理学线性代数复习进程.ppt

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1、线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件理学线性代数线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件一一特征值，特征向量定义特征值，特征向量定义及性质及性质线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件一一.特征值，特征向量定义及其性质特征值，特征向量定义及其性质定义定义定义定义为阶方阵，为阶方阵，为数，为数，为维非零向量，为维非零向量，若若则则称为称为的的特征值特征值，称为称为的的特征向量特征向量（）（）注注注注并不一定唯一；并不一定唯一；阶方阵阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ，特征值问题只针对方阵；，特征值问题只针对方阵；有非零

2、解的有非零解的值，即满足值，即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件定义定义定义定义 称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程定义定义定义定义称以称以为变量的一元次多项式为变量的一元次多项式为为的的特征多项式特征多项式定理定理定理定理设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为则则线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件证明证明证明证明(1)(1)(1)(1)当是当是的特征值时，的特征值时，的特征多项的特征多项式可分解为式可分解为令令得得即即线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件证明证明证明证明(2)(

3、2)因为行列式因为行列式展开式中，主对角线上元素的乘积展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素多含个主对角线上的元素.线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件的项只能在主对角线的项只能在主对角线故有故有比较比较，有，有 因此，特征多项式中含因此，特征多项式中含上元素的乘积项中上元素的乘积项中定义定义定义定义 方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹.记为记为线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件例例例例1 1 1 1 求矩阵求矩阵的特

4、征值和特征向量，其中的特征值和特征向量，其中解解解解 的特征多项式为的特征多项式为的特征值为的特征值为线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件，对应的特征向量应满足，对应的特征向量应满足即即解得解得所以对应的特征向量可取所以对应的特征向量可取线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件，对应的特征向量应满足，对应的特征向量应满足即即解得解得所以对应的特征向量可取所以对应的特征向量可取显然，若显然，若是方阵是方阵A A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量，则的特征向量，则也是对应于也是对应于的特征向量。的特征向量。线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件例例例例2 2 2

5、2求矩阵求矩阵解解解解 的特征多项式为的特征多项式为所以所以的特征值为的特征值为的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件，解方程，解方程解得解得故故也是对应于也是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件，解方程，解方程解得基础解系为解得基础解系为故故也是对应于也是对应于的全部特征向量。的全部特征向量。线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件例例例例3 3 3 3求矩阵求矩阵的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。解解解解 所以所以的特征值为的特征值为线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课

6、件件，解方程，解方程解得解得所以对应于所以对应于的全部特征向量为的全部特征向量为线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件，解方程，解方程解得解得所以对应于所以对应于的全部特征向量为的全部特征向量为线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件证明证明则则即即类推之，有类推之，有特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质线线性

7、性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件4.一个特征向量不能属于不同的特征值

8、一个特征向量不能属于不同的特征值 因为，如果设因为，如果设x同时是同时是A的属于不同特征值的属于不同特征值1 1，2 2的特征向量，即有的特征向量，即有线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件二二对角化的条件对角化的条件线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件二二.对角化的条件对角化的条件定理定理定理定理 若若n n阶方阵阶方阵A A与与B B相似，则相似，则A A与与B B有相同的特征多项式有相同的特征多项式从而从而A A与与B B的特征值也是相同的。的特征值也是相同的。推论推论 若阶矩阵若阶矩阵与对角阵与对角阵是是A A的的n n个特征值个特征值。相似，则相似，则线线性性代

9、代数数课课件件线线性性代代数数课课件件定理定理若阶矩阵若阶矩阵与一个对角阵相似的充分必要条件与一个对角阵相似的充分必要条件是有是有n n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。推论推论如果阶矩阵如果阶矩阵的的n n个特征值各不相等，则个特征值各不相等，则A A与与对角矩阵相似。对角矩阵相似。注：给出了一个判断矩阵注：给出了一个判断矩阵A A能否能够对角化的充要条件能否能够对角化的充要条件.即：若即：若A有有n个线性无关的特征向量，则个线性无关的特征向量，则A可对角化；可对角化；若若A的所有线性无关的特征向量的个数小于的所有线性无关的特征向量的个数小于n，则则A不可对角化。不可对角化。线线性

10、性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件例例 设设的一个特征向量为的一个特征向量为（1 1）求参数）求参数a,ba,b的值及的与特征向量的值及的与特征向量p p对应的特征值。对应的特征值。（2 2）与对角阵是否相似？）与对角阵是否相似？解解（1 1）设的与特征向量）设的与特征向量p p对应的特征值为对应的特征值为，可得方程组可得方程组 （A-A-EE）p=0,p=0,即即线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件即即解得解得线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件（2）与对角阵是否相似？）与对角阵是否相似？由由知知A有三重根有三重根r(A+E)=2,n-r=3-2=1,因而因而A的与的与=-1=-1对应的线性无对应的线性无关的特征值只有一个，所以关的特征值只有一个，所以A A不与任何对角阵相似。不与任何对角阵相似。线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件三三小结小结线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件三三.小结小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：线线性性代代数数课课件件线线性性代代数数课课件件此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢