2022年二次函数知识点总结与典型例题讲解 .docx

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1、精品_精品资料_二次函数学问点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,假如 yax 2bxca, b,c是常数, a0,那么 y 叫做 x 的二次函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yax2bxc a, b, c是常数, a0) 叫做二次函数的一般式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 x抛物线的主要特点：b2a 对称的曲线,这条曲线叫 抛物线.可编

2、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有开口方向.有对称轴.有顶点.3、二次函数图像的画法五点法：（1） 先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_画出对称轴（2） 求抛物线 yax2bxc 与坐标轴的交点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当抛物线与 x 轴有两个交点时, 描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称点 D.将这五个点按从左到右的次序连接起来,并向上或向下延长,就得到二次函数的图像.当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点

3、C 及对称点 D.由 C、M、D 三点可粗略的画出二次函数的草图.假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点 A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像.二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 一般式： yax2bxc a, b, c是常数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 顶点式： yaxh2ka,h, k是常数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） 当抛物线 yax2bxc

4、与 x 轴有交点时,即对应二次好方程ax 2bxc0 有实根 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和x2 存在时,依据二次三项式的分解因式ax2bxca xx1 xx2 ,二次函数 yax2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可转化为 两根式 ya xx1 xx2 .假如没有交点,就不能这样表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、二次函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、二次函数的性质函数yax2二次函数bxca,b,c是常

5、数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a0a0yy图像0x0x（ 1）抛物线开口向下,并向下无限延长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）对称轴是 x=b,顶点坐标是22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）抛物线开口向上,并向上无限延长.bb4ac（,b）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）对称轴是 x=,顶点坐标是2a2a4ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b4acb 2（,）.2 a4a（ 3）在对称轴的左侧,即当x时, y 随 x 的增大2 ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

6、资料_（ 3）在对称轴的左侧,即当x的增大而减小,简记左增右减.时, y 随 x2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大而减小.在对称轴的右侧,即当x随 x 的增大而增大,简记左减右增.b时, y2ab（ 4）抛物线有最高点,当x=时,2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b（ 4）抛物线有最低点,当x=时,2 a4 acb 2y 有最大值,y最大值4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 有最小值,y最小值4 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22、二次函数 yaxbxc

7、a, b, c是常数, a0 中,a、b、c 的含义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 表示开口方向： a 0 时,抛物线开口向上a 0 时,图像与 x 轴有两个交点. 当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0 时,图像与 x 轴没有交点.补充：1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法）如图：点 A 坐标为（ x1,y1）点 B 坐标为（ x2,y2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 AB 间的距离,即线段 AB 的长度为2x1x2y1y2y2AxB0可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数平移规律 （中考试题中,只占 3 分,但把握这个学问点,对提高答题速度有很大帮忙,可以大大节约做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）,即当 xb 时,2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y最值.4a假如自变量的取值范畴是 x1bxx24ac,那么,第一要看2bb是否在自变量取值范畴 x12 axx2内,如在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

9、此范畴内,就当 x=时, y最值.2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2如不在此范畴内,就需要考虑函数在x1xx2 范畴内的增减性,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在此 范畴内, y 随 x的增大而增大, 就当 xx2 时,y最大ax 2bx2c , 当 xx1 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y最小ax2bx1c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

10、欢迎下载精品_精品资料_12假如在此 范畴 内, y 随 x的增 大而减小, 就当 xx1 时,y最大ax2bx1c , 当 xx2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y最小ax 2bx 2c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知函数 y2x112x 51x3 x3,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,就 k 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A0B 1C 2D 3【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

11、2. 如图为抛物线y ax2bxc 的图像,A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点, 且 OA=OC=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就以下关系中正确选项Aab= 1B ab= 1C b2aD ac0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 B3. 二次函数yax2bxc的图象如下列图,就反比例函数ay与一次函数 ybxc 在同一坐标系中的x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大致图象是（）.【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 如图,已知二次函数 yx2bxc 的图象经过点（ 1, 0）,（1, 2）,当 y 随 x 的

12、增大而增大时, x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyx 2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1- 1 O1x（ 1,- 2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 在平面直角坐标系中, 将抛物线yx22 x3 围着它与 y 轴的交点旋转 180,所得抛物线的解析式 （ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.

13、y【答案】 Bx122B. y x124C. y x122D. y x124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已 知 二 次 函 数 yax 2bxc的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴 x1 , 给 出 下 列 结 果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ b 24 ac abc0 2ab0 abc0 abc0 ,就正确的结论是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCD【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 抛物线yax2bxc上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

14、精品资料_x 2 1012y04664从上表可知,以下说法中正确选项（填写序号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线与 x 轴的一个交点为（ 3,0）. 函数yax2bxc的最大值为 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线的对称轴是 x【答案】1 .在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 如图,在平面直角坐标系中, O 是坐标原点,点 A 的坐标是（ 2,4）,过点 A 作 ABy 轴,垂足为 B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连结 OA

15、(1) 求OAB 的面积.(2) 如抛物线 yx22 xc 经过点 A求 c 的值.将抛物线向下平移 m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括 OAB 的边界）,求 m 的取值范畴（直接写出答案即可） 解： 1 点 A 的坐标是（ 2, 4）,ABy 轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB=2,OB4, SOAB1ABOB1244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222把点 A 的坐标（ 2, 4）代入 yx22 xc ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 222 2c4 ,c4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

16、_22 yx2x4 x14 ,抛物线顶点 D 的坐标是 1,5,AB 的中点 E 的坐标是（ 1, 4）, OA 的中点 F 的坐标是（ 1, 2）,m 的取值范畴为 lm3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_49. 已知二次函数 y=1x 2+ 3x 的图像如图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（1） 求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标.（2） 将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别为A、B、C 三点,如 ACB=90,求此时抛物线的解析式.（3） 设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M,以 AB 为直径, D 为圆心作 D,

17、试判定直线 CM 与D的位置关系,并说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1）二次函数 y=-1 2 3的对称轴为 x=3, D（ 3, 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x +2x（2） ）设抛物线向上平移 h 个单位（ h 0）,就平移后的抛物线解析式为 y=-1 2 34x +2x+h2 ACB=90, OC =OAOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,就 h =- x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1、x2 是一元二次方程1 2 3-x+x+h =042的两个

18、根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2=-4h, h2=4h,h=4,抛物线的解析式为1 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=-4x +2x+4（3） ） CM 与D 相切,理由如下：连结 CD、CM,过点 C 作 CN DM 于点 D,如下图所示：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB 是 D 的直径, ACB=90,点 C 在D 上依据平移后的抛物线的解析式 y=-1 2325可得： OD=3,OC=4, DM =CD=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x +2x+ 44 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

19、品资料_CN=3,915CM=15CD=5,DM=25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MN=4, CM= 4 4 ,4 , CDM 是直角三角形且 DCM =90, CM 与D 相切10. 如图 10,在平面直角坐标系 xOy 中, AB 在 x 轴上, AB10,以 AB 为直径的 O与 y 轴正半轴交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2点 C,连接 BC,AC.CD 是 O的切线, AD CD 于点 D,tanCAD 1 ,抛物线 yax2bxc 过 A,B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 三点.（1） ）求证： CAD CAB.（2）

20、）求抛物线的解析式.判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上,并说明理由.（3） 在抛物线上是否存在一点 P,使四边形 PBCA 是直角梯形 .如存在,直接写出点 P 的坐标（不写求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解过程）.如不存在,请说明理由 .（1）证明：连接 OC. CD 是O的切线, OCCDAD CD, OCAD, OCA CAD OCOA, OCA CAB, CAD CAB（2） AB 是 O的直径, ACB90OCAB, CAB OCB, CAO BCO, OCOBOAOC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即OC 2OA OB tanCAOtanC

21、AD1 , OA 2OC2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 AB10, OC 22OC102OC ,OC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OC4,OA8,OB2 A（ 8,0）, B（ 2, 0）,C（ 0,4）2抛物线 yaxbxc 过 A,B,C 三点.c 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意得4a2b464a8b4a0,解之得0b14 , y321 x 23 x4 42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设直线 DC 交 x 轴于点 F,易证AOC ADC,ADAO8.可

22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OCAD, FOC FAD,O F AFO C AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 8BF55BF10, BF10 , F 16 , 0 33,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线 DC 的解析式为 ykxm ,就m 416 km33,即 k40m4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y3 x 44 由 y1 x 243 x421 x43 225 得4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点 E 的坐标为 E3, 25 将 E43, 25

23、代入直线 DC 的解析式 y43 x4 中,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右边34 3425左边.抛物线的顶点 E 在直线 CD 上4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 如下列图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形, BCAD,BAD= 90 ,BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点, A、B、D 三点的坐标分别是 A（-1,0）,B -1,2, D 3, 0,连接 DM ,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON,如抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1） ）求抛物线的解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载

24、精品_精品资料_（2） ）抛物线上是否存在点 P使得 PA= PC如存在,求出点 P 的坐标.如不存在请说明理由.（3） ）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点,当点 Q 在什么位置时有 QEQC 最大？并求出最大值.yNBMCEAODx图（ 1）解：由 题意可得 M（0,2）,N（-3, 2）a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_229a09ac3bc3bc,91解得： b3c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y=1 x21 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

25、93（2） ） PA= PC ,P 在 AC 的垂直平分线上,依 题意, AC 的垂直平分线经过 B（-1,2）,（ 1, 0）,这条直线为 y=x+1yx1y1 x21 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得：93x1332y1232 ,x2332y2232可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P1（ 332,232 ）,P2（ 332,232 ）（ 3） D 为 E 关于对称轴 x=15 对称, CD 所在的直线 y=x+3yQ=45,Q（-1 5, 4 5）QEQC 最大值为 CD=2222 = 22 个单位 /秒（3）（）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精

26、品_精品资料_9当 t时, 有最大值为2121 , 此时4P11 , 923 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 如图,抛物线y= 122x +bx2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A（一 1,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定 ABC的外形,证明你的结论.点Mm,0是x轴上的一个动点,当 CM+DM 的值最小时,求 m的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）点A（-1,0

27、）在抛物线 y= 1 x2 + bx-2上,21 -1 2 + b-1 2 = 0,解得b =322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_抛物线的解析式为 y= 1231231213 225 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x -x-2. y=x222-x-2 =22 x -3x- 4 =x- -228可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点 D 的坐标为 3 , - 25 .28（ 2）当 x = 0 时 y = -2,C（0,-2）,OC = 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 y = 0 时,1 x2- 322x-2 = 0,x1

28、 = -1, x2 = 4,B 4,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OA = 1, OB = 4, AB = 5.AB2 = 25,AC2 = OA2 + OC2 = 5,BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2. ABC 是直角三角形 .（3） ）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C,就 C（0,2）,OC=2,连接 CD 交 x 轴于点 M,依据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC + MD 的值最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线 CD 的解析式为 y = kx + n ,就n 23 kn225 ,解得 n = 2,k

29、841.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y41 x 122.当 y = 0 时,41 x2120 , x24. m244141可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13.（2022 浙江金华, 10 分）在平面直角坐标系中, 如图 1,将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC, 相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上,设抛物线 y=ax2+bx+ca0过矩形顶点 B、C.（1） ）当 n1 时,假如 a=1,试求 b 的值.（2） ）当 n2 时,如图 2,在矩形 OABC 上方

30、作一边长为 1 的正方形 EFMN,使 EF 在线段 CB 上,假如M, N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式.（3） ）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转,使得点 B 落到 x 轴的正半轴上,假如该抛物线同时经过原点O,试求出当 n=3 时 a 的值. 直接写出 a 关于 n 的关系式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyCDy= 1.1 厘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CBOAxMNCFEB OACBOxxA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 1图 2图 3y解：（ 1）由题意可知,抛物线对称轴为直线 x= 1 ,2Oxb1

31、,得 b= 1.2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设所求抛物线解析式为yax2bx1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由对称性可知抛物线经过点 B（2,1）和点 M（ 1 , 2）2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14a2b1,a4 ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112ab1.42解得3b8 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求抛物线解析式为 y4 x28 x1 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_33（ 3）当 n=3 时, OC=1,BC=3,BODx可编辑资料 - - -

32、 欢迎下载精品_精品资料_设所求抛物线解析式为yax2bx ,A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过 C 作 CDOB 于点 D,就 RtOCDRtCBD,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ODOC2CDBC1 ,设 OD=t,就 CD=3t,3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ODCD 2OC 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3t 2t 212 , t110 ,1010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C（ 1010, 310 ）,又 B（ 10 ,0）,10Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_把 B 、C 坐标代入抛物线解析式,得010a10b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3110解得:a=10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10ab.3101010n21 a.n可编辑资料 - - - 欢迎下载