同济大学高等数学第六版上第一章第五节 极限运算法则.ppt

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1、极限运算法则极限运算法则 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量

2、称为无穷小无穷小.例如例如,注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证注意注意无穷多个无穷小的代数和

3、未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混

4、淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.无界，无界，不是无穷大不是无穷大证证三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.四、极限运算法则四、极限运算法则定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得有界，有界，注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基

5、本原则：此定理证明的基本原则：(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论有两个重要的推论推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2定理的条件：定理的条件：存在存在商商的情形还须加上分母的极限不为的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立任何一个过程都成立五、求极限方法举例五、求极限方法举例例

6、例1 1解解小结小结:例例2 2解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例3 3解解(消去零因子法消去零因子法)例例4 4解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5解解先变形再求极限先变形再求极限.由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形

7、，以创造应用定理的条件，有有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。关系求极限。六、复合函数极限六、复合函数极限定理定理 （复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则变量代换法则变量代换法则）证证由由极限定义得极限定义得此定理表明：此定理表明：则可作则可作代换代换极限过程的转化极限过程的转化注注可得类似的定理可得类似的定理无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1）无

8、穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.六、小结六、小结3.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;4.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题1思考题思考题2 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？思考题思考题1解答解答不能保证不能保证.例例有有思考题思考题2解答解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误