2009年高考天津数学(理科)试题及参考答案133608.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2009 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）i 是虚数单位，52ii=（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i【考点定位】本小考查复数的运算，基础题。解析：iiiii215)2(525，故选择D。（2）设变量x，y 满足约束条件：3123xyxyxy.则目标函数23zxy的最小值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23【考点定位】本小考查简单的线性规划，基础题。解析：画出不等式

2、3123xyxyxy 表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zxy在可行域上平移，知在点B 自目标函数取到最小值，解方程组323yxyx得)1,2(，所以734minz，故选择B。（3）命题“存在0 x R，02x0”的否定是（A）不存在0 x R,02x0 （B）存在0 x R,02x0 （C）对任意的xR,2x0 （D）对任意的x R,2x0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在Rx 0，使020 x”，故选择D。（4）设函数1()ln(0),3f xxx x则()yf x 8642-2-4-15-10-55102x-y=3x-y=1x+y=3q x

3、=-2x3+7h x =2x-3g x =x+1f x =-x+3AB欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！A.在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B.在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C.在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点。D.在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析：由题得xxxxf33131)(，令0)(xf得3x；令0)(xf得30 x；0)(xf得3x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小

4、值03ln1；又 0131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择D。（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A.26 B.35 C.40 D.57【考点定位】本小考查框架图运算，基础题。解：当1i时，2,2ST；当2i时，7,5ST；当3i时，15,8ST；当4i时，26,11ST；当5i时，40,14ST；当6i时，57,17ST，故选择C。(6）设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。【解析】因为333ba，所以1 ba，4222)11)(

5、11baabbaabbababa，当且仅当baab即21 ba时“=”成立，故选择C 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（7）已知函数()sin()(,0)4f xxxR的最小正周期为，为了得到函数 ()cosg xx的图象，只要将()yf x的图象 A.向左平移8个单位长度 B.向右平移8个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。解析：由题知2，所以)8(2cos)42cos()42(2cos)42sin()(xxxxxf，故选择A。（8）已知函数224

6、,0()4,0 xx xf xxxx若2(2)(),faf a则实数a的取值范围是 A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa22，解得12a，故选择C。（9）设抛物线22yx的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B 两点，与抛物线的准线相交于C，BF=2，则BCF 与ACF 的面积之比BCFACFSS=（A）45 （B）23 （C）47 （D）12【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由

7、题知12122121ABABACFBCFxxxxACBCSS，又323221|BBByxxBF 由A、B、M 三点共线有BMBMAMAMxxyyxxyy即23330320AAxx，故2Ax，642-2-4-6-10-55x=-0.5F:(0.51,0.00)h x =-2x+3g y =-12f y =y22ABFC欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5414131212ABACFBCFxxSS，故选择A。（10）ab10,若关于x 的不等式2()xb2()ax的解集中的整数恰有3 个，则（A）01a （B）10 a （C）31 a

8、 （D）63 a【考点定位】本小题考查解一元二次不等式，解析：由题得不等式2()xb2()ax即02)1(222bbxxa，它的解应在两根之间，故有04)1(4422222baabb，不等式的解集为11abxab或110abxab。若 不 等 式 的 解 集 为11abxab，又 由ab10得110ab，故213ab，即312ab 二、填空题：（6 小题，每题4 分，共24 分）（11）某学院的A，B，C 三个专业共有1200 名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本。已知该学院的A 专业有380 名学生，B 专业有420 名学生，则在该学院的C

9、 专业应抽取_名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。解析：C 专业的学生有4004203801200，由分层抽样原理，应抽取401200400120名。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则a_【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题。解析：知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，底边上的高为a的等腰三角形，所以有333322aa。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！(13)设直线1l的参数方程为11 3xtyt （t 为参数），直线2l的方程为y=3x+4 则1l与2l的距离为_【考点

10、定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。解析：由题直线1l的普通方程为023 yx，故它与与2l的距离为510310|24|。(14)若 圆224xy与 圆22260 xyay（a0）的 公 共 弦 的 长 为2 3，则a_。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。解析：由知22260 xyay的半径为26a，由图可知222)3()1(6aa解之得1a(15)在四边形ABCD 中，AB=DC=（1，1），113B AB CB DB AB CB D，则四边形ABCD 的面积是 【考点定位】本小题考查向量的几何运算，基础题。解析：由题知四边形ABCD 是菱形，其边

11、长为2，且对角线BD 等于边长的3倍，所以21222622cosABD，故23sinABD，323)2(2SABCD。（16）用数字0，1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。解析：个位、十位和百位上的数字为3 个偶数的有：901333143323CACAC种；个位、十位和百位上的数字为1 个偶数2 个奇数的有：23413332313143323CACCCAC种，所以共有32423490个。三、解答题：本大题共6 小题，共76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（

12、17）（本小题满分12 分）在ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！()求 AB 的值；()求 sin24A的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12 分。（）解：在ABC 中，根据正弦定理，sinsinABBCCA 于是sin22 5sinCABBCBCA（）解：在ABC 中，根据余弦定理，得2222 5cos25ABACBDAABAC 于是25sin1 cos5AA 从而2243sin

13、22sincos,cos2cossin55AAAAAA 所以2sin(2)sin2 coscos2 sin44410AAA（18）（本小题满分12 分）在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这10 件产品中任取3 件，求：（）取出的3 件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望；（）取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分。（）解：由于从10 件产品中任取3 件的结果为3kC，从10 件产品中任取3 件，其中恰有k 件一等

14、品的结果数为337kkC C，那么从10 件产品中任取3 件，其中恰有k 件一等品的概率为337310(),0,1,2,3kkP XkkC CC 所以随机变量X 的分布列是 X 0 1 2 3 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！P 724 2140 740 1120 X 的数学期望721719012324404012010EX （）解：设“取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1 件一等品和2 件三等品”为事件A1“恰好取出2 件一等品“为事件A2，”恰好取出3 件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A

15、3彼此互斥，且A=A1 A2 A3而 1233123310371(),()(2),()(3)4040120P AP AP XP AP XC CC,所以取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 12337131()()()()4040120120P AP AP AP A+407+1201=12031（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD,AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD （）求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小；（）证明平面AMD平面CDE；（）求二面角A-CD-E 的余弦值。本小题要考查异面直

16、线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12 分.方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF 与 DE 所成的角。设P 为 AD 的中点，连结EP，PC。因为FE/AP，所以FA/EP，同理AB/PC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD 都在平面ABCD 内,故EP PC，EP AD。由AB AD，可得PC AD 设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a2，故CED=60。所以异面直线BF 与 DE 所成的角的大小为60 （）证明：因为D

17、CDE且M为CE的中点，所以DMCE，连接MP，则M PC E，又MPDMM，故CE 平面AMD,而CE 平面CDE，所以平面AMD 平面CDE 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！（）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CDEQDECE.EQPQCDQ.ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角，故，所以 由（）可得，.2226EQaPQaPQEP，于是在Rt EPQ中，3cos3PQEQPEQ，所以二面角ACDE的余弦值为33 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。设，1AB依题意得，001B，011C，0

18、20D，110E，100F.21121M，（）解：101BF ，011DE，于是00 11cos.222BF DEBF DEBF DE，所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.（）证明：由11122AM，101CE ，0 2 0AD，可得0CEAM，0CE AD，因此，CEAMCEAD，又CEAMDAMADA，故平面.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而（）解：设平面CDE的发向量为0()D0.u CEuxyzuE，则 于是01(111.0.xzxuyz ，令，可得，）又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系

19、删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！.3313100cosvuvuvu，所以，因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为33（20）（本小题满分12 分）已知函数22()(23)(),xf xxaxaa exR其中aR（）当0a 时，求曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（）当23a 时，求函数()f x的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12 分。（）解：.3)1()2()()(022efexxxfexxfaxx，故，时，当 所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线的斜率

20、为3e（）解：22()(2)24xfxxaxaa e 令2()022.22.3fxxaxaaaa，解得，或由知，以下分两种情况讨论。（1）a若32，则a22a.当x变化时，)()(xfxf，的变化情况如下表：x a2，a2 22aa，2a ，2a +0 0+极大值 极小值 所以()f x在(2)(2)aa，内事增函数，在(22)aa，内是减函数。函数()f x在2xa 处取得极大值2(2)(2)3afafaae，且 函数()f x在2xa处取得极小值2(2)(2)(43).af af aa e，且（2）a若32，则a22a，当x变化时，)()(xfxf，的变化情况如下表：x 2a，2a aa2

21、2 ，a2，a2 +0 0+欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！极大值 极小值 所以()f x在(2)(2)aa，内是增函数，在(22)aa，内是减函数。函数()f x在2xa处取得极大值2(2)(2)(43)af af aa e，且 函数()f x在2xa 处取得极小值2(2)(2)3afafaae，且（21）（本小题满分14 分）已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)FcF cc和，过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与,A B两点，且1212/,2F AF B F AF B。（）求椭圆的

22、离心率；（）求直线AB 的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线2F B上有一点(,)(0)H m n m 在1AFC的外接圆上，求nm的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14 分 （）解：由1FA/2F B且12FA2 F B，得2211EFF B1EFFA2，从而22a1a2cccc 整理，得223ac，故离心率33cea（）解：由（）得22222bacc，所以椭圆的方程可写为222236xyc 设直线AB 的方程为2ayk xc，即(3)yk xc 由已知设112

23、2(,),(,)A x yB xy，则它们的坐标满足方程组222(3)236yk xcxyc 消去y 整理，得222222(23)182760kxk cxk cc.依题意，223348(1 3)033ckk，得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！而 21221823k cxxk 2212227623ck ccx xk 由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232xcx 联立解得2129223k ccxk，2229223k ccxk 将12,x x代入中，解得23k .()解法一：由（）可知1230,2cxx 当23k 时，得

24、(0,2)Ac，由已知得(0,2)Cc.线段1AF的垂直平分线l 的方程为22222cycx，直线l与x 轴的交点,02c是1AFC外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x22ccyc.直线2F B的方程为2()yxc，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 2229242()ccmnnmc ，由0,m 解得532 23mcnc故2 25nm 当23k 时，同理可得2 25nm 解法二：由（）可知1230,2cxx 当23k 时，得(0,2)Ac,由已知得(0,2)Cc 由椭圆的对称性可知B，2F，C 三点共线，因为点H（m，n）在1AFC的外接圆上，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理

25、，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！且12/F AF B，所以四边形1AFCH为等腰梯形.由直线2F B的方程为2()yxc,知点H 的坐标为(,22)mmc.因为1AHCF，所以222(222)mmcca，解得m=c（舍），或53mc.则2 23nc，所以2 25nm 当23k 时，同理可得n2 25m （22）（本小题满分14 分）已知等差数列na的公差为d（d0），等比数列nb的公比为q（q1）。设1 12 2.nnnSaba ba b,nT=1 1a b-2 2a b+.+(-11)n nna b,nN（）若1a=1b=1，d=2，q=3，求 3S 的值；（）若1b=1

26、，证明（1-q）2*2222(1)(1)(1),1nnndqqq Sq TnNq（）若正整数n 满足2nq，设1212,.,.,12.nnk kkl ll和是，n的两个不同的排列，12112.nkkknca ba ba b，12212.nlllnca ba ba b 证明12cc。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14 分。（）解：由题设，可得1*21,3,nnnanbnN 所以，31 12 23 31 1 3 35 955Saba ba b （）证明：由题设可得1nnbq则 2212

27、1232.,nnnSaa qa qa q 2321212342.,nnnTaa qa qa qa q 式减去式，得 321222422(.)nnnnSTa qa qa q 式加上式，得 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2222213212(.)nnnnSTaa qaq 式两边同乘q，得 321221321()2(.)nnnnq STa qa qaq 所以，222222(1)(1)()()nnnnnnq Sq TSTq ST 3212*22()2(1),1nnd qqqdqqnNqK()证明：11221212()()()nnklk

28、lklnccaa baabaabK 11112211()()()nnnkl dbkl db qkl db qK 因为10,0,db所以 11211221()()()nnnccklkl qkl qdbK（1）若nnkl，取i=n（2）若nnkl，取i 满足iikl且,1jjkl ijn 由（1）,(2)及题设知，1in 且 21121122111()()()()iiiiiiccklkl qklqkl qdbK 当iikl时，得1,1,1,2,3.1iiiiklqnklqii 由，得 即111klq，22()(1)kl qq q，2211()(1)iiiiklqqq 又11(),iiiikl qq 所以 1211211(1)(1)(1)(1)1iiiccqqqqqqqqdbqK 因此12120,cccc即 当iikl同理可得1211ccdb，因此12cc 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！综上，12cc