2023届高考数学一轮复习学案——不等式.docx

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1、高考数学一轮复习不等式不等式【知识点讲解】1.大小比较的方法第 21 页 共 21 页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（1）作差法（2）作商法（3）构造函数（4）加入中间量（5）反证法（6）放缩例1. 152 165 （填“”“”或“=”）。【答案】【详解】分母有理化有152=5+2 ,165=6+5 ,显然5+26+5 ,所以1520 ，试比较ab2+ba2 与1a+1b 的大小。【详解】 ab2+ba21a+1b=abb2+baa2 =ab1b21a2=a+bab2a2b2 。因为a+b0 ，ab20 ，所以a+bab2a2b20 、所以ab2

2、+ba21a+1b 。2. 不等式的性质（1）对称性：abbb，bcac（3）可加性：abacbc；ab，cdacbd（4）可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd（5）可乘方性：ab0anbn(nN，n2)（6）可开方性：ab0 (nN，n2)（7）分数性质：ab0 ,m0 ,ba b+ma+m ，ba bmam （bm0 且am ）；ab a+mb+m ，ab ambm （bm0 且bm ）（8）倒数性质：ab ,ab01a 1b ; 1a0a b 例3：(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是()A若ab，cd，则acbd B若ab0，bcad0，则0

3、C若ab，cd，则adbc D若ab，cd0，则【答案】BC【详解】若a0b,0cd，则ac0，bcad0，则0，化简得0，故B正确；若cd，则dc，又ab，则adbc，故C正确；若a1，b2，c2，d1，则1，1，1，故D错误故选B、C例4.（多选） 已知abc ，则下列不等式一定成立的是( )A. a+b2c B. abbc C. acbc D. 1acbc ，取a=1 ，b=0 ，c=1 ，则可排除BC 。因为a+b2c=ac+bc0 ，所以a+b2c ；因为1ac1bc=baacbc0 ，所以1ac0 ,b0 。（2）等号成立的条件：当且仅当a=b 时取等号。例5已知，且，则的最小值是

4、AB CD【答案】B【解析】已知，且，则，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是故选B4、几个重要的不等式（1）a2+b2 2ab ，a ,bR ；（2）ba+ab2 ,ab0 ；（3）aba+b22 ,a ,bR ；（4）a2+b22a+b22 ，a ,bR 。例6几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为ABCD【答案】D【解析】由ACa，BCb，可得圆O的半径r，又OCOBBCb，则F

5、C2OC2OF2，再根据题图知FOFC，即，当且仅当ab时取等号故选D5、利用基本不等式求最值问题已知x0 ，y0 ，则：（1）如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x=y 时，x+y 有最小值是2p （2）如果和x+y 是定值s ，那么当且仅当x=y 时，xy 有最大值是s24 例7已知()，函数的值域为，则的最小值为（ ）AB CD【答案】A【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；当时，为二次函数，又值域为，则，由题意可知，得，则，则，当且仅当时等号成立，故选A6、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x

6、1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0对一切实数x都成立，则k的取值范围是_【答案】k|0k0为一元二次不等式，所以k0，又一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，所以有解得即0k3，所以实数k的取值范围是k|0k37、 柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.（2）已知都是实数，则：（3）已知同号且不为0，则：例9若实数，则的最小值为（ ）A14BC29D【答案】B【解析】根据柯西不等式：，即，当且仅当，时等号成立.【对点训练】1设，则，的大小关系为ABCD2已知，且，则的最小值为A4B6C9D123已知，函若

7、数在总有且 ，则取值范围是（ ）A6，+)BC12，+)D(6，124设正数m，n，则的最大值是ABCD15已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）ABCD6已知正数、满足，则的最小值是ABCD7已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心已知，则角A的最大值为ABCD8材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；材料二：阿波罗尼奥斯在圆锥曲线论中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆根据材料一或材料二解答：已知中，则面积的最大值为AB

8、CD9已知，则下列结论正确的是（ ）AB的最小值为CD10设，则a，b，c的大小顺序为ABCD11已知，且，则的最小值是A8B6C4D212在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为ABCD13已知，则的大小关系为ABCD14设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为ABCD二、多选题15已知，且，则ABCD16若，则下列不等式成立的是ABCD17中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是AB的最大值为C的最小值为D的最小值为18设，为单位向量，满足，则，的夹角为，则的可能取值为（ ）ABCD1三、 填空题19已知，则的最小值为_20已知，若不等式恒成立，则的

9、最大值为_21在边长为1的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，半径分别为，则的最小值为_22已知是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为，则的形状为_；若为关于的两个实数根，则实数的值_23设，且，则的最小值为_24在中，角，所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为_.25已知，则的最大值是_26已知均为正实数，且，则的最小值为_【参考答案】1、【答案】C【解析】易知，显然成立所以故选C2、【答案】B【解析】由，得，因为，所以，即，解得或，又，所以，当且仅当，即时取等号故选B3、【答案】B【详解】在上恒成立即在上恒

10、成立，故在上恒成立，当时，当时，故，所以在上恒成立，令， 令，则，而在为增函数，故，所以，故，所以在的最小值为，故.因为恒成立，故对于任意恒成立，所以即.故选：B.4、【答案】B【解析】由题意，正数m，n，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值是为故选B5、【答案】C【详解】由题意知，直线为，设直线，的倾斜角分别为，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，则，.，当且仅当，即时取等号，又得最大值为，即，整理得，故椭圆的的离心率是.故选：C.6、【答案】C【解析】已知正数、满足，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是故选C7、【答案】A【解析】取的中点D，则，所以，因为，当且仅当时等

11、号成立，所以故选A8、【答案】C【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，其中，由题意，可知，且，故；当且仅当，即时取等号用材料二：以BC的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为，（为A到BC的距离），当且仅当时取等号故选C9、【答案】C【详解】记有，则，易知时有，A错误；，当且仅当时取等号，所以最小值为，B错误；记，则等价于，记，则，即单调递增，有，单调递减，则有，不等式得证，C正确；取，有，D错误故选：C10、【答案】A【解析】由，所以，所以，故选A11、【答案】A【解析】因为，且，所以，由，可得，所以，代入，得解得，因为，所以此时“等号”成立，故所求最小值为8故选A12、【答案】A【解析

12、】因为，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因为，所以，所以，解得所以的最大值为故选A13、【答案】B【解析】，为与的两个交点的横坐标且，如下图所示：由得，解得，当时，（当且仅当时取等号），故选B14、【答案】C【解析】当且仅当时成立，因此所以时等号成立故选C15、【答案】ACD【解析】对于A中，由，且，可得，由对数函数性质可知，为单调减函数，因为，所以，所以A正确；对于B中，由，可得，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；对于C中，由，因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，所以，所以C正确；对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确故选ACD16、【答案】CD【解析】本题考查利

13、用不等式的性质与函数的性质比较大小由，知，则，所以，故A不正确；因为，只有时等号成立，但，故故B不正确；因为，所以，故C正确；因为，所以，故D正确故选CD17、【答案】BD【解析】对于A，三点共线，A错误；对于B，（当且仅当时取等号），B正确；对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；对于D，（当且仅当时取等号），D正确故选BD18、【答案】CD【详解】设单位向量，的夹角为，由，两边平方得，解得，又，同理且，令，则，所以，即的取值范围为故选：CD19、【答案】2【解析】因为，所以，当且仅当时等号成立，所以最小值为2故答案为220、【答案】【解析】由题意，不等式恒成立，且，即为恒成立，即成立，由

14、，当且仅当，即，取得等号，即有，则的最大值为故答案为21、【答案】【解析】由已知得，故最小值为故答案为22、【答案】等边三角形 【详解】关于的方程的解集中只有一个元素,即，方程的根为，故三角形为等边三角形.为关于的两个实数根,即，解得故答案为：等边三角形；1223、【答案】【解析】因为，所以，所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为故答案为24、【答案】【详解】解：由题意得，所以,因为，所以，两边平方得，所以，得，所以，即，因为，当且仅当时取等号，所以，令，则，因为，所以得，所以当且仅当时， 取得最大值，故答案为：25、【答案】【解析】因为，所以，代入中，得，由（当且仅当时取等号），于是有（当且仅当时取等号），因为，所以，因此有（当且仅当时取等号），（当时取等号，即时，取等号），所以有（当且仅当时取等号），即（当且仅当时取等号），因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是故答案为26、【答案】20【解析】因为均为正实数，且，所以，则，当且仅当时取等号，则的最小值为20故答案为20