，周方

17、向划分 20 份已经较为紧密，而细长的长轴方向需要划分更多的数量以使面元更接近于真实物面，所以在划分面元时，需要考虑物体的实际情况，以得到更高质量的面元。5.2 圆球 5.2.1 圆球附加质量系数 M11 经查资料可知，圆球附加质量系数 M11 的理论值为 0.5。不同面元数时，M11 的计算结果见表 5.3。万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语 表 5.3 球的附加质量系数 M11 随面元数的变化 面元数 球的附加质量系数 M11 324 0.5637298 360 0.5467839 432 0.5368716 540 0.5266547 648

18、 0.5238728 784 0.5142735 M11 随面元数变化曲线见图 5.3。图 5.3 M11 随面元数变化曲线 5.2.2 圆球附加质量系数 M33 由于对称性，圆球附加质量系数 M33 的理论值也为 0.5。不同面元数时，M33 的计算结果见表 5.4。表 5.4 球的附加质量系数 M33 随面元数的变化 面元数 球的附加质量系数 M33 324 0.5385478 360 0.5363544 432 0.5337452 540 0.5314524 648 0.5268541 784 0.5234581 M33 随面元数变化曲线见图 5.4。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。

19、中庸非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮 图 5.4 M33 随面元数变化曲线 5.2.3 结果讨论 由计算结果可以看出，随着圆球面元数的增加，计算而得的附加质量系数逐渐接近解析解，即理论值，误差逐渐减小，由面元法知识可知，这是由于面元数量增加，面元密度增加，单元也就更接近真实物面，从而结果更准确。M11 与M33 计算结果基本一致，差别较小。5.3 有限长圆柱 5.3.1 圆柱附加质量系数 M11 不同面元数时，M11 的计算结果见下表。表 5.5 有限长圆柱的附加质量系数 M11 随面元数的变化 面元数量 m11 200 0.137835 240 0.139154 300 0.14027

20、8 360 0.140923 400 0.141215 480 0.141617 600 0.141974 720 0.142188 800 0.142287 900 0.142383 有限长圆柱 M11 随面元数变化曲线图 5.5 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文 图 5.5 M11 随面元数变化曲线 5.3.2 圆柱附加质量系数 M33 不同面元数时，圆柱 M33 的计算结果见下表。表 5.6 有限长圆柱的附加质量系数 M11 随面元数的变化 面元数量 m33 200 1.021685 240 0.994427 300 0.968839 36

21、0 0.952627 400 0.944758 480 0.933241 600 0.92205 720 0.914769 800 0.911179 900 0.907623 有限长圆柱 M33 随面元数变化曲线图 5.6 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸 图 5.6 M33 随面元数变化曲线 5.3.3 结果讨论 由计算结果可以看出，对于柱体长与直径长之比为 5：1 的有限长圆柱体而言，其沿柱体方向附加质量系数 M11 要小于垂直柱体方向附加质量系数 M33，并且随着面元数量增加而增大并且有收敛趋势，而垂直于柱体长轴方向的附加质量系数 M33 随着

22、面元数量增加而减小并且也呈现出收敛趋势。5.4 平行椭球 5.4.1 两椭球平行时附加质量系数 M11 每个椭球面元划分数量为 400，并且划分形式与单个椭球时一样，以便比较二者的区别。单个椭球在以上计算中得到的附加质量系数 M11 的值为 0.06149，以该值作为计算两椭球并行时相互影响的参考值。在不同轴间距时时，M11 的计算结果与对比如下。表 5.7 两椭球并行时 M11 随长轴间距的变化 间距(倍数)并行时附加质量系数 M11 影响 3 0.07562 24.08%5 0.06754 10.11%7 0.06459 5.10%M11 随长轴间距变化曲线见下图。大丈夫处世，不能立功建业

23、，几与草木同腐乎？罗贯中吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语 图 5.7 两椭球并行时 M11 随长轴间距的变化曲线 5.4.2 两椭球平行时附加质量系数 M33 单个椭球在以上计算中得到的附加质量系数 M33 的值为 0.9675557，以该值作为计算两椭球并行时相互影响的参考值。不同轴间距下的算结果见下表。表 5.8 两椭球平行时 M33 随长轴间距变化 间距 并行时附加质量系数 M33 影响 3 1.115148 14.90%5 1.004621 3.87%7 0.983651 1.59%双椭球并行时 M33 随长轴间距变化时的曲线如下，图 5.8 双椭球并行

24、时 M33 随长轴间距变化曲线 5.4.3 结果讨论 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 由计算结果可以看出，两个椭球并行时，二者之间会产生干扰，使单个椭球附加质量系数增加，然而其影响会随着椭球之间轴间距增大而减小，以使每个椭球附加质量系数逐渐接近于单个椭球运动时的值，可以推测当其间距足够大时，每个椭球可以看成单独运动的效果。百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行人不知而不愠，不亦君子乎？论语 参考文献 1.戴遗山,段文洋.船舶在波浪中运动的势流理论M.国防工业出版社，2008.2.陈科.FORTRAN完全自学手册M.机械工业出版社.2009.3.孙寒冰,邹劲,庄家园,吴恭兴.深 V 型无人艇附加质量计算及其影响D.2011 年中国智能自动化学术会议论文集（第一分册）.2011.4.李刚,段文洋,郭志彬.复杂构型潜器附加质量的研究D.哈尔滨工业大学学报.2010.5.林超友.潜艇近海底航行附加质量数值计算D.SHIP ENGINEERING,2003 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 理想流体力学课程设计 应用 HessSmith 方法求附加质量