2013年高考江苏数学试题及答案(word解析版)9.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1）【2014 年江苏，1，5 分】函数3sin(2)4yx的最小正周期为_【答案】【解析】函数3sin 24yx的最小正周期22T （2）【2014 年江苏，2，5 分】设2(2i)z(i为虚数单位)，则复数z的模为_【答案】5【解析】22222i44ii33i544z （3）【2014 年江苏，3，5 分】双曲线221169xy的两条渐近

2、线的方程为_【答案】34yx 【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34yx （4）【2014 年江苏，4，5 分】集合1,0,1共有 _个子集【答案】8【解析】由于集合1,0,1有 3 个元素，故其子集个数为328（5）【2014 年江苏，5，5 分】右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_【答案】3【解析】第一次循环后：82an，；第二次循环后：263an，；由于2620，跳出循环，输出3n （6）【2014 年江苏，6，5 分】抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 87 91 9

3、0 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 【答案】2【解析】由题中数据可得=90 x甲，=90 x乙22222287909190909089909015394s甲，22222289909090919088909015292s乙，由22ss甲乙，可知乙运动员成绩稳定故应填 2 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 2 答题前，请您务必将自己的姓

4、名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚 4 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2 （7）【2014 年江苏，7，5 分】现有某类病毒记作mnX Y，其中正整数,(7,9)m n mn可以任意选取，则,m n都 取到奇数

5、的概率为_【答案】2063【解析】由题意知m的可能取值为 1，2，3，7；n的可能取值为 1，2，3，9由于是任取 m，n：若1m 时，n可取 1，2，3，9，共 9 种情况；同理 m 取 2，3，7 时，n 也各有 9 种情况，故 m，n 的取值情况共有7 963种若 m，n 都取奇数，则 m 的取值为 1，3，5，7，n 的取值为 1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有 45=20 种故所求概率为2063（8）【2014 年江苏，8，5 分】如图，在三棱柱111ABCABC中，,D E F分别是1,AB AC AA的中点，设三棱锥FADE的体积为1V，三棱柱111ABCABC的体积为2V

6、，则12:V V _【答案】1:24【解析】由题意可知点F到面ABC的距离与点1A到面ABC的距离之比为1:2，1:4ADEABCSS:因此12131:242AEDABCAF SAF SV V:（9）【2014 年江苏，9，5 分】抛物线2yx在1x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)若点(,)P x y是区域D内的任意一点，则2xy的取值范围是_【答案】12,2【解析】由题意可知抛物线2yx在1x 处的切线方程为21yx该切线与两坐标轴围成的区域 如图中阴影部分所示：当直线20 xy平移到过点1,02A时，2xy取得最大值12 当直线20 xy平移到过点1(0)B，

7、时，2xy取得最小值2 因此所求的2xy的取值范围为12,2（10）【2014 年江苏，10，5 分】设,D E分别是ABC的边,AB BC上的点，12ADAB，23BEBC，若12DEABAC(12,为实数)，则12的值为_【答案】12【解析】由题意作图如图在ABC中，1223DEDBBEABBC12()23ABACAB 121263ABACABAC，116，223故1212（11）【2014 年江苏，11，5 分】已知()f x是定义在R上的奇函数 当0 x时，2()4f xxx，则不等式()f xx 的解集用区间表示为_【答案】5,0)5()(,【解析】函数 f x为奇函数，且0 x 时

8、，24f xxx，则 22400040f xxxxxxxx原不等式等价于 204xxxx或204xxxx，由此可解得5x 或50 x （12）【2014 年江苏，12，5 分】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为22221(0,0)xyabab，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d 若216dd，则椭圆的离心率为_ 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3 【答案】33【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为=1xycb，即0bxcybc 于是可知122b

9、cbcdabc，22222aacbdcccc216dd，26bbcca，即26abc 22246aacc42610ee 213e 33e （13）【2014 年江苏，13，5 分】平面直角坐标系xOy中，设定点(,)A a a，P是函数1(0)yxx图像上一动点，若点,P A之间最短距离为2 2，则满足条件的实数a的所有值为_【答案】1，10【解析】设P点的坐标为1,xx，则222222111()=2=2xaaxa xaxxAxP令12txx，则2222222222PAtatataat结合题意可知(1)当2a，2t 时，2PA取得最小 值此时22228aa，解得1a ，3a(舍去)(2)当2a

10、，ta时，2PA取得最小值 此时228a，解得10a，10a (舍去)故满足条件的实数a的所有值为10，1（14）【2014 年江苏，14，5 分】在正项等比数列 na中，512a，673aa 则满足123123.nnaaaaa a aa的最大正整数n的值为_【答案】12【解析】设正项等比数列 na的公比为q，则由26753aaaqq可得2q，于是62nna，则1251(12)13221232nnnaaa512a，2q，61a，1 11210261a aa aa 12111a aa当n取 12 时，7612121211 121213222aaaa aa aa成立；当n取 13 时，867131

11、2131211 121312132213222aaaa aa a aa a 当13n 时，随着n增大12naaa将恒小于12na aa因此所求n的最大值为 12 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）【2014 年江苏，15，14 分】已知cossina，cossinb，0 （1）若2ab，求证：ab；（2）设0 1c,，若abc，求，的值 解：（1）解法一：由|2ab，得：22|()2abab，即2222aa bb又2222|1abab，所以222a b，0a b，故ab 解法二：(coscos,sins

12、in)ab，由|2ab，得：22|()2abab，即：22(coscos)(sinsin)2，化简，得：2(coscossinsin)0，coscossinsin0a b，所以ab（2）(coscos,sinsin)ab，可得：coscos0(1)sinsin1(2)解法一：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4 由（1）得：coscos()，又0，(0,)，故 代入（2），得：1sinsin2，又0，所以5,66 解法二：22(1)(2)，得：122(coscossinsin)1,cos()2，又0，(0,)故有：23，23代入（

13、1）式：2cos()cos03，化简，得：133cossin0,tan,2236从而56 解法三：两式和差化积，得：2coscos0(3)222sincos1(4)22，可得：cos02，又0，(0,)2，所以22 代入（4）式，可得：1cos22，又(0,)22，23以上联立，解得：5,66（16）【2014 年江苏，16，14 分】如图，在三棱锥SABC中，平面SAB 平面SBC，ABBC，ASAB过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点求证：（1）平面EFG/平面ABC；（2）BCSA 解：（1）因为ASAB，AFSB于F，所以F是SB的中点又E是SA的中点，所以/E

14、FAB 因为EF 平面ABC，AB 平面ABC，所以/EF平面ABC同理可证/EG平面ABC 又EFEGE，所以平面/EFG平面ABC（2）因为平面SAB 平面SBC于SB，又AF 平面SAB，AFSB，所以AF 平面SBC 因为BC 平面SBC，所以AFBC又因为ABBC，AFABA，AFAB、平面SAB，所以BC 平面SAB又因为SA 平面SAB，所以BCSA（17）【2014 年江苏，17，14 分】如图，在平面直角坐标系xOy中，点0 3A,，直线24lyx：设圆的半径为 1，圆心在l上 （1）若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使2MA

15、MO，求圆心C的横坐标a的取值范围 解：（1）由题设，圆心C是直线24yx和1yx的交点，解得点2(3)C,，于是切线的斜率必存在 设过3(0)A,的圆C的切线方程为3ykx，由题意，2|31|11kk，解得0k 或34，故所求切线方程为3y 或34120 xy（2）因为圆心在直线24yx上，所以圆C的方程为22221xaya设点()M xy，因为2MAMO，所以22223=2xyxy，化简得22230 xyy，即2214xy，所以点M在以1(0)D，为圆心，2 为半径的圆上由题意，点()M xy，在圆C上，所以圆C与圆D有 公共点，则2121CD，即221233aa 由251280aa，得R

16、a；由25120aa，得0125a所以点C的横坐标a的取值范围为120,5（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径 一 种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到 C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为 50m/min在甲出发 2min 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留 1min 后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5 运动的速度为 130m/min，山路AC长为 1260m，经测量，12

17、cos13A，3cos5C （1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处相互等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：（1）在ABC中，因为3os1c12A，cos35C，所以sin513A，sin45C 从而sinsinsinsin coscos sin531246313513565BACACACAC 由正弦定理sinsinABACCB，得12604sin104063sin565ACABCB所以索道AB的长为1040 m（2）假设乙出发tmin 后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了10050 mt，乙距离A处13

18、0 mt，所以由余弦定理得222212100501302 13010050200 37705013dtttttt，因10430001t，即08t，故当3537t(min)时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理sinsinBCACAB，得12605sin 500m63sin1365ACBCAB 乙从B出发时，甲已走了50281550(m)，还需走710 m才能到达C 设乙步行的速度为vm/min，由题意得5007103350v，解得12506254314v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过 3min，乙步行的速度应控制在1250 625,4314(单位：m/min)范围内（19）【2

19、014 年江苏，19，16 分】设 na是首项为a，公差为d的等差数列0d，nS是其前n项和 记2nnnSbnc，Nn*，其中c为实数 （1）若0c，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2NnkkSn Sk,n*；（2）若 nb是等差数列，证明：0c 解：由题设，(1)2nn nSnad（1）由0c，得12nnSnbadn 又因为124bbb，成等比数列，所以1224bbb，即23=22daa ad，化简得220dad因为0d，所以2da因此，对于所有的*Nm，有2mSm a 从而对于所有的k，*Nn，有2222nkkSnkan k an S（2）设数列 nb的公差是1d，则111nbbnd，

20、即1121nbnnSncd，*Nn，代入nS的表达式，整理 得，对于所有的*Nn，有111321111122dd nbdad ncd nc db 令112Add，1112Bddba，11Dc db，则对于所有的*Nn，有321AnBncd nD(*)在(*)式中分别取12 34n ,，得1111842279364164ABcdABcdABcdABcd，从而有11173019502150ABcdABcdABcd，由，得0A，15cdB，代入方程，得0B，从而10cd 即1102dd，11102bdad=0，10cd 若 d1=0，则由1102dd，得0d，与题设矛盾，欢迎您阅读并下载本文档，本文

21、档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！6 所以10d 又因为10cd，所以0c （20）【2014 年江苏，20，16 分】设函数 ln f xxax，xg xeax，其中a为实数 （1）若 f x在1,上是单调减函数，且 g x在1,上有最小值，求a的范围；（2）若 g x在1,上是单调增函数，试求 f x的零点个数，并证明你的结论 解：（1）令 f(x)=110axfxaxx，考虑到 f x的定义域为(0)，故0a，进而解得1xa，即 f x 在1()a，上是单调减函数同理，f x在1(0)a，上是单调增函数由于 f x在(1)，上是单调减函数，故1()(1

22、)a，从而11a，即1a 令 0 xgxea，得lnxa当lnxa时，0gx；当lnxa时，0gx又 g x在(1)，上有最小值，所以ln1a，即ae 综上，有()ae，（2）当0a 时，g x必为单调增函数；当0a 时，令 0 xgxea，解得xae，即lnxa 因为 g x在()1，上是单调增函数，类似（1）有ln1a ，即10ae 结合上述两种情况，有1ae 当0a 时，由 10f以及 10fxx，得 f x存在唯一的零点；当0a 时，由于 10aaaf eaaeae，10fa ，且函数 f x在1ae，上的图象不间断，所以 f x在(1)ae，上存在零点另外，当0 x 时，10fxax

23、，故 f x在(0)，上是单调增 函数，所以 f(x)只有一个零点 当10ae时，令 10fxax，解得1xa 当10 xa时，0fx，当1xa时，0fx，所以，1xa是 f x的最大值点，且最大值为 1ln1f aa 当ln10a，即1ae时，f x有一个零点xe当ln10a，即10ae时，f x有两个零点实际上，对于10ae，由于 1110f eae ，10f a，且函数 f x在11ea，上的图象不间断，所以 f x在11()ea，上存在零点另外，当1()0 xa，时，10axfx，故 f x在1(0)a，上是单调增函数，所以 f x在1(0)a，上只有一个零点下面考虑 f x在1()a

24、，上的情况先证1210aaf ea ae 为此，我们要证明：当xe时，2xex 设 2xh xex，则 2xh xex，再设 2xl xh xex，则 2xlxe当1x 时，220 xlxee，所以 l xh x 在(1)，上是单调增函数故当2x 时，22240 xh xexhe，从而 h x在(2)，上是单调增函数，进而当xe时，220 xeh xexh eee 即当xe时，2xex 当10ae，即1ae时，111210aaaf eaaea ae，又 10f a，且函数 f x在11aae，上的图象不间断，所以 f x在11()aae，上存在零点又当1xa时，0fxa ，故 f x在(a-1

25、，+)上是单调减函数，所以 f(x)在(a-1，+)上只有一个零点 综合，当0a 或1ae时，f x的零点个数为 1，当10ae时，f x的零点个数为 2 数学 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题）。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔

26、在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！7 【选做】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答 的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，AB和BC分 别与圆O相切于点DCAC、，经过圆心O，且2BCOC求证：2ACAD 解：连结OD 因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以

27、90ADOACB 又因为AA，所以RtRtADOACB所以BCACODAD 又22BCOCOD，故2ACAD（21-B）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵1012,0206AB，求矩阵1A B 解：设矩阵A的逆矩阵为 a bc d，则1 00 2 a bc d=1 00 1，即 2 2abcd=1 00 1，故100abc，12d，从而A的逆矩阵为11 010 2A，所以11 010 2A B1 20 6=1 20 3（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为12x

28、tyt（t为参数），曲线C的参数方程为22tan2tanxy（为参数）试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标 解：因为直线l的参数方程为12xtyt (t为参数)，由1xt 得1tx，代入2yt，得到直线 l 的普通方程为220 xy 同理得到曲线C的普通方程为22yx 联立2212yxyx ,解得公共点的坐标为(2)2，1,12 （21-D）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修 4-4：不等式选讲）已知0ab，求证：332222ababa b 解：332222222222222ababa ba abb abababababab 因为0ab，所以0ab，0ab，20a

29、b，从而20ababab，即332222ababa b【必做】第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内（22）【2014 年江苏，22，10 分】如图，在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，2ABAC，14AA，点D是BC的中点（1）求异面直线1AB与1C D所成角的余弦值；（2）求平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值 解：（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则()0 0 0A，()2 0 0B，()0 2 0C，()110D，14(0)0A，14(0)2C，所以1(2 0)4AB，1(11)4C D，因为111111

30、183 10cos,102018AB C DAB C DAB C D，所以异面直线1AB与1C D所成角的余弦值为3 1010 （2）设平面1ADC的法向量为1()nxyz，因为(1)10AD，10()2 4AC，所以10nAD，110nAC，即0 xy且20yz，取1z，得2x，2y ，所以，12()21n，是 平面1ADC的一个法向量取平面1AAB的一个法向量为2(010)n，设平面1ADC与平面 1ABA所成二面角的大小为由121222|s3co91nnnn，得sin53 因此，平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值为53 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请

31、联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！8 （23）【2014 年江苏，23，10 分】设数列 na：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，11(1),(1)kkkkk个，即当()22kkkknkN（-1）（+1）时，1(1)knak 记12nnSaaa()nN对于lN，定义 集合*,1lnnPn SanNnl为 的整数倍，且（1）求11P中元素个数；（2）求集合2000P中元素个数 解：（1）由数列 na的定义得123456789101223334444aaaaaaaaaa ，115a，1234567891011113036226105SSSSSSSSSSS ，从而114455

32、66111102SaSaSaSaSa，所以集合11P中元素的个数为 5（2）先证：*2121()iiSiii N 当1i 时，3213iiSS，213ii，故原等式成立；假设im时成立，即2121mmSmm，则1im时，22222(113)212221432531 23mmmmSSmmmmmmmmm 综合可得2121iiSii 于是 2(2211 21)212121211iiiiSSiiiiii 由上可知21iiS是21i 的倍数，而21(211221)iijaiji，所以(212)121iiiijSSji是 211)2(21iijaji，的倍数又1 21121iiSii不是22i 的倍数，而1 2122iijai ()1222ji，所 以()1 211 212221122iijiiSSjiiiji不 是1 21iija 122()2ji，的倍数，故当21lii时，集合lP中元素的个数为21321ii，于是，当21121liijji时，集合lP中元素的个数为2ij 又200031231 147，故集合2000P中元素的个数为231471008