数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章.pdf

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1、天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语第四章 函数的连续性 一、填空题 1设0 11sin0 0 sin1)(xxxxkxxxxf ，若函数)(xf在定义域内连续，则 k ；2函数0 sin0 1)(xxxxxf 的间断点是 ；3函数xxf)(的连续区间是 ；4函数321)(2xxxf的连续区间是 ；5函数)3(9)(2xxxxf的间断点是 ；6函数)4)(1(2)(xxxxf的间断点是 ；7函数)2)(1(1)(xxxf的连续区间是 ；8设0 0 )(xkxxeexfxx 在0 x点连续，则 k ；9函数3x1 31x0 101 1)(

2、xxxxxf的间断点是 ；10函数0ba 0 )(0 )(2xxxbaxbaxxf.则)(xf处处连续的充要条件是 b ；11函数0 0 )(21xaxexfx，则)(lim0 xfx ，若)(xf无间断点，则a ；12如果1 1 11)(2xaxxxxf ，当a 时，函数)(xf连续 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中二、选择填空 1设)(xf和)(x在,内有定义，)(xf为连续函数，且0)(xf，)(x有间断点，则()A.)(xf必有间断点。B.2)(x必有间断点 C.)(xf必有间断点 D.)()(xfx必有间断点 2设函数b

3、xeaxxf)(，在,内连续，且)(limxfx0，则常数ba,满足()A.0,0ba B.0,0ba C.0,0ba D.0,0ba 3设xxeexf1111)(，当,1)(;0 xfx当0 x，则 A 有可去间断点。B。有跳跃间断点。C 有无穷间断点 D 连续 4函数nnxxxf211lim)(A 不存在间断点。B 存在间断点1x C 存在间断点0 x D 存在间断点1x 5设0 10 1sin)(;0 00 1)(xxxxxgxxxf，则在点0 x处有间断点的函数是 A )(),(maxxgxf B)(),(minxgxf C )()(xgxf D)()(xgxf 6下述命题正确的是 A

4、 设)(xf与)(xg均在0 x处不连续，则)(xf)(xg在0 x处必不连续。B 设)(xg在0 x处连续，0)(0 xf，则0limxx)(xf)(xg=0。C 设在0 x的去心左邻域内)(xf)(xg，且0limxx)(xf=a,0limxx)(xg=b,则必有 ab D 设0limxx)(xf=a,0limxx)(xg=b,ab，则必存在0 x的去心左邻域，使)(xf)(xg。三、计算题 1指出函数的间断点及其类型：一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹（1）x1xxf；（2）xSinxxf；（3）xcosxf；（4）xSgnxf；（5）xcos

5、Sgnxf；（6）为无理数为有理数 xx,-x,xxf（7）x1 ,1-x1sin1-x1,x7-,x,7x ,7x1xf 2延拓下列函数，使在上连续：（1）2x8xxf3；（2）2xCosx1xf；（3）x1xCosxf 3举出定义在0，1上符合下述要求的函数：（1）在31,21和41三点不连续的函数；（2）只在31,21和41三点连续的函数；（3）只在 2,1nn1上间断的函数；（4）仅在 x=0 右连续，其它点均不连续的函数。4求极限：（1）tgxxlim4x；（2）1x1xx21xlim21x。5求下列极限：（1）x1lnx15Cosxelim2x0 x；（2）)xxxxlim(x；（

6、3）海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐百学须先立志。朱熹x1x1x1x1x1x1lim0 x；（4）1xxxxlimx；（5）n2xn1n11lim；（6）.Sinx1limctgx0 x 四、证明题 1按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）x1xf；（2）xxf 2设 f 为连续函数，常数0C，证明函数 .Cxf ,C ,Cxf ,xf,Cxf ,CxF若连续若若 3证明：设 f 为区间 I 上的单调函数，且Ix0为 f 的间断点，则 x0必是 f 的第一类间断点。4设函数 f 只有可去间断点，定义 yflimxgxy，证明 g 为连续函数。5设 f 为),(上单调函数，定义

7、 g（x）=f（x+0），证明函数 g 在),(上每点都右连续。6该 0g0f，当0 x 时，xgxf，试证 f 与 g 这两个函数中至我有一个在 x=0处连续。7设 f，g 在点 x0连续，证明：（1）若 00 xgxf，则存在 x0的某个邻域,xU0使 ,xUx,xgxf0：（2）若对0 xx，有 00 xgxf，则 00 xgxf。8研究复合函数gf 与fg的连续性。设（1）2x1xg,Sgnxxf；（2）xx1xg,Sgnxxf2。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼良辰美景奈何天

8、，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖24设1a，x 为任意实数，证明.rafinarxrx为有理数 五、考研复习题 1设函数 f 在开区间（a，b）内连续，且 f（a+0）与 f（b-0）为有限值。证明 f 在（a，b）上有界。2证明：方程 0 xaxaxa332211（其中0a,a,a321，且321）在21,与32,内各有一个根。3若 f 在a，b上连续，bdca，且 dfcfk，证明：（1）存在一个b,a，使得 f2k；（2）存在一个b,a，使得 fnmdnfcmf，其中 m，n 为正整数。4设函数 f 在a，b上连续，证明下述结论：（1）若对一切a，b上的有理数 r，有

9、 f（x）=0，则在a，b上有 0 xf。（2）若对a，b上任意两个有理数2121rrr,r，有 21rfrf，则 f 为a，b上的严格递增函数。5证明：若 f 在a，b上连续，则函数 fminxmxa和 fminxMxa在 a，b上连续。6设 f 在a，b连续，且b,ab,af，证明存在b,ax，使得 f（x）=x。7证明：若函数 f 在（a，b）连续，f（a+0）与 f（b-0）都为有限值，且存在一点b,a，使得 0bf,0afmaxf，则 f 在（a，b）内能取到最大值。8证明：若函数 f 在（a，b）连续，且0bf0af，则 f 在（a，b）内能取到最小值。9设函数 f 在a，b上连续

10、b,ax,x,xn21 ，另有一组正数0,n21 ，满足1n21 ，证明：存在一点b,a，使得 nn2211xfxfxff 。10已知函数 f 在,0上连续，且,0 x,xxf0，设 其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传.,2,1n,afa,0an1n1 证明：（1）na为收敛数列；（2）设talimnx，则ttf；（3）若条件改为,0 x,xxf0，则 t=0。11证明：若函数 f 在0，1上连续，1f0f，则对任何自然数 n，存在 1,0，使得 fn1f。12设函数 f 在 x=0 连续，且对任何,y,x有 yfxfyxf，证明：（1）f 在,上连续；（2）x1fxf。13设函数 f 定义在,上，且在 x=0，1 两点连续，证明：若对任何,x有 xfxf2，则 f 为常量函数。14证明：若)(xf在,ba上连续，则函数|)(|min)(fxmxa 在,ba上连续。