2012年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线221xxyx的渐近线条数 ()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)设 函 数2()(1)(2)()xxnxf xeeen，其 中n为 正 整 数,则(0)f ()(A)1(1)(1)!nn (B)(1)(1)!nn (C)1(1)!nn (D)(1)!nn(3)设1230(1,2,3),

2、nnnanSaaaa，则数列 nS有界是数列 na收敛的 ()(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)非充分也非必要(4)设20sin d,(1,2,3),kxkIex x k则有 ()(A)123III (B)321III (C)231III (D)213III(5)设函数(,f x y）为可微函数，且对任意的,x y都有(,)(,)0,0,x yx yxy则使不等式1122(,)(,)f x yf xy成立的一个充分条件是 ()(A)1212,xxyy (B)1212,xxyy (C)1212,xxyy (D)1212,xxyy(6)设区域D由曲线sin,12

3、yx xy 围成，则5(1)d dDx yx y ()(A)(B)2 (C)-2 (D)-欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！(7)设1100c,2201c,3311c ,4411c,其中1234,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ()(A)123,(B)124,(C)134,(D)234,(8)设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且1100010002P AP.若123,P ，1223,Q 则1Q AQ ()(A)100020001 (B)100010002 (C)200010002 (D)200020001

4、二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设()yy x是由方程21yxye 所确定的隐函数，则202xd ydx .(10)22222111lim12nnnnnn .(11)设1ln,zfxy其中函数 f u可微，则2zzxyxy .(12)微分方程2d3d0y xxyy满足条件11xy的解为y .(13)曲线20yxx x上曲率为22的点的坐标是 .(14)设A为3阶矩阵，=3A，*A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整

5、理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)则*BA .三、解答题：15-23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数 11sinxfxxx，记 0limxaf x，(I)求a的值;(II)若0 x 时，f xa与kx是同阶无穷小，求常数k的值.(16)(本题满分 10 分)求函数222,xyf x yxe的极值.(17)(本题满分 12 分)过(0,1)点作曲线:lnL yx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本

6、题满分 10 分)计算二重积分dDxy，其中区域D为曲线1cos0r 与极轴围成.(19)(本题满分 10 分)已知函数()f x满足方程()()2()0fxfxf x及()()2xfxf xe,(I)求()f x的表达式;(II)求曲线220()()dxyf xftt的拐点.(20)(本题满分 10 分)证明21lncos112xxxxx,(11)x.(21)(本题满分 10 分)(I)证明方程1xxxnn-1+1n 的整数，在区间1,12内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为nx，证明limnnx存在，并求此极限.(22)(本题满分 11 分)设100010001001aaAaa，

7、1100(I)计算行列式A；(II)当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分 11 分)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！已知1010111001Aaa，二次型123,TTfx xxxA A x的秩为 2，(I)求实数a的值；(II)求正交变换xQy将f化为标准形.2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）

8、（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：221lim1xxxx，所以1x 为垂直渐近线 22lim11xxxx，所以1y 为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C）。（2）设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数，则(0)f（A）1(1)(1)!nn （B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn （D）(1)!nn【答案】：（C）【解析】：22()(2)()(1)(2)()xxnxxxnxfxe eeneeen 所以(0)f1(1)!nn，故选（C）。（3）设0,(1,2,.)nan，1.nnsaa，则数列 ns有界是数列 na收敛的

9、(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C）必要非充分条件.（D）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)【解析】：由于0na，ns是单调递增的，可知当数列 ns有界时，ns收敛，也即limnns是存在的，此时有11limlimlimlim0nnnnnnnnnassss，也即 na收敛。反之，na收敛，ns却不一定有界，例如令1na，显然有 na收敛，但nsn是无界的。故数列 ns有界是数列 na收敛的充分非必要条件，选(B)。（4）设2

10、0sinkxkIexdx(k=1,2,3),则有 D（A）123III (B)321III(C)231III (D)213III【答案】：(D)【解析】：由于当(,2)x时sin0 x，可知22sin0 xexdx，也即210II，可知12II。又由于2223232sinsinsinxxxexdxexdxexdx，对232sinxexdx做变量代换tx得222232222sinsinsinsinttxxexdxetdtetdtexdx ，故22232sinsinxxxexdxeexdx由于当(,2)x时22sin0,0 xxxee，可知23sin0 xexdx，也即310II，可知31II。综

11、上所述有213III，故选(D).（5）设函数(,)f x y可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x yx，(,)0f x yy，则使得1122(,)(,)f x yf x y成立的一个充分条件是(A)1212,xx yy (B)1212,xx yy(C)1212,xx yy (D)1212,xx yy【答案】：(D)【解析】：(,)0f x yx，(,)0f x yy表示函数(,)f x y关于变量x是单调递增的，关于变欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！量y是单调递减的。因此，当1212,xx yy时，必有1122(,)(,)

12、f x yf x y，故选 D（6）设区域 D 由曲线,1,2,sinyxxy围成，则)(15 dxdyyx)(2)(2)()(DCBA【答案】：（D）【解析】：区域 D 如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再引入曲线sinyx 将区域分为1234,D D D D四部分。由于12,D D关于y轴对称，可知在12DD上关于x的奇函数积分为零，故1250DDx ydxdy；又由于34,D D关于x轴对称，可知在34DD上关于y的奇函数为零，故3450DDx ydxdy。因此152sin21xDDx ydxdydxdydxdy ，故选（D）。（7）设1234123400110,1,1,1cccc 其中

13、1234,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123,（B）124,（C）134,（D）234,【答案】：（C）【解析】：由于134113401111,011011cccc ，可知134,线性相关。故选（C）。（8）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且1112P AP，123,P ，1223,Q 则1Q AQ（）（A）121 （B）112 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)（C）212 （D）221【答案】：（B）【解析】：100110001

14、QP，则11100110001QP，故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQP AP 故选（B）。二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设()yy x是由方程21yxye 所确定的隐函数，则220 xd ydx_。【答案】：1【解析】：将0 x 代入原方程可得0y 方程21yxye 两端对x求导，有2ydydyxedxdx，将0 x、0y 代入可得，所以00 xdydx 再次求导得222222yyd ydyd yeedxdxdx，再将0 x、0y、00 xdydx代入可得2201xd

15、 ydx。（10）计算22222111lim12xnnnnn_。【答案】：4【解析】：原式11220111limarctan.141nnidxxnxin 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！（11）设1lnzfxy,其中函数()f u可微，则2zzxyxy_。【答案】：0.【解析】：因为211,zzffxxyy，所以20.zzxyxy（12）微分方程2(3)0ydxxydy满足初始条件|1xy的解为_。【答案】：2xy【解析】：21(3)03dxydxxydyyxdyy13dxxydyy为一阶线性微分方程，所以 112133dydyyy

16、xey edyCy dyCy31()yCy 又因为1y 时1x，解得0C，故2xy.（13）曲线2(0)yxx x上曲率为22的点的坐标是_。【答案】：1,0【解析】：将21,2yxy”代入曲率计算公式，有 32 3/222|22(1)21(21)yKyx 整理有2(21)1x，解得01x 或，又0 x，所以1x ，这时0y，故该点坐标为1,0（14）设A为 3 阶矩阵，3A,*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA _。【答案】：27【解析】：*BAB A，其中3 1*3,9BAAA ，可知*27BA 。三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定

17、位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)（15）（本题满分 10 分）已知函数11()sin,xf xxx，记0lim()xaf x（1）求a的值（2）若当0 x 时，()f xa是kx的同阶无穷小，求k【解析】：（1）2000011sinlim()limlimlim1sinsinsinxxxxxxxxf xxxxxx，即1a （2）,当0 x 时，由11sin()()1sinsinxxf xaf xxxxx 又因为，当0 x 时，

18、sinxx与316x等价，故1()6f xax，即1k （16）（16）（本题满分 10 分）求222,xyf x yxe的极值。【解析】：222,xyf x yxe，先求函数的驻点：令 2222222,10,0 xyxxyyfx yxefx yxye，解得驻点为 1,0,1,0.又 222222222222311xyxxxyxyxyyyfx xefyxefxye 对点1,0，有11221111,02,1,00,1,0 xxxyyyAfeBfCfe 所以，211110,0ACBA，故,f x y在点1,0处取得极大值121,0fe.对点1,0，有11222221,02,1,00,1,0 xxx

19、yyyAfeBfCfe 所以，222220,0A CBA，故,f x y在点1,0处取得极小值121,0fe.（17）（本题满分 11 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！过点（0，1）点作曲线:lnL yx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB及x轴围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】：如图设切点坐标为00,lnA xx，斜率为01x，所以设切线方程为0001lnyxxxx，又因为该切线过(0,1)B，所以20 xe，故切线方程为：211yxe 切线与x轴交点为2,0Be（1）222

20、222001(1)()12yyAeeydyeeyye（2）22222222212211221122212ln38ln2ln3842 ln238221233eeeeeVeexdxexxxdxeexxdxeee （18）（本题满分 10 分）计算二重积分Dxyd，其中区域 D 为曲线0cos1r与极轴围成。【解析】：Drdrrrdxyd0cos10sincos 40401sincos(1cos)41cos(1cos)cos4dd 令cosu得，原式141116(1)415uudu。（19）（本 题 满 分 10 分）已 知 函 数)(xf满 足 方 程0)(2)()(xfxfxf及xexfxf2)

21、()(欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)1）求表达式)(xf 2）求曲线的拐点dttfxfyx022)()(【解析】：1）特 征 方 程 为022 rr，特 征 根 为2,121rr，齐 次 微 分 方 程()()2()0fxfxf x的通解为xxeCeCxf221)(.再由()()2xfxf xe得21222xxxCeC ee，可知121,0CC。故()xf xe 2）曲线方程为220 xxtyeedt，则22012xxtyxeedt，222022 12xxtyxxeed

22、t 令0y 得0 x。为了说明0 x 是0y 唯一的解，我们来讨论y在0 x 和0 x 时的符号。当0 x 时，222020,2 120 xxtxxeedt，可 知0y；当0 x 时，222020,2 120 xxtxxeedt，可知0y。可知0 x 是0y 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0 x 左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。（20）（本题满分 10 分）证明：21lncos1,1112xxxxxx 【解析】：令 21lncos112xxf xxxx，可得 2222112lnsin11112lnsin111

23、1lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 当01x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故 0fx。而欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！00f，即得21lncos1012xxxxx，也即21lncos112xxxxx。当10 x 时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故 0fx。而 00f，即得，21lncos1012xxxxx 也即21lncos112xxxxx。当0 x 时，显然有21lncos112xxxxx。可知，21lncos1,1112xxxx

24、xx （21）（本题满分 11 分）（1）证明方程)1(1.1的整数nxxxnn，在区间1,21内有且仅有一个实根；（2）记（1）中的实根为nx，证明nnxlim存在，并求此极限。【解 析】：(1)由 题 意 得：令1()1nnf xxxx，则(1)0f，再 由11(1()1122()1()012212nnf ，由零点定理1()1nnf xxxx 得在1,21至少存在一个零点，也即方程1.1nnxxx在区间1,21内至少有一个实根。又由于1()1nnf xxxx 在1,21上是单调的，可知1()1nnf xxxx 在1,21内最多只有一个零点。故方程1.1nnxxx在区间1,21内有且仅有一个

25、实根。（2）由于()0nf x，可知110nnnnnxxx（），进而有111110nnnnnxxx，可知111110nnnnnxxx（），比较（）式与（）式可知1nnxx，故 nx单调。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)又由于112nx，也即 nx是有界的。则由单调有界收敛定理可知 nx收敛，假设limnnxa，可知211axx。当n 时，(1)1lim()lim110,lim112nnnnnnnnnxxaf xxxa 得。（22）（本题满分 11 分）设100010001

26、001aaAaa，1100（）求A（）已知线性方程组Ax有无穷多解，求a，并求Ax的通解。【解析】：（）4 141001000010101(1)10100100101001aaaaaaaaaaa （）2324210011001100101010101010100100010001000100010011001010100100001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410a及20aa，可知1a 。此时，原线性方程组增广矩阵为11001011010011000000，进一步化为行最简形得10010010110011000000 欢迎您阅读并下载本

27、文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！可知导出组的基础解系为1111 ，非齐次方程的特解为0100，故其通解为10111010k 线性方程组Axb存在 2 个不同的解，有|0A.即：211010(1)(1)011A，得1或-1.当1时,12311100001111xxxx ，显然不符，故1.（23）（本题满分 11 分）三阶矩阵1010111001Aaa，TA为矩阵A的转置，已知()2Tr A A，且二次型TTfx A Ax。1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1）22201011113TaA Aaaa

28、aa由()2Tr A A 可得，222220110111302113aaaaaaaa，可知1a 。2）1123232221231223202,02222422444TTxfx A Axx x xxxxxxx xx x 令矩阵202022224B 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！由考研云助手整理( 专注免费考研资料 微信公众号提供更多资讯)202022260224EB 解得B矩阵的特征值为：1230;2;6 对于110,0EB X解得对应的特征向量为：1111 对于222,0EB X解得对应的特征向量为：2110 对于336,0EB X解得对应的特征向量为：3112 将123,单位化可得：111131，211120，311162 123326326326,32636033Q 令xQy可将原二次型化为222326yy。