数列公式性质总结.pdf

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1、丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武一 定义（n2，nN）1 等差：na1na=d 1 等比：1nnaa=q（q0）二 通项公式 1 dnaan)1(1 （推导方法：累加法）na()=nmmaaanm ddnm 1)0(111qaqaann（推导方法：累乘法）mmm=nnnnmaaaqqa 三 na性质 1 A是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baA2a+bA=2。1 G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列baG2Gab。2 ),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；当 n+m=2k 时,得nmaa=2ka 2)

2、,(Nqpnmqpnm 则qpnmaaaa；当 n+m=2k 时,得nma a=2ka 3 na,nb为等差数列,则nak,nk a,nnab,nkab为等差数列.3na,nb为等比数列,则1na,nk a,2na,21na,nna bnnab为等比数列.4 等差 na中，,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd.4 等比 na中，,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq.5 na为等差数列，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34（k 项的和）是等差数列.公差为2k d 5 na是等比数列，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34（k 项的和）是等比数列.公比

3、为kq。另外（k 项的积）1212221223nnnnnnna aaaaaaaa，,也是等比数列，公比为()nnq 6 na是等差数列，设12,nA aaa，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有CAB2；6 na是等比数列,设12,nAaaa，122nnnBaaa，21223nnnCaaa，则有2BA C 7 3或4个数成等差数列，按对称性设，3个数：a-d,a,a+d；4个数:a-3d,a-d,a+d,a+3d 7 三个数成等比数列，设为 ,aa aqq，也可设为2,.a aq aq 8 na是等差数列bknan（k,b 是常数）（Nn）na关于 n 的一次函数 人之为学，不

4、日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武na是等差数列22n11(1)ddS=n+n=AnBn222n nnadans关于 n 的二次函数。若0d，ns有最小值。若0d，ns有最大值。8 an是等比数列n1A Bnnaaqqna关于n的指数型函数。an是等比数列11AA11nnnaaSqqqq ns关于n的指数型函数。9 na有穷等差数列，则1211nnin iaaaaaa。9na有穷等比数列，则1211nnin ia aa aaa。10 等差数列na中,每隔 k 项取出一项,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k

5、+1)d(如：1a，4a，7a，10a仍为公差为3d 的等差数列)10 等比数列na中,每隔 k 项取出一项,所得的数列仍为等比数列,且公比为1kq(如：1a，4a，7a，10a仍为公比3q的等比数列)11 na是等差数列,公差为 d，则na，1na，2a，1a也是等差数列，其公差为d.11na是等比数列,公比为 q，则na，1na，2a，1a也是等比数列，其公比为1q 12 如果na是各项均为正数的等比数列,则数列lgna是公差为lgq的等差数列 nS常用的性质：（1）在等差数列na中,当项数为 2n 时,1,nnSaSSndSa奇偶奇偶（中间两项）,当项数为 2n-1 时,1nSnSSaS

6、n奇偶奇偶（中间项）(2).若等差数列na,nb的前 n 项和为,nnS T(n 为奇数),则1212nnnnaSTb.或1212nnnnTSba(3)在等差数列na中.nS=a,mSb,则()n mnmSabnm,特别地,当nmSS时,0n mS,当nS=m,mS=n 时()n mSnm (4)na是等差数列,则数列nSn也为等差数列.以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮(5)na是等差数列,若首正1a0,公差 d0 且10na,则nS最大,当na0,10na 且20na,则nS=1nS最大.若首负1a0,则当na0 且10na,则nS最

7、小,当na0,10na 且20na,则nS=1nS最小。6 na是等比数列，当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；7 当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.在等比数列na中,当项数为 2n(n*N)时,1SSq奇偶,.8 若na等比数列,则nn mnmSSqS 四、通项公式的求法 1 利用nS求通项公式：11(1)(2)nnnSnaSSn 2 已知递推公式求通项公式。类型 1：)(1nfaann 转化为)(1nfaann，累加法(逐差相加法)。例12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa 类型2：nnanfa)(1 转化为)(1nfaann

8、，累乘法(逐商相乘法)。例32411231()()()()nnnaaaaaaaaaa 类型3：qpaann1 （p，q 为常数，)0)1(ppq）。待定系数法：转化为1()nnatp at，其中1qtp，转化为等比数列。五 数列求和 1 公式法 1 等差数列：dnnnaaanSnn2)1(2)(11 （推导：倒序相加法）1等比数列：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn （推导：错位相减法）2、拆项法 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武例：求,)23(1,101,71,41,11132naaaan的前 n 项和。)2

9、3(741)1111(12naaaSnn 3、错位相减法：主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.例：234n=1+3x+5x+7x+9x+2n-1 xnS 4、裂项相消法 111(1)1n nnn；)121121(21)12)(12(1nnnn；11 11()()n nkk nnk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；nnnn111 )(11nknknkn 11(1)!(1)!nnnn 5、倒序相加法 6 1+2+n=21n(n+1)，12+22+n2=61n(n+1)(2n+1)，13+23+n3=14n2(n+1)2。六 数列的分类 递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 常数数列:例如:6,6,6,6,.等比数列的单调性，110011nnaaaaq，则为递增数列，则为递减数列且 110021nnaaaaq，则为递减数列，则为递增数列0且（3）当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;（4）当 q0 时,该数列为摆动数列.