11.1.1　三角形的边.docx

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1、11.1.1三角形的边三角形的边与角 第九讲三角形的边与角三角形是最基本的图形之一，是探讨其他困难图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有亲密的联系(如大角对大边、大边对大角等)，反映三角形的边与角关联的基本学问有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类探讨法，即用代数方法(方程、不等式)解几何计算题及简洁的证明题，按边或角对三角形进行分类熟识以下基本图形、并证明基本结论：(1)l2=3+4；(2)若BD、CO分别为ABC、ACB的平分线，则BOC

2、=90+A；(3)若BO、CO分别为DBC、ECB的平分线，则BOC=90A；(4)若BE、CE分别为ABC、ACD的平分线，则E=A 注：中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形态的不同，可能在三角内部、边上或外部代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何学问建立方程(组)、不等式(组)，将问题转化为解方程(组)或解不等式(组)例题求解【例1】在ABC中，三个内角的度数均为整数，且ABC，4C7A，则B的度数为(北京市竞赛题)思路点拨设Cx，依据题设条件及三角形内角和定理把A、B用x的代数式表示，建立关于x的不等式组【例2】以1995的质因数为边长的三角形

3、共有()A4个B7个C13个D60个(河南省竞赛题)思路点拨1995=35719，为做到计数的精确，可将三角形按边分类，留意三角形三边应满意的关系制约【例3】(1)如图，BE是ABD的平分线CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，若BDC=140，BGC=110，求A的大小(“希望杯”邀请赛试题)(2)在ABC中，A=50，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求BOC的度数(“东方航空杯”上海市竞赛题)思路点拨(1)运用凹边形的性质计算(2)由O不与B、C重合知，B、C均非直角，这样，ABC既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形，故应分两种状况探讨【例4】周长为30，各边长互不相等且都是整数

4、的三角形共有多少个?(2022年河南省竞赛题)思路点拨不妨设三角形三边为a、b、c，且abc，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口注如图，在凹四边ABCD中，BDC=ABC请读者证明解所探讨的问题的图形形态不惟一或几何固形位置关系不确定或与分类概念相关的命题时往往用到分类探讨法 【例5】(1)用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满意此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数(大原市竞赛题)(2)现有长为150cm的铁丝，要截成n(n2)小段，每段的长为不小于l的整数假如其中随意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，

5、此时有几种方法将该铁丝截成满意条件的n段(第17届江苏省竞赛题)思路点拨(1)设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、y、3x，综合运用题设条件及三角形边的关系等学问，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口(2)因n段之和为定值150，故欲n尽可能的大，必需每段的长度尽可能小，这样依题意可构造一个数列学力训练1若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是(2022年河南省竞赛题)2一条线段的长为a，若要使3al，4a+1，12a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是3如图，在ABC中，两条角平分线CD、BE相交于点F，A60，则DFE度 4如图，DC平分ADB，E

6、C平分AEB，若DAE，DBE，则DCE(用、表示)(山东省竞赛题)5若a、b、c为三角形的三边，则下列关系式中正确的是()ABCD(江苏省竞赛题)6ABC的内角A、B、C满意3A5B，3C2B，则这个三角形是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定7如图，ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，假如每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的全部内角之和为()A360B900C1260D1440(重庆市竞赛题) 8如图，在RtABC中，C90，A30，C的平分线与B的外角平分线交于E点，连结AE，则AEB是()A50B45C4

7、0D35(山东省竞赛题)9如图，已知31+2，求证：A+B+C+D18010如图，已知射线ox与射线oy相互垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，ABx、BAy的平分线交于C问：B、A在ox、oy上运动过程中，C的度数是否变更?若不变更，求出其值；若变更，说明理由 11已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形共有个12三角形的三个内角分别为、，且，=2，则的取值范围13已知ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b是最大边，则b的取值范围是14如图，E和D分别在ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分ACB和AED，若B70，D=40，则F的大小

8、是15已知ABC中，B=60，CA，且(C)2(A)2+(B)2，则ABC的形态是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定(“希望杯”邀请赛试题)16不等边三角形中，假如有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是()ABC1k2D17已知三角形的三边的长a、b、c都是整数，且abc，若b=7，则这样的三角形有()A14个B28个C21个D49个18假如三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形肯定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D直角或钝角三角形19如图，已知DM平分ADC，BM平分ABC，且A27，M33，

9、求C的度数 20不等边ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长(美国数学邀请赛试题)21将长度为2n(n为自然数，且n4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b，c)为三边的长，且满意abc的一个三角形(1)就n4，5，6的状况，分别写出全部满意题意的(a，b，c)；(2)有人依据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n4)时，对应(a，b，c)的个数肯定是n3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n12时的全部(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数；(3)试将n=12时全部满意题意的(a，b，c)，根据至少两种不同的标准进行分类(

10、河北省初中数学创新与学问应用竞赛试题)22阅读以下材料并填空平面上有n个点(n2)，且随意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成l0条直线(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数S发觉：(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1O条直线；(2)归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发觉：点的个数可连成直线条数21=S2=33=S3=46=S4=510=

11、S5=n(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线取第一个点以有n种取法，取其次个点B有(n1)种取法，所以一共可连成n(n1)条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=(4)结论：Sn=摸索究以下问题：平面上有n(n3)个点，随意三个点不在同始终线上，过随意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?(1)分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形(2)归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn,发觉：(填下表)点的个数可连成三角形个数345n (3)推理：(4)结论：(甘肃省中考题) 八年级数学上11.1与三角形有关的线段11

12、.1.1三角形的边学案新版新人教版 课题：11.1.1三角形的边【学习目标】1、知道三角形的概念及其表示方法；2、知道三角形的三边关系，能运用三角形的三边关系解决实际问题。【学习重点】三角形的三边关系。【学习难点】运用三角形的三边关系解决实际问题【学习过程】学问链接：1、通过阅读课本引言内容，你能从精致的画中找出三角形吗？ 2、一个三角形中有几条线段，几个特别点？ 合作与探究：一、自主学习1、阅读教材第2至第4页，用红笔对有关概念勾画并完成下列问题。（1）由不在_的三条线段_相接所组成的图形，叫做三角形。（2）“三角形”用符号_表示，如右下图，顶点是A、B、C的三角形，记做_，读作_。（3）如

13、何表示右图中三角形的边及角。2、三角形的分类：（1）按角分类： （2）按边分类： 3、找出自己的怀疑和要探讨的问题，打算在课堂上探讨质疑二、合作探究探究1：三角形的有关概念例1：如下图，点B、D、C、E在同始终线上，图中共有几个三角形？表示出这些三角形，并写出其中一个三角形的边和角。探究2：三角形三边的关系例2：随意画一个ABC，假设有一只小虫从点B动身到点C，它有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？ 结论：（1）三角形两边之和_第三边（2）三角形两边之差_第三边例3：用一条长为18cm的细绳围成等腰三角形。（1）假如腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰

14、三角形吗？为什么？ 随堂检测1、三角形是指（）A、由三条线段所组成的封闭图形B、由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形C、由在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形D、由三条线段首尾顺次相接所组成的图形2、如图1，三角形的个数有（）A、4个B、6个C、8个D、3个 2、如图2中有几个三角形？用符号表示这些三角形。 3、长为10、7、5、3的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 拓展提高1、下面各组数中不能构成三角形的一组数是（）A、0.2，0.6，0.7B、5k，7k，10k（k0）C、6，5，10D、1，1，332、三角形的三边长分别是3，1-2，8，则的取

15、值范围是（） 3、一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其它两边的长。教（学）后反思：_（实际运用课时_节） 三角形的外角 一、课题：7.2.2三角形的外角 二、学习目标： 学问与技能：1.理解三角形的外角的定义； 2.驾驭三角形的内角和外角的关系。 过程与方法：1.通过剪、拼的方法猜想归纳出“三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。”，然后再证明这个结论，使学生体会到从试验猜想归纳证明得出结论的科学探究方法。 2.在学生操作、视察、思索和沟通和过程中,丰富学生的生活，激发学生进一步探究学问的热忱。 情感、看法与价值观：通过动手操作，使学生在学习活动中学会合作，培育其相互协作意

16、识及数学表达实力，体验探究、沟通与胜利。 三、教学重难点：1.重点：三角形的内角与外角的关系。 2.难点：外角定理的论证过程。 四、课时：其次课时课型：新授课。 五、教学打算:多媒体课件、三角形纸板、剪纸刀。 六、教学过程： 、创设情景，导入新课 每天早晨，小明同学都到市民广场去跑步，市民广场是一个三角形形态的广场，小明每天沿着这个广场边缘的小路，按逆时针方向跑步(如图)，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪些角？ 、视察归纳，学习新知 活动一： 1.做一做：画ABC把它的BC边延长，得到ACD。 2.视察： ACD的特征：ACD的顶点是； 一边AC是； 另一边CD是。 3.归纳

17、定义： 三角形的外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角。 4.思索： 以某三角形的一个顶点为顶点的外角有个，它们互为；因此，一个三角形有个外角。 、合作沟通，解读探究 活动二： 探究三角形的外角与内角的关系 问题1：ACD与它相邻的内角ACB是什么关系？ 问题2：在ABC中，A=70，B=60，你能求出ACD吗？ 问题3：在ABC中，ACD与A与B是什么关系呢？ A B C D 活动三： 在ABC中，ACD是一个外角，为什么ACD=AB？ 方法一：(利用三角形内角和定理) ACBAB=180(三角形的内角和为180) ACBACD=180(邻补角定义) ACD=AB(等量代换) 方法二：(利

18、用平行线) 过C作CEAB 则1=A(两直线平行,内错角相等) 2=B(两直线平行,同位角相等) ACD=1+2=A+B(等量代换) 活动四： 比较ACD与A、B的大小。 A B C D 活动五：归纳三角形外角的性质： 1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 活动六：巩固练习 课本P81练习; 课时小结 本节课你学到了哪些学问? 1.三角形外角的定义。 2.三角形外角的性质。 、课后作业 活动七： 必做题：P8283习题7.2中第5、6、8三题； 选做题：P83习题7.2中第9题。 七、板书设计： 7.2.2三角形的外角 一、三角形外角的概念 二、探究三角形的外角与不相邻的内角间的关系 （投影区） 八、教学反思： 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页