2015【考研数学三】真题及答案解析.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 1 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A)若,则 (B)若,则(C)若,则 (D)若,则(2)设函数在内连续,其 2 阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A)(B)(C)(D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A)(B)(C)(D)

2、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 2(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A)(B)(C)(D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A)(B)(C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C)(D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则(A)(B)(C)(D)二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解

3、，且在处取得极值 3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 3 (14)设二维随机变量服从正态分布，则 三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数，若与在是等价无穷小，求的值.(16)(本题满分 10 分)计算二重积分，其中(17)(本题满分 10 分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I)

4、证明定价模型为；(II)若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18)(本题满分 10 分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为 4，且，求的表达式.(19)(本题满分 10 分)(I)设函数可导，利用导数定义证明(II)设函数可导，写出的求导公式.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 4(20)(本题满分 11 分)设矩阵，且.(I)求的值；(II)若矩阵满足，其中为 3 阶单位矩阵，求.(21)(本题满分 11 分)设矩阵相似于矩阵.(I

5、)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22)(本题满分 11 分)设随机变量的概率密度为 对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I)求的概率分布；(II)求(23)(本题满分 11 分)设总体的概率密度为 其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 6 选项(C)，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义

6、知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到 由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 7(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有 且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】

7、根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 8 又因为，所以 故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得 把，代入上式，得 所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，所以该齐次微分方程的通解为，因为可

8、导，所以为驻点，即，所以，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为 所以.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 9(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，且相互独立，从而 .(15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即 方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 10，分

9、母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II).【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当时，利润最大.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 11 23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通

10、解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 12(II)由题意得 (20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知 ，(21)【答案】(I).(II)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 13，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I)则即.即 整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为 当时，的基础

11、解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I)，.(II).欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 14【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I)记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II).【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I).令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II)似然函数 当时，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！精品文档 15 取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.