北师大版九年级数学7、切线长定理.ppt

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1、相交相交相切相切OOO相离相离问题问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？直线与圆的位置关系有哪几种？问题问题2 2：平面上点与圆的位置关系有哪几种？平面上点与圆的位置关系有哪几种？OOOP PP问题问题3 3、过平面外一点如何做圆的切线过平面外一点如何做圆的切线?OPAB切线长：切线长：从从圆外一点圆外一点引引圆的切线，这点和切点之间的圆的切线，这点和切点之间的 线段的长线段的长，叫做这点到圆的切线长。，叫做这点到圆的切线长。问题问题4 4、切线与切线长的区别是什么切线与切线长的区别是什么?OPAB（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上

2、某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。探究：探究：若从若从OO外的一点引两条切线外的一点引两条切线PAPA，PBPB，切，切点分别是点分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能从中找你能从中找出那些相等的量？出那些相等的量？APO。BPA=PBOPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的从圆外一点引圆的两条切线两条切线，它们的，它们的切切线长相等线长相等，圆心和这一点的连线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角平分两条切线的夹角。APO。B我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五

3、个五个 性质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个APO。BM思考：思考：若连结两切点若连结两切点A A、

4、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分垂直平分ABAPO。B思考：思考：若延长若延长POPO交交OO于点于点C C，连结，连结CACA、CBCB，你又能得出什么新的结论你又能得出什么新的结论?并给出证明并给出证明.CA=CBC例例1 1.PA.PA、PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交交于于OO于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有

5、的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC2.P.Ao.BEDC（5）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径 OA42 解解:设设 OA Xcm;则则 OP=OD+PD=X+2(cm)PA=4 cm 在在 RtOAP 中，中，所以，半径所以，半径OAOA的长为的长为3cm3cm解之得解之得 X=3 cm X=3 cm例例2：（：（1）如图，已知）如图，已知 O的半径为的半径为3cm，点，点P和圆心和圆心

6、O的距的距离为离为 6cm，经过点，经过点P有有 O的两条切线的两条切线PA、PB，则切线长为，则切线长为_cm，这两条切线的夹角为，这两条切线的夹角为_ABP.O.，AOB=_1200P（2）如图，从）如图，从 O外一点外一点P作作 O的两条切线，分别切的两条切线，分别切 O于于A，B，在，在AB 上任取一点上任取一点C作作 O的切线分别交的切线分别交PA、PB于于D、EB.DCEOA.若若PA=2，则，则PDE的周长为的周长为_;连结连结OD，OE，42a700若若PA=a，则，则PDE的周长为的周长为_DOE=_若若P=,则则若若P=400，则，则DOE=_;.O例例3：数学课上，数学老

7、师把一个乒乓球放在一个数学课上，数学老师把一个乒乓球放在一个V形架形架中，如图是它的平面示意图，中，如图是它的平面示意图，CA、CB是是 O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A、B，某同学通过测量，量得，某同学通过测量，量得AB=4cm，ACB=600，如何求出乒乓球的直径？，如何求出乒乓球的直径？CABD CA、CB是O的切线 切点分别是A、BOB BC B为切点 CA=CB OC 平分ABC AD=BD=AB=2cm OCAB OCB=ACB=30在RTBDO中 OBD=30解：连接OC、OBBOD=60OB=2OD设O半径是 r 则A AB BC C思考思考:如图是一张三角形的铁皮，如

8、何在它上面截下一如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？A AB BC CD DF FE E.问题：如图问题：如图ABC，要求画，要求画ABC的内切圆，的内切圆，如何画？如何画？已知：已知：ABC求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆BCAID作作法法：1、作作B、C的的平平分分线线BM、CN，交点为交点为I2、过点、过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 II就是所求的圆就是所求的圆 NM与三角形各边都相切的圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的叫做三

9、角形的内切圆内切圆ABCIDEF三角形三角形内切圆内切圆的圆心叫做三角形的圆心叫做三角形的的内心内心这个三角形叫做这个三角形叫做圆圆的的外切三角形外切三角形三角形的三角形的内心内心就是三角形的三个内角就是三角形的三个内角角平分线的交点角平分线的交点三角形的三角形的内心内心到三角形的三边的距到三角形的三边的距离相等离相等o外切圆圆心：外切圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外切圆的半径：外切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离。角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交

10、点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。A AA AB BB BC CC C例例4 4：已知：已知：ABC中中,ABC=50,ACB=70,点点O是内心，求是内心，求BOC的度数。的度数。ABCO练习练习1 1.如图，如图，ABCABC中中,C=90,C=90,它的内切圆它的内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相相 切切于点于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求 O O的半径的半径r.r.OEBDCAF解：连结解：连结OD,OE,OF O与与ABC三边相切，三边

11、相切，切点分别为点切点分别为点D 、E、F BEBD=12 AFAF=8 CECFC90四边形四边形OECF是矩形是矩形且且OE BC OF AC 又又OE OF矩形矩形OECF是正方形是正方形BC BE+CE12+r AC AF+CF8+r ABBD+AD12+820 CECFOE OF设 O半径为半径为r 则则CE CF r12812rr8BC 2+AC 2AB 2(12+r)2+(8+r)2 =202144+24r+r2+64+16r+r2=400 解得解得 r=4答：O的半径的半径r是是4 例例5 5.如图所示如图所示PAPA、PBPB分别切圆分别切圆O O于于A A、B B，并与圆并

12、与圆O O的切线分别相交于的切线分别相交于C C、D D，已已 知知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周长的周长(2)(2)如果如果P=46,P=46,求求CODCOD的度数的度数C OPBDAE练习练习练习练习5 5：ABCABC的内切圆的内切圆的内切圆的内切圆 O O与与与与BCBC、CACA、ABAB分别相切于分别相切于分别相切于分别相切于 点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长.解解:设设设设AF=x(cm),BD=y(

13、cm),CEAF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm)z(cm)AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDAE,BDBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xy y9 9y yz z1414x xz z1313解得解得解得解得x x4 4y y5 5z z9 9 AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).学习活动.oBACDPMNL如图：已知四边形如图：已知

14、四边形ABCDABCD的边的边AB,BC,CD,DA AB,BC,CD,DA 和和oo分别相切于点分别相切于点L,M,N,PL,M,N,P 求证：求证：AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC证明：证明：AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA都和都和oo相切，相切，L,M,N,P L,M,N,P是切点是切点AL=AP,BL=BM,CN=CM,DN=DPAL=AP,BL=BM,CN=CM,DN=DPAL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DPAL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP =AP+DP+MB+MC =AP+DP+MB+MC 即即AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+

15、BC 圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等试问：试问：若图中四边形若图中四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，那么此四边那么此四边 形还是什么图形？形还是什么图形？菱形菱形BDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,r,ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a

16、、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=AD=x x,BE=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr rb by yr ra ax xy yc c解：解：设设RtABC的内切圆与

17、三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=AD=x x,BE

18、=,BE=y y,CE,CE r r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有则有则有x xr r4 4y yr r3 3x xy y5 5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得 r r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与相切的最大圆与BCBC、ACAC的切点的切点分别为分别为B B、D,D,连结连结OBOB、OD,OD,则四则四边形边形BODCBODC为正方形。为正方形。ABODCOBOBBCBC3 3半径半径r r的取值范围为的取值范围为0 0r3r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。同学们要好好学习！同学们要好好学习！老师期盼你们快快进步！老师期盼你们快快进步！