立体几何大题.pdf

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1、丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。洪应明2016 年 7 月 9 日数学周测试卷 一、解答题（共 25 小题；共 325 分）1.如图，正方体 1111 的棱长为 2 （1）在图中找出平面，平面 11，平面 11 的一个法向量；（2）以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标 2.如图，在正方体 1111 中，求 与平面 11 所成角的余弦值 3.设 ，分别是两条异面直线 1，2 的方向向量，且 cos,=12，求异面直线 和 2 所成的角 4.如图，直三棱柱 ，=90，=2，=1，点 、分别为 和

2、的中点（锥体体积公式 =13，其中 为底面面积，为高）（1）证明：平面；（2）求三棱锥 的体积 5.三棱锥 中，侧面 与底面 垂直，=3 （1）求证：；（2）设 =23，求 与平面 所成角的大小 6.如图，和 所在平面互相垂直，且 =2，=120，分别为，的中点 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备 （1）求证：；（2）求二面角 的正弦值 7.如图，四边形 为正方形，平面，=12 （1）证明：平面；（2）求棱锥 的体积与棱锥 的体积比值 8.如图，在 中，=90，=152，两点分别在，上，使=2，=3现将 沿 折成直二面角，求：（1）异面直线 与 的距离

3、；（2）二面角 的大小（用反三角函数表示）9.如图，直三棱柱 111 中，分别是，1 的中点 （1）证明：1平面1；（2）设 1=2，=22，求三棱锥 1 的体积 10.如图，正四棱锥 的所有棱长均为 2，分别为棱，的中点 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫（1）求证：平面，并求出直线 到平面 的距离；（2）求点 到平面 的距离 11.已知过球面上三点，的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 =6，=4计算球的表面积与体积 12.如图，三棱柱 111 中，点 1 在平面 内的射影 在 上，=90，=1，=1=2 （1）证明：1 1；（2）设直线 1 与

4、平面 11 的距离为 3，求二面角 1 的大小 13.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，=2，=2，=5，,分别是棱,的中点 （1）证明：平面；（2）若二面角 为 60，证明：平面 平面；求直线 与平面 所成角的正弦值 14.如图，在四棱柱 1111 中，侧棱 1 底面，=1，=1=2，=5用向量法解决下列问题：（1）若 的中点为，求 1 与 所成的角；（2）求二面角 1 1（锐角）的余弦值 15.已知在四棱锥 中，底面 是矩形，且 =2，=1，平面，分别是线段，的中点 人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹 （

5、1）证明：；（2）在线段 上是否存在点，使得 平面?若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由（3）若 与平面 所成的角为 45，求二面角 的余弦值 16.如图，直三棱柱 111 中，=，1=，为 1 的中点，为 1 上的一点，=31 （1）证明：为异面直线 1 与 的公垂线；（2）设异面直线 1 与 的夹角为 45，求二面角 1 1 1 的大小 17.已知在四棱锥 中，=2=2，分别为，的中点 （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若 =，求二面角 的大小 18.如图，在直三棱柱 111 中，=4，=3，为 的中点 （1）求异面直线 1 和 的距离；（2）若 1 1，求二面角 1 1 的

6、平面角的余弦值 19.如图 1，在等腰梯形 中，=12=2 =60，为 中点，点，分别为，的中点，将 沿 折起到 1 的位置，使得平面 1 平面（如图 2）非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语 （1）求证：1 （2）求直线 1 与平面 1 所成角的正弦值（3）侧棱 1 上是否存在点，使得 平面 1，若存在，求处 11 的值，若不存在，说明理由 20.在正三角形 中，分别是，边上的点，满足:=:=:=1:2（如图 1）将 沿 折起到 1 的位置，使二面角 1 成直二面角，连接 1，1（如图 2）（1）求证：1 平面；（2）求直线

7、1 与平面 1 所成角的大小；（3）求二面角 1 的余弦值 21.如图，四面体 中，是 的中点，和 均为等边三角形，=2，=6 （1）求证：平面；（2）求二面角 的余弦值；（3）求 点到平面 的距离 22.如图，已知 平面，=4，=2，为等边三角形 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备（1）求证：平面 平面（2）求 二面角 的平面角的余弦值 23.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 1 的菱形，=4，底面，=2，为 的中点，为 的中点，以 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1）证明：直线 平面；（2）求异面直线

8、 与 所成角的大小；（3）求点 到平面 的距离 24.如图，已知边长为 4 的菱形 中，=，=60将菱形 沿对角线 折起得到三棱锥 ，设二面角 的大小为 （1）当 =90 时，求异面直线 与 所成角的余弦值；（2）当 =60 时，求直线 与平面 所成角的正弦值 25.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，平面 平面，=，=，=90 （1）求异面直线 与 所成角的大小；（2）求二面角 的余弦值 万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文答案 第一部分 1.（1）由正方体可得 1 平面，平面11，平面 的一个法向量为 1，平面 11 的一个法向量为；连接，1，

9、得 平面11，平面 11 的一个法向量为 （2）如图，建立空间直角坐标系 ，可得 1(0,0,2)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)1=(0,0,2)，=(0,2,0)，=(2,2,0)2.以，1 为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 1(0,0,1)，1(1,1,1)，(0,1,0)，设平面 11 的法向量为 =(,)，则 11=0，1=0，解得 =(1,1,1)，=(1,1,0)，所以 与平面 11 所成角 cos=223=63 所以 与平面 11 所成角的余弦值是 33 3.因为 cos,=12，,0,，所以 ,=23 所以 1 和 2 所成的角为 3

10、 4.（1）证法一：连接，由已知 =90，=，三棱柱 为直三棱柱，所以 为 中点 又因为 为 的中点，所以 又 平面，平面，因此 平面 证法二：取 中点，连接，因为，分别为 与 的中点，所以，所以 平面，平面，又 =，因此平面 平面，而 平面因此 平面 （2）解法一：连接，如图，其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语谋事在人，成事在天！增广贤文 由题意得 ，所以 平面 又 =12=1，故=12=12=16.解法二：=12=16.5.（1）如图，取 中点，连接,=，又 侧面 底面，底面 又 =，=为直角三角形 （2）如图，取 的中点，连接,，则有 万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹忍一句

11、，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文=12=3,=12(23)2+(23)2=6,=2 2=3,由（1）有 平面，再结合 =，可知 .平面 平面，又 =3 是等腰直角三角形，取 的中点，连接,，则 ,又 平面 平面，且交线是，平面 即为 与平面 所成的角 =12=1232(3)2=62,=6,sin=12，=6，故 与平面 所成的角为 6 6.（1）法一：如图，过 作 ，垂足为，连，由 可证出 ，所以 =2，即 又 ，因此 面，又 面，所以 法二：由题意，以 为坐标原点，在平面 内过 作垂直 的直线为 轴，所在直线为 轴，在平面 内过 作垂直 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 以家为家

12、，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟 易得(0,0,0),(0,1,3),(3,1,0),(0,2,0),因而 (0,12,32),(32,12,0),所以=(32,0,32),=(0,2,0),因此 =0，从而 ，所以 （2）法一：在图中，过 作 ，垂足为，连，由平面 平面，从而 平面，所以 又 ，所以 平面，从而 .因此 为二面角 的平面角；在 中，可得 =12=12 cos30=32,由 知 =34,因此 tan=2,从而 sin=255,即二面角 的正弦值为 255 法二：在图中，平面 的一个法向量为 1=(0,0,1)，设平面 的法向量 2

13、=(,)，又=(32,12,0),=(0,12,32),由 2 =0,2 =0,得其中一个 天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗2=(1,3,1),设二面角 的大小为，且由题意知 为锐角，则 cos=cos1,2=1 21 2=15,因 sin=25=255,即二面角 的正弦值为 255 7.（1）由条件知 为直角梯形 平面，平面 平面，交线为 又四边形 为正方形，平面，可得 在直角梯形 中可得 =22,则 所以 平面 （2）设 =由题设知 为棱锥 的高，所以棱锥 的体积 1=133.由（1）知 为棱锥 的高，而 =2，的面积为

14、222，所以棱锥 的体积 2=133.故棱锥 的体积与棱锥 的体积比值为 1 8.（1）如图 1 中，因为=，所以 又因为 =90，从而 在图 2 中，云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫人不知而不愠，不亦君子乎？论语 因 是直二面角，故 底面，从而 而 ，故 为异面直线 与 的公垂线 下面求 之长在图 1 中，由=2,得=23.又已知 =3，从而=32=92,=2 2=(152)2(92)2=6.因=13，故 =2.即异面直线 与 的距离为 2 （2）方法一：在图 2中，过 作 ，交 的延长线于，连接 由（1）知，底面，由三垂线定理知 ，故 为二面角 的平面角 在底面 中，=，所以=2,=

15、13152=52,因此 sin=45.从而在 Rt 中，=3,=sin=sin=125.在 Rt ，中 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传=4,tan=53.因此所求二面角 的大小为 arctan53 方法二：如图 3，由（1）知，以 点为坐标原点，,的方向为,轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,0,4),(2,92,0),(0,3,0).所以=(2,32,0),=(0,0,4),过 作 ，交 的延长线于，连接 设(0,0,0)，从而=(0,0,0),=(0,0 3,0)

16、,由 ，有 =0,即 20+320=0,又由，得 02=0 332,联立、，解得 0=3625,0=4825,即(3625,4825,0),得=(3625,4825,4),因为 以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传=(3625)(2)+4825(32)=0,故 ，又因 ，所以 为所求的二面角 的平面角 因=(3625,4825,0)，有=(3625)2+(4825)2=125,=4,所以 tan=53.因此所求二面角 的大小为 arctan53 9.（1）连接 1 交 1 于，可得 1，又 面1，1

17、 面1，所以 1平面1 （2）直棱柱 111 中，1 面，所以 1，又 ，1 =，所以 面1，所以三棱锥 1 可以把面 1 作为底面，高就是 =2，底面 1 的面积为 42 2 22 2=322，所以三棱锥 1 的体积为 322 2 13=1 10.（1）因为，分别为棱，的中点，所以 又 平面，平面，所以 平面 如图建立空间直角坐标系，先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易则(2,0,0)，(0,2,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(22,22,0)，(22,22,0)，(0,22,22)设平面 的法向量为 =(

18、,)，=(0,2,0)，=(22,0,22)，可得 =(1,0,1)，所以点 到平面 的距离为 =12 即直线 到平面 的距离为 12 （2）因为=(322,22,0)，所以点 到平面 的距离为 =32 11.如图，设球面的半径为，是 的外心，外接圆半径为，则 面 在 Rt 中，cos=26=13，则 sin=223，在 中，由正弦定理得 6sin=2，=924，即 =924 在 Rt 中，由题意得 2142=81216，得 =362 球的表面积 =42=4964=54 球的体积为 43(362)3=276 12.（1）1 平面，1 平面 11，故平面 11 平面 又 ，所以 平面 11 如图

19、，连接 1，因为侧面 11 为菱形，故 1 1，由 平面 11 知 1，而 1 =，故可得 1 面1，所以 1 1 （2）平面 11，平面 11，故平面 11 平面 11 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮作 1 1，为垂足，则 1 平面 11 又直线 1 平面 11，因而 1 为直线 1 与平面 11 的距离，1=3 因为 1 为 1 的角平分线，故 1=1=3 作 ，为垂足，连接 1，由题可知 1 面，所以 1 因此，可知 面1，因此 1 ，故 1 为二面角 1 的平面角 由 =12 12=1,得 为 的中点，=12 =55,所以

20、tan1=1=15,所以二面角 1 的大小为 arctan15 13.（1）如图，取 中点，连接，因为 为 中点，所以 为 中位线，所以 且 =12=，所以四边形 为平行四边形，因为 平面，平面，所以 平面 （2）连接,因为 =，=，而 为 中点，故 ，所以 为二面角 的平面角 在 中，由 =2,=5,可解得 =2.中，由 =2,可解得 =1.在三角形 中，=2，=1，=60，由余弦定理，可解得 志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备=3,从而 =90，即 ，又，从而 ，因此 平面 又 平面，所以平面 平面；连接，由 知 平面 所以 为直线 与平面 所成的角，

21、由 =3,=5,=2,得 为直角，而 =12=32,可得 =112，故 =112又 =1，故在 Rt 中，可得 sin=21111.所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 21111 14.（1）由 =，的中点为，所以 如图，以 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)，(1,0,0)，1(0,0,2)，(0,2,0)，(2,1,0)，1(1,0,2)，1(2,1,2)，(0,1,0)1=(0,2,2)，=(2,0,0)，因为 1=(0,2,2)(2,0,0)=0+0+0=0，所以 1 ，即 1 与 所成的角为 2 （2）设平面 1 与平面 1 所成的角为，平面 1 的法向量为 =(1

22、,1,1)，平面 1 的法向量为 =(2,2,1)1=(1,0,2)，1=(2,1,2)，=(0,2,0)由 1=0,=0,得 1 2=0,21=0,解得 1=2,1=0,所以 =(2,0,1)，同理可得 =(1,0,1)，设的夹角为，则 cos=2+152=1010，由图知 cos=cos=1010，所以二面角 1 1（锐角）的余弦值为 1010 15.（1）平面，=90，=1，=2，建立如图所示的空间直角坐标系 ，人不知而不愠，不亦君子乎？论语以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民 则(0,0,0)，(1,0,0)，(1,1,0)，(0,2,0)不妨令(0,0,)，=(1,1

23、,)，=(1,1,0)，=1 1+1 (1)+()0=0，即 （2）如图所示，设平面 的法向量为 =(,)，由 =0,=0,得 +=0,=0.令 =1，得 =2，所以 =(2,2,1)设 点坐标为(0,0,)(0 )，(12,0,0)，则=(12,0,)要使 平面，只需 =0，即(12)2+0 2+1 =4=0，得 =14,从而满足 =14 的点 即为所求 （3）平面，是平面 的法向量，易得=(1,0,0)，又 平面，是 与平面 所成的角，得 =45，=1，平面 的法向量为 =(12,12,1)，所以 cos,=1214+14+1=66,因为所求二面角为锐角，故所求二面角 的余弦值为 66 1

24、6.（1）法一：如图，连接 1，记 1 与 1 的交点为 百学须先立志。朱熹海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 因为面 11 为正方形，故 1 1，且 =1 又 =31，所以 =1，又 为 1 的中点，故，1 作 ，为垂足，由 =知，为 中点 又由底面 面11，得 面11 连接，则 1，故 ，易得 所以 为异面直线 1 与 的公垂线 法二：以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴，射线 1 为 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 =2，则(2,0,0),1(0,2,0),(0,1,0),(12,32,0).又设(1,0,)，则=(12,12,0),1=(2,2,0),=(1,1,

25、).于是 1=0，=0，故 1，所以 为异面直线 1 与 的公垂线 （2）解法一：因为 1，故 为异面直线 1 与 的夹角，=45 设 =2，则 1=22,=2,=2,=3.如图，作 1 11，为垂足因为底面 111 面11，故 1 面11，又作 1，为垂足，连接 1，易得 1 1，因此 1 为二面角 1 1 1 的平面角 又 1=11112(1211)211=223,1=112 12=33,1=22+(3)2=7,=1 11=2337,所以 tan1=1=14，所以二面角 1 1 1 的大小为 arctan14 解法二：因为 1,等于异面直线 1 与 的夹角，故 1=1cos45,我尽一杯，

26、与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武即 22 2+2 22=4,解得 =2，故=(1,0,2)又 1=1=(0,2,0)，所以 1=+1=(1,2,2).设平面 11 的法向量为 =(,)，则 1=0,1=0,即 +2+2=0,2=0.令 =2，则 =1,=0，故 =(2,0,1)设平面 11 的法向量为 =(,)，则 1=0,1=0,即 +2+2=0,2 2=0.令 =2，则 =2,=1，故 =(2,2,1)所以 cos,=115.由于 ,等于二面角 1 1 1 的平面角，所以二面角

27、 1 1 1 的大小为 arccos1515 17.（1）因为 =，为 中点，所以 ，又，得 ，因为，都在平面 内，且 =，所以 平面 （2）连接 交 于点，连接，因为 平行且等于，所以 为 中点，又 为 中点，所以，因为 平面，平面，所以 平面；（3）取 中点，连接，志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐 若 =，设 =2，则 =，=3，所以 2+2=2，所以 又 ，=，所以 面，所以 又，所以 又 ，所以 即为所求二面角的平面角 因为，而 =60，所以 =60 18.（1）因为 =，为 的中点，故 又在直三棱柱中，1 平面，故 1，所以异面直线

28、1 和 的距离为 =2 2=5 （2）由 ，1，1=，故 平面 11，从而 1，1，故 11 为所求的二面角 1 1 的平面角 因为 1 是 1 在平面 11 上的射影，又已知 1 1，由三垂线定理的逆定理得 1 1，从而 11，1 都与 1 互余，因此 11=1,所以 Rt 1Rt 11因此 1=111,得 12=11=8,从而 1=12+2=23,1=1=23,所以在 11 中，由余弦定理得 cos11=12+12 1122 1 1=13.19.（1）如图 1，在等腰梯形 中，由，=12=2，=60，为 中点，所以 为等边三角形，如图 2，因为 为 的中点，所以 1 ，又因为平面 1 平面

29、，其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟且平面 1 平面 =，所以 1 平面，所以 1 （2）连接，由已知得 =，又 为 的中点，所以 ，由(1)知 1 平面，所以 1 ，1 所以 1，两两垂直，以 为原点，1 分别为，轴建立空间直角坐标系（如图）因为 =2，易知 1=3，所以 1(0,0,3)，(1,0,0)，(0,3,0)，(1,0,0)，所以 1=(1,0,3)，1=(0,3,3)，1=(1,0,3)，设平面 1 的一个法向量为 =(,)，由 1=0,1=0,得 3 3=0,3=0,即 =0,+3=0,取 =1，得 =(3,1,1)，设直线 1 与

30、平面 1 所成角为 ，则 sin=cos1,=3 32 5=35=155,所以直线 1 与平面 1 所成角的正弦值为 155 （3）假设在侧棱 1 上存在点，使得 平面 1，设 1=1，0,1，因为=1+1=1+1，所以=(1,0,3)+(0,3,3)=(1,3,3 3)，易证四边形 为菱形，且 ，又由问题(1)可知，1 ，所以 平面 1，所以=(1,3,0)为平面 1 的一个法向量，由 =(1,3,3 3)(1,3,0)=1 3=0，得 =13(0,1)所以侧棱 1 上存在点，使得 平面 1，且 11=13 20.（1）在图 1 中，取 的中点，连接 志不强者智不达，言不信者行不果。墨翟其身

31、正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语 因为:=:=1:2，所以 =2，而 =60，所以 是正三角形，又 =1，所以 ，在图 2 中，1 ，所以 1 为二面角 1 的平面角 由题设条件知此二面角为直二面角，所以 1 又 =，所以 1 平面，即 1 平面 （2）建立分别以，1 为 轴，轴，轴的空间直角坐标系，则(0,0,0)，1(0,0,1)，(2,0,0)，(0,3,0)，(1,3,0)，则 1=(0,0,1)，1=(2,0,1)，=(1,3,0)设平面 1 的法向量 1=(1,1,1)，由 1 平面 知，1 ，1 ，即 21 1=0,1+31=0,令 1=3，得 1=1，1=23，1=(3,

32、1,23)cos,1=1 1=3 0+1 0+23 (1)3+1+12 0+0+1=32,所以直线 1 与平面 1 所成的角为 60 （3）=(0,3,1)，=(1,0,0)，设平面 的法向量为 2=(2,2,2)由 2 平面 知，2 ，2 ，即 22=0,32 2=0,令 2=1，得 2=0，2=3，2=(0,1,3)cos1,2=1 2 1 2=3 0+1 1+23 33+1+12 0+1+3=78,所以二面角 1 的余弦值是 78 21.（1）连接，因为 为等边三角形，为 的中点，所以 ，因为 和 为等边三角形，为 的中点，=2，=6，所以 =3 在 中，因为 2+2=2，所以 =90，

33、即 ，因为 =，面 （2）解法一：过 作 于，连接，其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 因为 平面，所以 在平面 上的射影为，所以 ，所以 为二面角 的平面角 在 Rt 中，=3，=32，tan=2，cos=55，所以二面角 的余弦值为 55 解法二：以 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)，(0,0,3)，(0,1,0)，(3,0,0)，(0,1,0)，因为 平面，所以平面 的法向量=(0,0,3)设平面 的法向量 =(,)，=(0,1,3)，=(3,1,0)由 =0,=0,3=0,3 =0,=(1,3,1).设 与

34、夹角为，则 cos=55,所以二面角 的余弦值为 55 （3）解法一：设点 到平面 的距离为，因为=，所以 13 =13 在 中，=2，=6，所以=12 6 22(62)2=152 而 =3,=32，所以 =155，所以点 到平面 的距离为 155，解法二：忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行设平面 的法向量为 =(,)，又=(0,1,3)，=(3,1,0)，=0,+3=0,3+=0,=(1,3,1).设 与 夹角为，则 cos=55,设 到平面 的距离为，因为=55 =155，所以 到平面 的距离为 155 22.（1）证法 1

35、：如图，取 的中点，的中点，连接，所以 =12，因为 =12，所以，=所以四边形 是平行四边形，所以 因为 平面，所以 因为 ，=，所以 平面 因为，所以 平面 因为 面，所以 平面 平面 证法 2：如图，可证得 是 二面角 的平面角 在 中，计算可得：=22，=23，=25，满足 2=2+2，故 =2，以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中所以 平面 平面 （2）方法 1：如图，过点 作 于点，过点 作 于点，由 ，可得 平面，平面 平面 从而 平面，由此可得 平面，即 就是 二面角 的平面角 因为 =

36、3，=2305，=355，所以 cos=64，即 二面角 的平面角的余弦值为 64 方法 2：如图，过 中点 作 于点，连接，可证得 就是 二面角 的平面角 在 中，计算可得：=22，=2305，=855 故 cos=64，即 二面角 的平面角的余弦值为 64 方法 3：如图，作 于点，平面，=，平面 以，所在的直线分别为 轴、轴，为坐标原点建立空间直角坐标系，人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。顾炎武先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹 则(0,2,4)，(0,2,0)，(0,2,2)，(23,0,0)于是=(23,2,2)，=(23,2,4)，=(2

37、 3,2,0)设平面 的法向量为 1=(1,1,1)，则 31 1+21=0,31+1+1=0.取 1=2，则 1=(3,1,2)，设平面 的法向为 2=(2,2,2)，则 32+2=0,32+2+2=0.取 2=1，则 2=(1,3,23)cos1 2=33+43816=64，即二面角 的平面角的余弦值为 64 23.（1）作 于点，如图，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系 则(0,0,0)，(1,0,0)，(0,22,0)，(22,22,0)，(0,0,2)，(0,0,1)，(1 24,24,0)，=(1 24,24,1)，=(0,22,2)，=(22,22,2)设平面 的法向量为

38、=(,)，则 =0，=0，即 22 2=0,22+22 2=0.取 =2，解得 =(0,4,2)=(1 24,24,1)(0,4,2)=0，以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 平面 （2）设 与 所成角为，=(1,0,0)，=(22,22,1)，cos=12，=3，与 所成角的大小为 3 （3）设点 到平面 的距离为，则 为 在向量 =(0,4,2)上的投影的绝对值，由=(1,0,2)，得 =23，所以点 到平面 的距离为 23 24.（1）方法一：由题意可知二面角 的平面角为，即 =当 =90

39、 时，即 =90，分别取，的中点，连接，为异面直线 与 所成的角或其补角，在 中，=2，=2，=6，cos=14，即异面直线 与 所成角的余弦值为 14 方法二：如图建立空间直角坐标系 ，由题意可知(2,0,0),(0,0,23),(0,23,0),(2,0,0)，=(2,0,23),=(2,23,0)，cos,=14，即异面直线 与 所成角的余弦值为 14 （2）方法一：当 =60 时，即 =60，由题意可知 平面，为等边三角形，海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。林则徐大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中取 的中点，则有 平面，且 =3，=，即 13 =13 （其中 为点

40、到平面 的距离），=121313，即直线 与平面 所成角的正弦值 31313 方法二：如图建立空间直角坐标系 ，题意可知(2,0,0)，(0,3,3)，(0,23,0)，(2,0,0)，=(2,3,3)，=(2,23,0)，=(2,2 3,0)设平面 的法向量为 =(,)，=2+3+3=0,=2+23=0,即可得 =(3,3,1)，设直线 与平面 所成的角为 则 sin=31313，即直线 与平面 所成角的正弦值 31313 25.（1）设 的中点为，连接，因为 =，=，所以 ，同理 又平面 平面，平面 平面=，所以 平面，由题意，2=22=22，所以 =不妨设 =，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，则(0,0,)，(0,0)，(,2,0)，(,0,0)，(0,0)云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫谋事在人，成事在天！增广贤文 所以=(0,)，=(,0)，因为 cos,=222=12，所以 与 的夹角为 120，所以异面直线 与 所成角为 60 （2）设平面 的法向量为 1=(,)，因为=(0,)，=(,3,0)，所以 1 =0，1 =0，所以 =且 =3，取 =1，得 =3，所以平面 的一个法向量为 1=(3,1,1)又平面 的一个法向量为 2=(1,0,0)，设二面角 的平面角为，由 cos=1212=311=31111，知二面角 的余弦值为 31111