空间向量例题更新.pdf

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1、忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗空间向量在立体几何解题中的应用 一、空间向量的基础知识 1.向量的直角坐标运算 设ar=(a1，a2，a3)，br=(b1，b2，b3)，则 arbr=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；arbr=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；arbr=a1b1+a2b2+a3b3，arbra1=b1，a2=b2，a3=b3(R)或312123aaabbb，arbra1b1+a2b2+a3b3=0 2.夹角和距离公式 332211232221,cos;babababababaaaaa 夹角公式 cos=1 1

2、2 23 3222222123123a ba ba baaabbb 距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|ABuuu r|=222212121()()()xxyyzz 向量与坐标关系，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则),(121212zzyyxxAB M为中点时得中点坐标：x=122xx，y=122yy，z=122zz 即（122xx，122yy，122zz）由中点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心的公式：x=1233xxx，y=1233yyy，z=1233zzz 即（1233xxx，

3、1233yyy，1233zzz）3平面法向量的概念和求法 向量与平面垂直：如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n 平面的法向量：如果n，那么向量n叫做平面的法向量 一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题 推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n=(x，y，z)或n=(x，y，1)或n=(x，1，z)，或n=(1，y，z)，在平面内任选定两个不共线的向量a，b由n，得na=0 且nb=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得

4、到n 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文例 1在棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量n和单位法向量n0 解：建立空间直角坐标系，如图 1，则 D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，设n面A1C1D，n=(x，y，z)得n1DAuuu u r，n1DCuuuu r 又1DAuuu u r=(1，0，1)，1DCuuuu r=(0，1，1)zyzxzyzxDCnDAn00;0011得，令 z=1 11xy n=(1，1，1)，n0=nn=(1,1,1)333(,)3331 1 1 二、空间向量在立体几

5、何解题中的应用(一)空间角 1异面直线所成的角 设点A，B直线a，C，D直线b，构造向量ABuuu r，CDuuu rcos=|AB CDAB CDuuu ruuu ruuu ruuu r，所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角 例 2在例 1 中，设ACBD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值 解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，1(0，0，1)，C1(0，1，1)，(1，0，0),C(0，1，0),则 0(12,12,0)1DOuuuu r=(12，12，1)，1DCuuuu r=(0，1，1)cos=11111326|322D ODCD

6、ODCuuuu ruuuu ruuuu ruuuu r，异面直线D1O，DC1所成的角余弦值为36 2线面所成的角 如图，AB为平面的斜线，n为平面的法向量，如果ABuuu r与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与z A1 y x A C1 B C D1 B1 D 图 1 z A1 y x A C1 B C D1 B1 D 图 1 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖平面之间所成的角=2即利用向量ABuuu r与n求出的是角，实际上所求的角是 若为锐角，则=2，sin=cos；若为钝角，则=2()=2，sin=c

7、os 总之有，sin=|cos|=nABnAB 例 3.在例 1 中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，求A1D与平面EFBD所成的角 解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，1(0，0，1)，B(1，1，0)C1(0，1，1)，B1(1，1，1),则 E(0，12，1)，F(12，1，1)，设 n面EFBD，n=(x，y，z)，得nDBuuu r，nDEuuu r 又DBuuu r=(1，1，0)，DEuuu r=(0，12，1)yzyxzyyxDEnDBn210210;00得，令 y=2 12zx n=(2，2，1)，又1DAuuu u r=(1，0，1)，sin=

8、11|322|2 3DADAuuu u rruuu u rrnn 即=4则所求的A1D与平面EFBD所成的角为4 3 二面角的求法：二面角l，平面的法向量m，平面的法向量n 则二面角l的平面角=所以，cos=nmnm 若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角 n B A z x B A1 y E F B1 C1 D1 D C A 图 2 l mn百学须先立志。朱熹古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼故在所求的二面角的平面角时，

9、先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角 例 4.在例 1 中，求二面角D1ACD的大小的余弦值 解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，1(0，0，1)，A(1，0，0),C(0,1,0)1n面ACD1，n=(x，y，z)，得1nAC，1n1AD 又AC（1,1,0），1AD（,0,1）xzxyzxyxADnACn00;00111得；令1n=(1，1，1)，由已知可易得平面DAC的法向量是2n=(0，0，1)，cos,=1212(1,1,1)(0,0,1)33|3rrrrnnnn，由图知所求的角为锐角，则所求的余弦值为33 练习 1：如图，在长方体 ABCD-A1B1

10、C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M 为 B1C1上一点，且 B1M=2，点 N在线段 A1D 上，且)516,58,0(N，求：1)求直线 A1D 与 AM 所成角的余弦值；2)直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切；3)平面 ANM 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值.一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文百学须先立志。朱熹 (二)空间距离 1点到面的距离 设A是平面外一点，AB是的一条斜线，交平面于点B，而n是平面 的法向量，那么向量BAuu u r在n方向上的正射影长就是点A到平面的距离为d 所以d=|cos,|BABABAuuu rruuu ruuu r rrn

11、nn 例 5.例 1 中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离 解：如图建立空间直角坐标系 D-AC1，D(0，0，0)，C(0，1，0),B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，则H(0，12，0)，G(1，12，1)，A(1，0，0)，设n面AGG1H，则nAGuuu r，nAHuuur 令n=(x，y，z)，则AGuuu r=(0，12，1)，AHuuur=(1，12，0)有：nAGuuu r=0，nAHuuur=0，22121021021yyxyzyxzy令 n=(1，2，-1)，又ABuuu r=(0，1，0)，所以点B到截面AGC1H的距离为 d=263

12、|16AB nABuuu rruuu rrn故所求距离为36 练习 2：在例 1 中，求点A1到平面ACD1的距离 点到面的距离 线到面的距离 线到线的距离 面到面的距离 A B d nz A1 y x A C1 B C D1 B1 D 图 1 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文A B C D n a b 图 3 A B C D O S x y z 图 4 2异面直线间的距离 如图 3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点 令向量na，nb，则nCDuuu r ABuuu r=ACuuu r+CDuuu r

13、+DBuuu r，ABuuu rn=ACuuu rn+CDuuu rn+DBuuu rn，ABuuu rn=CDuuu rn，|ABuuu rn|=|CDuuu r|n|，|CDuuu r|=|ABuuu rrrnn 两异面直线a、b间的距离为：d=|ABuuu rrrnn 其中n与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点 例 6在例 1 中，求直线DA1和AC间的距离 解：ACuuu r=(1，1，0)，1DAuuu u r=(1，0，1)设DA1和AC公垂线段上的向量为n=(x，y，z)，由100ACDAruuu rruuu u rnn，即100 xxzxyz

14、xyx令 可取n=(1，1，1)，又1AAuuur=(0，0，1)，所以点A到平面A1C1D的距离为d=1|33|AAuuurrrnn，即直线DA1和AC间的距离为33 练习 3如图 4，正四棱锥SABCD的高SO=2，底边长AB=2，求异面直线BD和SC之间的距离 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗穷则独善其身，达则兼善天下。孟子 3线面距离 直线a与平面平行时，直线上任意一点A到平面的距离就是直线a与平面之间的距离其求法与点到面的距离求法相同 4平面与平面间的距离 平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离其求法与点到面的距离求法相同 1）用法

15、向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题 2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题 例 8在例 1 中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，(1)求证：平面A1PQ平面B1RC；(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离 解：(1)由前面例题知11ACuuuu r=(1，1，0)，1BCuuur=(1，0，1)，1ADuuuu r=(1，0，1)，1B Auuur=(0，1，1)，设111APACuuuruuu

16、u r，11AQADuuuruuuu r，11B RB Auuuruuur(、R，且均不为 0)设1nur、2nuu r分别是平面A1PQ与平面B1RC的法向量，由111100APAQruuurruuurnn即1111100ACADruuuu rruuuu rnn即1111100ACADruuuu rruuuu rnn，可解得：1nur=(1，1，1)，由221100B RnBCruuurruuurn即212100B ABCruuurruuurnn即221100B ABCruuurruuurnn，可解得2nuu r=(1，1，1)，所以1nur=2nuu r，1nur2nuu r，所以平面A1

17、PQ平面B1RC 如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n2nuu r1n2nuu r=0 来证明 (2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，1DAuuu u r=(1，0，1)，1DCuuuu r=(0，0，1)，ADuuu r=(1，0，0)，设平面A1C1D的一个法向量nr=(x，y，1)，Q y P R x z D1 C1 B1 A1 C D B A 一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文人不知而不愠，不亦君子乎？论语则1100DADCruuuu rruuuu rnn，即(,1)(1,0,1)0(,1)(0,1,1)0

18、xyxy11xy ，nr=(-1，-1，1)平面AB1C与平面A1C1D间的距离d=222(1,0,0)(1,1,1)|33|(1)(1)1ADuuu rrr nn 将平面AB1C与平面A1C1D间的距离转化成点A到平面A1C1D的距离 例 9.已知斜三棱柱111ABCABC，90BCAo，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC。（I）求证：1AC 平面1ABC；（II）求1CC到平面1A AB的距离 证明：（I）如图，取AB的中点E，则/DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又1AD 平面ABC，以1,DE DC DA为,x y z轴建立空间坐标系，则0,1,

19、0A，0,1,0C，2,1,0B，10,0,At，10,2,Ct，10,3,ACtuuuu r，12,1,BAt uuu r，2,0,0CB uuu r，由10AC CBuuur uuu r，知1ACCB，又11BAAC，从而1AC 平面1ABC；（II）由1ACuuuu r2130BAt uuu r，得3t。设平面1A AB的法向量为,nx y zr，10,1,3AA uuur，2,2,0AB uuu r，所以 130220nAAyznABxyruuurruuu r，设1z，则3,3,1n r 所以点1C到平面1A AB的距离1ACndnuuuu rrr2 217。(三)证明面面平行或面面垂

20、直；线面平行或线面垂直等 若两平面、的法向量分别为1nur、2nuu r，则(1)当1nur2nuu r=0 时，平面平面；(2)当1nur=2nuu r，即它们共线时，平面平面 若平面的一法向量为nr，直线AB在平面外，则 云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫解：由题设知，AD，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系A1DCA1，则 A(0，0，0)，B(3 32，32，0)，C(0，3，0)，D(33，0，0)，B1(3 32，32，3 32)，C1

21、(0，3，3 32)可求得平面AB1D的一个法向量为nr=(0，3，-1)直线BC1与平面AB1D之间的距离为 d=3 3 3|(0,3,1)(,0)|3 3224|(0,3,1)|ABruuu rrnn (2)平面ABD的一个法向量为1AAuuur=(0，0，3 32)，勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫cos=13 3|3 32|24AA uuurnn，二面角B1ADB的大小为 arccos3 34(3)取AB中点M(3 34，34，0)，则MCuuu u r=(-3 34，94，0)是平面ABB1的一个法向量，点C到平面ABB1的距离为 h=3 3

22、33 3 927|(,0)(,0)|2244427|3 3 9|(,0)|444BC MCMC uuu r uuu u ruuu u r=1，又SABB1=9 34，三棱锥C1ABB1的体积为3 34 一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语 例 10如图 8，已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=2a，M、N分别是AD、PB的中点 求证：平面MNC平面PBC 证明：建立空间直角坐标系DACP，则 P(0，0，a)，B(2a，a，0)，C(0，a，0)，M(22a，0，0)，N(22a，2a，2a)PBuuu r=(2a，a，-a

23、)，BCuuu r=(-2a，0，0)，NCuuu r=(22a，2a，-2a)，MCuuu u r=(-22a，a，0)，图 8 A B C D N P M 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼百学须先立志。朱熹以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 例 7长方体ABCDA1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；(2)二面角D1AED大小的余弦值；(3)异面直线B1E与D1F的距离 分析：

24、建立空间直角坐标系ABDA1，则(1)1D Fuuuu r=(2，0，-3)，1B Euuur=(0，2，-6)，z y x F C B E A A1 B1 C1 D1 D 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民 cos=1111189 130130|1340D F B ED FB Euuuu r uuuruuuu ruuur，异面直线D1F与B1E所成的角为 arccos9 130130 (2)显然平面AED的一个法向量为1AAuuur=(0，0，6)，设平面AED1的一个法向量为n=(x，y，1)，且nAEuuu r

25、，n1ADuuuu r，则100AEADuuuu ruuuuu rnn，AEuuu r=(2，2，0)，1ADuuuu r=(0，4，6)，(,1)(2,2,0)0(,1)(0,4,6)0 x yx y，220460 xyy，3232xy，n=(32，-32，1)cos=1162211|611/2AAAAuuuruuurnn，得=arccos2211 二面角D1AED的大小为 arccos2211(3)令向量m=(x，y，1)，且m1B Euuur，m1D Fuuuu r，则1100B ED Fuuuuu ruuuuurmm，(,1)(0,2,6)0(,1)(2,0,3)0 x yx y，26

26、0230yx，323xy，m=(32，3，1)异面直线B1E与D1F之间的距离为：d=3|(0,2,3)(,3,1)|91823|7/27|(,3,1)|2EFuuu rmm 大丈夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语 练习 1：如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M 为 B1C1上一点，且 B1M=2，点 N在线段 A1D 上，且)516,58,0(N，求：1)1cos,AD AMuuuu r uuuu r；2)直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切；3)平面 ANM 与平面

27、ABCD 所成角（锐角）的余弦值.良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫 解析：(1)以 A 为原点，AB、AD、AA1所在直线 为 x 轴，y 轴，z 轴.则 D(0,8,0)，A1(0，0，4)，M(5,2,4)4,8,0(1DA)4,2,5(AM 01 AMDA 0,cos1AMDA (2)由(1)知 A1DAM，又由已知 A1DAN，DA1平面 AMN，垂足为 N.因此 AD 与平面 ANM 所成的角即是.DAN 1tantan2DANAA D (3)1AA平面 ABCD，A1N平面 AMN，11NAAA和分别成为平面 A

28、BCD 和平面 AMN 的法向量。设平面 AMN 与平面 ABCD 所成的角（锐角）为，则 11115coscos,coscos5AA NAAA NAADuuur uuur P B C A 忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H.已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.（1）求异面直线AF与BG所成的角的大小；（2）求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.解 由题

29、意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz 由平面几何知识知：AD4,D(0,4,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1)(1)AF(1,0,1),BG(1,1,1)云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫谋事在人，成事在天！增广贤文A B C D O S x y z 图 4 AFBG0，AF与BG所成角为2 .(2)可证明AD平面APB，平面APB的法向量为n(0,1,0)设平面CPD的法向量为m(1，y，z)由 y1z2 故m(1,1,2)cosmn|m|n|66 平面APB与平面CPD所成的锐二面

30、角的大小为 arccos66.练习 2：在例 1 中，求点A1到平面ACD1的距离 解析：平面ACD1的单位法向量n0=(33，33，33)，又1AAuuur=(0，0，1)，设点A1到平面ACD1的距离为d，则 d=|1AAuuurn0|=|(0，0，1)(33，33，33)|=33 所以，点A1到平面ACD1的距离为33 练习 3如图 4，正四棱锥SABCD的高SO=2，底边长AB=2，求异面直线BD和SC之间的距离 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 A(22，-22，0)，B(22，22，0)，天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语C(-22，22，0)，D(-22，-22，0)，S(0，0，2)DBuuu r=(2，2，0)，CSuu u r=(22，-22，2)令向量n=(x，y，1)，且nDBuuu r，nCSuu u r，则00DBCSuuuuruuuu rnn，(,1)(2,2,0)022(,1)(,2)022x yx y，02 20 xyxy，22xy，n=(-2，2，1)异面直线BD和SC之间的距离为：d=22222|(,0)(2,2,1)|1 1 0|2 522|5|(2,2,1)|(2)(2)1OC uuu rnn