3.5等比数列的前n项和（第一课时）.docx

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1、3.5等比数列的前n项和（第一课时）等比数列前n项和 课题：等比数列前n项和（两课时）运用方法1上课前留意自主预习完成学案导学和探究部分2上课时小组探讨沟通解决自己不会的问题学习目标1驾驭等比数列的前n项和公式及公式证明思路2会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简洁问题重点难点等比数列的前n项和公式当时，或当q=1时，当已知,q,n时用公式；当已知,q,时，用公式.推导方法错位相减法一般地，设等比数列它的前n项和是由得当时，或当q=1时，推导方法等比定理有等比数列的定义，依据等比的性质，有即（结论同上）等比数列前项的和是，那么，成等比数列等比数列的前n项和公式与函数 探究沟通1求等

2、比数列1，2，4，从第5项到第10项的和2一个等比数列前项的和为前项之和，求 3已知是数列前项和，（，），推断是否是等比数列 4在等比数列中，前项和，求和公比 5设数列为求此数列前项的和课堂反馈【选择题】1若等比数列的前项和，则等于（）ABCD2已知数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（）0?Bn?na?a3已知等比数列中，=23，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和的值为（）31?B3(31)?4实数等比数列，则数列中（）随意一项都不为零?B必有一项为零至多有有限项为零可以有多数项为零5在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（）ABCD6在等比数列中，使的最

3、小的值是（）【填空题】7已知数列的前n项和=n,则.8一个数列的前n项和为=12+34+(1)n,则S?9已知正项等比数列共有2m项，且=9()，=4(),则=,公比q=.10在等比数列中，已知，则11已知等比数列的前项和为，且，成等差数列，则的公比为【解答题】12在等比数列中，已知：，求13设等比数列的前项和为，若，求数列的公比 14各项均为正数的等比数列，若前前项和为，且，求15已知等比数列共有项，前项和为，其后项和为，求最终项和 16三个互不相等的数成等差数列，假如适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数 17.已知数列是首项，公比的等比数列，是其前项和，且，成

4、等差数列（）求公比的值；（）求的值 18.已知数列中，是它的前项和，且，设（）（）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）求证： 说课题目：等比数列的前n项和（第一课时）说课题目：等比数列的前n项和（第一课时） （选自人教版中学数学第一册（上）第三章第五节） 一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看 等比数列的前n项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类探讨、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养 2.从学生认知角度看 从学生的思维特点看，很简单把本节内

5、容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是主动因素，应因势利导不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特别状况，学生往往简单忽视，尤其是在后面运用的过程中简单出错 3.学情分析 教学对象是刚进入中学的学生，虽然具有肯定的分析问题和解决问题的实力，逻辑思维实力也初步形成，但由于年龄的缘由，思维尽管活跃、灵敏，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨 4.重点、难点 教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用 教学难点：公式的推导方法和公式的敏捷运用 公式推导所运用的“错位相减法”是中学数学数列求和方法中最常用

6、的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点 二、目标分析 学问与技能目标： 理解并驾驭等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题 过程与方法目标： 通过对公式推导方法的探究与发觉，向学生渗透特别到一般、类比与转 化、分类探讨等数学思想，培育学生视察、比较、抽象、概括等逻辑思维实力和逆向思维的实力 情感与看法价值观： 通过对公式推导方法的探究与发觉，优化学生的思维品质，渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点 三、过程分析 学生是认知的主体，设计教学过程必需遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经验学问的形成与发展过程，结合

7、本节课的特点，我设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题 在古印度，有个名叫西萨的人，独创了国际象棋，当时的印度国王大为赞许，对他说：我可以满意你的任何要求西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，其次格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？ 设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的爱好，调动学习的主动性故事内容紧扣本节课的主题与重点 此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和这

8、时我对他们的这种思路赐予确定 设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，老师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急连忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，老师为什么不相加而立刻相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造学问形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动，探究问题 在确定他们的思路后，我接着问：1，2，22，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？ 探讨1：，记为（1）式，留意视察每

9、一项的特征，有何联系？（学生会发觉，后一项都是前一项的2倍） 探讨2：假如我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有，记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发觉？ 设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在老师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不行思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培育学生的辩证思维实力的良好契机 经过比较、探讨，学生发觉：（1）、（2）两式有很多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？ 设

10、计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发觉上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探究过程中，充分感受到胜利的情感体验，从而增加学习数学的爱好和学好数学的信念 3.类比联想，解决问题 这时我再顺势引导学生将结论一般化， 这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导 设计意图：在老师的指导下，让学生从特别到一般，从已知到未知，步步深化，让学生自己探究公式，从而体验到学习的开心和成就感 对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类探讨，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础） 再次追问：结合等比数列的通项公式

11、an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对学问的相识，完善学问结构，另一方面使学生由简洁地仿照和接受，变为对学问的主动相识，从而进一步提高分析、类比和综合的实力这一环节特别重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用 4.探讨沟通，延长拓展 在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道, 那么我们能否利用这个关系而求出sn呢？依据等比数列的定义又有，能否联想到等比定理从而求出sn呢？设计意图：以疑导思，激发学生的探究欲望，营造一个让学生主动视察、思索、探讨的氛围

12、.以上两种方法都可以化归到,这其实就是关于的一个递推式，递推数列有特别重要的探讨价值，是探讨性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用. 5.变式训练,深化相识 首先，学生独立思索，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结 设计意图：采纳变式教学设计题组，深化学生对公式的相识和理解，通过干脆套用公式、变式运用公式、探讨公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参加教学，以此培育学生的参加意识和竞争意识 6.例题讲解，形成技能 设计意图：解题时，以学生分析为主，老师适时赐予点

13、拨，该题有意培育学生对含有参数的问题进行分类探讨的数学思想 7.总结归纳，加深理解 以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，激励学生主动回答，然后老师再从学问点及数学思想方法两方面总结 设计意图：以此培育学生的口头表达实力，归纳概括实力 8.故事结束，首尾呼应 最终我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.841019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，明显国王兑现不了他的承诺 设计意图：把引入课题时的悬念赐予释疑，有助于学生克服疲乏、接着主动思维 9.课后作业，分层练习 必做：P129练习1

14、、2、3、4 选作： （2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？设计意图：出选作题的目的是留意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思索的空间 四、教法分析 对公式的教学，要使学生驾驭与理解公式的来龙去脉，驾驭公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系在教学中，我采纳“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探究规律、总结规律、应用规律四个阶段 利用多媒体协助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分绽开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率 五、评价分析 本节课通过三种推导方法的探讨，使学生从不同的

15、思维角度驾驭了等比数列前n项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回来定义，自然朴实学生从中深刻地领悟到推导过程中所蕴含的数学思想，培育了学生思维的深刻性、敏锐性、广袤性、批判性同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了学问，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培育了学生自主学习、合作沟通的学习习惯，也培育了学生勇于探究、不断创新的思维品质 2.5等比数列的前n项和(4)学案 2.5等比数列的前n项和(4) 学习目标1.进一步娴熟驾驭等比数列的通项公式和前n项和公式；2.会用公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简洁问题

16、. 学习过程一、课前打算（预习教材P57P62，找出怀疑之处）复习1：等比数列的前n项和公式.当时，当q=1时， 复习2：等比数列的通项公式.=.二、新课导学学习探究练2.求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，的前n项和Sn. 三、总结提升学习小结1.等比数列的前n项和与通项关系；2.等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是，则数列，也成为等比数列.学问拓展1.等差数列中，；2.等比数列中，.学习评价自我评价你完成本节导学案的状况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.等比数列中，则（）.A.21B.12C.18D.242.在等比

17、数列中，q2，使的最小n值是（）.A.11B.10C.12D.93.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数(11111111)转换成十进制的形式是（）.A.B.C.D.4.在等比数列中，若，则公比q.5.在等比数列中，则q，n.课后作业1.等比数列的前n项和，求通项.2.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和； 等比数列的前n项和等比数列的前n项和教学目标1.把握等比数列前项和公式,并能运用公式解决简洁的问题.(1)理解公式的推导过程,体会转化的思想;(2)用方程的思想熟识等比数列前

18、项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二;2.通过公式的敏捷运用,进一步渗透方程的思想、分类探讨的思想、等价转化的思想.3.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的练习,培育他们实事求是的科学看法.教学建议教材分析(1)学问结构先用错位相减法推出等比数列前项和公式,而后运用公式解决一些问题,并将通项公式与前项和公式结合解决问题,还要用错位相减法求一些数列的前项和.(2)重点、难点分析教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类探讨思想,错位相减法等),这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及,所以对等比数列前项和公式的要求,不单是

19、要记住公式,更重要的是把握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分状况探讨的,在运用中要非凡注意和两种状况.教学建议(1)本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用,另外应补充一节数列求和问题.(2)等比数列前项和公式的推导是重点内容,引导学生视察实例,发觉规律,归纳总结,证明结论.(3)等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出,提高学生学习的爱好.(4)编拟例题时要全面,不要忽视的状况.(5)通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量,已知其中三个量可求另两个量,但解指数方程难度大.(6)补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.教学设计

20、示例课题:等比数列前项和的公式教学目标(1)通过教学使学生把握等比数列前项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.(2)通过公式的推导过程,培育学生猜想、分析、综合实力,提高学生的数学素养.(3)通过教学进一步渗透从非凡到一般,再从一般到非凡的辩证观点,培育学生严谨的学习看法.教学重点,难点教学重点是公式的推导及运用,难点是公式推导的思路.教学用具幻灯片,课件,电脑.教学方法引导发觉法.教学过程一、新课引入:(问题见教材第129页)提出问题:(幻灯片)二、新课讲解:记,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.(板书

21、)即,-得即.由此对于一般的等比数列,其前项和,如何化简?(板书)等比数列前项和公式仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同乘以等比数列的公比,即(板书)两端同乘以,得,-得,(提问学生如何处理,适时提示学生注意的取值)当时,由可得(不必导出,但当时设想不到)当时,由得.于是反思推导求和公式的方法错位相减法,可以求形如的数列的和,其中为等差数列,为等比数列.(板书)例题:求和:.设,其中为等差数列,为等比数列,公比为,利用错位相减法求和.解:,两端同乘以,得,两式相减得于是.说明:错位相减法事实上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类探讨即可.三、小结:1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;2.用错位相减法求一些数列的前项和.四、作业:略.五、板书设计:等比数列前项和公式例题第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页