【研究生入学考试考研数学】成考小抄 2011年成人高考串讲(专升本笔记)高等数学一 高数一 2011年最新大纲 习题 共(17页).doc
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1、严格依据大纲编写: ?2021年成人高考专升本高等数学一考试大纲?笔记目录第一章极限和连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章空间解析几何第五章多元函数微积分学第五章多元函数微积分学第七章常微分方程第一章极限和连续第一节 极限复习考试要求1.理解极限的概念对极限定义、等形式的描述不作要求。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质,掌握极限的四那么运算法那么。3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比拟高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个
2、重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性复习考试要求1理解函数在一点处连续与间断的概念,理解函数在一点处连续与极限存在的关系,掌握判断函数含分段函数在一点处连续性的方法2会求函数的间断点。3掌握在闭区间上连续函数的性质,会用介值定理推证一些简单的命题。4理解初等函数在其定义区间上的连续性,会利用连续性求极限第二章一元函数微分学第一节 导数与微分 考纲要求一导数与微分1理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,掌握用定义要求函数在一点处的导数的方法。 2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3熟练掌握导数的根本公式、四那么运算法那么及复合函数的求导方法,会求反函数的导数。 4掌握隐
3、函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数。 5理解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。 6理解函数的微分概念,掌握微分法那么,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。第二节微分中值定理及导数的应用复习考试要求1理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义,会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。2熟练掌握用洛必达法那么求、型未定式的极限的方法。3掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。4理解函数极值的概念,掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法,会解
4、简单的应用题。5会判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。6会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分复习考试要求不定积分1理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理。2熟练掌握不定积分的根本公式3熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法限于三角代换与简单的根式代换。4熟练掌握不定积分的分部积分法。5会求简单有理函数的不定积分。第二节定积分复习要求 1理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 2掌握定积分的根本性质 3理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 4熟练掌握牛顿 莱布尼茨公式。 5掌握定积分的换元积分法
5、与分部积分法。 6理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 如需精美完整排版,请QQ:67460666 137 8381 6366联系7掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章空间解析几何复习考试要求 一 平面与直线1.会求平面的点法式方程、一般式方程,会判定两平面的垂直、平行。2.了解直线的一般式交面式方程,会求直线的标准式点向式或对称式方程,会判定两直线平行、垂直。3.会判定直线与平面间的关系垂直、平行、直线在平面上。二 简单的二次曲面了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。第五章多元函数微积
6、分学第一节多元函数微分学复习考试要求 1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义。会求二元函数的表达式及定义域。了解二元函数的极限与连续的概念对计算不作要求。 2.理解偏导数概念,了解偏导数的几何意义,了解全微分概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件。 3.掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。 4.掌握复合函数一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的全微分。 所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。 7.会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。 第二节二重积分复习考试要求1理解二重积分的概念及其性质。2掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。3会用二重积分解
7、决简单的应用问题限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平面薄板的质量。第六章无穷级数第一节数项级数 复习考试要求数项级数 1理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件,了解级数的根本性质。 2会用正项级数的比值判别法与比拟判别法。 3掌握几何级数,调和级数与P级数的收敛性。 如需精美完整排版,请QQ:67460666 137 8381 6366联系4了解级数绝对收敛与条件收敛的概念,会使用莱布尼茨判别法。第二节幂级数 复习考试要求1了解幂级数的概念。 2了解幂级数在其收敛区间内的根本性质和、差、逐项求导与逐项积分。 3掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间不要求讨论端点的方法。 第七章常微分
8、方程第一节一阶微分方程复习要求理解微分方程的定义、理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。掌握可别离变量方程的解法。掌握一阶线性方程的解法。第二节二阶常系数线性微分方程复习要求1了解二阶线性微分方程解的结构。2掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法。3掌握二阶常系数线性非齐次微分方程的解法自由项限定为其中为x的n次多项式,为实常数。正文第一章极限和连续第一节 极限复习考试要求1.理解极限的概念对极限定义、等形式的描述不作要求。会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质,掌握极限的四那么运算法那么。3.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷
9、小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比拟高阶、低阶、同阶和等价。会运用等价无穷小量代换求极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。如需精美完整排版,请QQ:67460666 137 8381 6366联系主要知识内容一数列的极限按一定顺序排列的无穷多个数称为数列,记作,其中每一个数称为数列的项,第n项。为数列的一般项或通项,例如11,3,5,2341,0,1,0,都是数列。在几何上,数列可看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点。定义对于数列,如果当时,无限地趋于一个常数A,那么称当n趋于无穷大时,数列以常数A为极限,或称数列收敛于A,记作 否那么称数列没有极限,如果数
10、列没有极限,就称数列是发散的。数列极限的几何意义:将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示,假设数列以A为极限,就表示当n趋于无穷大时,点可以无限靠近点A。二数列极限的性质惟一性假设数列收敛,那么其极限值必定惟一。有界性假设数列收敛,那么它必定有界。注意:这个定理反过来不成立,也就是说,有界数列不一定收敛。两面夹定理假设数列,满足不等式且。假设数列单调有界,那么它必有极限。下面我们给出数列极限的四那么运算定理。 123当时,三函数极限的概念时函数的极限1当时的极限定义 对于函数,如果当x无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,那么称当时,函数的极限是A,记作或当时如需精美完整排版,请QQ:674
11、60666 137 8381 6366联系2当时的左极限定义 对于函数,如果当x从的左边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,那么称当时,函数的左极限是A,记作或例如函数 当x从0的左边无限地趋于0时,无限地趋于一个常数1.我们称:当时,的左极限是1,即有 3当时,的右极限定义 对于函数,如果当x从的右边无限地趋于时,函数无限地趋于一个常数A,那么称当时,函数的右极限是A,记作或又如函数 当x从0的右边无限地趋于0时,无限地趋于一个常数-1 。因此有这就是说,对于函数 当时,的左极限是1,而右极限是 -1,即但是对于函数,当时,的左极限是2,而右极限是2。 显然,函数的左极限、右极限与函数的
12、极限之间有以下关系:如需精美完整排版,请QQ:67460666 137 8381 6366联系定理1.6 当时,函数的极限等于A的必要充分条件是这就是说:如果当时,函数的极限等于A,那么必定有左、右极限都等于A。反之,如果左、右极限都等于A,那么必有。这个结论很容易直接由它们的定义得到。以上讲的是当时,函数的极限存在的情况,对于某些函数的某些点 处,当时,的极限也可能不存在。时,函数的极限1当时,函数的极限定义 对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,那么称当 时,函数的极限是A,记作或当时2当时,函数的极限定义 对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,那么称当 时,函数的极限是A,记作这
13、个定义与数列极限的定义根本上一样,只不过在数列极限的定义中一定表示,且n是正整数;而在这个定义中,那么要明确写出,且其中的x不一定是整数。如函数,当时,无限地趋于常数2,因此有3当时,函数的极限定义 对于函数,如果当时,无限地趋于一个常数A,那么称当时,的极限是A,记作又如函数,当时,无限地趋于常数2,因此我们说,当时,函数的极限是2,即有由上述,时,函数极限的定义,不难看出:时,的极限是A,这表示当且仅当以及时,函数有相同的极限A。但是对函数来讲,因为有,即虽然当时,的极限存在,当时,的极限也存在,但这两个极限不相同,我们只能说,当时,的极限不存在。例如函数,当时,无限地趋于常数1:当时,也
14、无限地趋于同一个常数1,因此称当时的极限是1,记作如需精美完整排版,请QQ:67460666 137 8381 6366联系其几何意义如图3所示. 四函数极限的定理 惟一性定理如果存在,那么极限值必定惟一。 两面夹定理设函数,在点的某个邻域内可除外满足条件且有 。也成立。 下面我们给出函数极限的四那么运算定理 如果 那么1 2 3当 时,上述运算法那么不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形,并有以下推论:推论 12 3 用极限的运算法那么求极限时,必须注意:这些法那么要求每个参与运算的函数的极限存在,且求商的极限时,还要求分母的极限不能为零,另外,上述极限的运算法那么对于的情形也都成立。如
15、需精美完整排版,请QQ:67460666 137 8381 6366联系五无穷小量和无穷大量1、无穷小量简称无穷小定义 对于函数,如果自变量x在某个变化过程中,函数的极限为零,那么称在该变化过程中,为无穷小量,一般记作在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量。这里说的自变量x在某个变化过程中是指当 或,或,或,或,或中的一个。为了简单起见,我们没有专门再提出数列,而把它归入函数之中,并且有时将数列与函数统称为变量。 函数以A为极限的必要充分条件是:可表示为A与一个无穷小量之和。注意:1无穷小量是变量它不是表示量的大小,而是表示变量的变化趋势是变量无限趋于零的。2一个变量是否为无穷小量是与自变量的变
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