(完整版)费业泰误差理论与数据处理课后答案全...docx
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1、(完整版)费业泰误差理论与数据处理课后答案全.误差理论与数据处理练习题 参考答案 第一章绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa, 该压力用更精确的方法测得为 100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少? 在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活 塞压力计测量值的 肯定误差=测得值实际值= 100.2 - 100.5 = - 0.3 ( Pa )。0 3 相对误差 = 100% 0.3% 100.5 2 2 1-9 运用凯特摆时, g 由公式 g=4 n ( h 1 +h 2 ) /T 给定。今测出长度( h 1 +h 2
2、)为( 1.04230 ± 0.00005 ) m ,振动时间 T 为 ( 2.0480 ± 0.0005 ) s 。试求 g 及其最大相对误差。假如 ( h 1 +h 2 ) 2 测出为 ( 1.04220 ± 0.0005)m ,为了使 g 的误差能小于 0.001m/s , T 的测量必需精确到多少? 测得( h 1 +h 2 )的平均值为 1.04230 ( m ) , T 的平均值为 2.0480 ( s )。h 2 ) , 得:当 (h 1 h 2 ) 有微小改变 (h 1 h 2 ) 、 T 有 T 改变时,令 h h 1 h 2 g 的
3、改变量为: g 八g 十 4 2 8 2g (h h 2 ) T 2 5 g) 3h 2 ) T (h d)1 TT 4 2 2 T T 25 h 2 ) T (h h 2 ) 2.0480 21.04230 9.81053(m/s 2 )2 T h) g 的最大相对误差为: 0.00055(s) 检定 2.5 级(即引用误差为 2.5% )的全量程为 100V 的电压表,发觉 50V 刻度点的 2V 为最大误差,问该电压表是否合格? 引用误差=示值误差/测量范围上限。所以该电压表的引用误差为:所以该电压表合格。1 - 13 多级弹导火箭的射程为 10000km 时,其射击偏离预定点不超过 0
4、.1km ,优秀射手能 在距离 50m 远处精确地射中直径为 2cm 的靶心,试评述哪一个射击精度高 ? 解:多级火箭的相对误差为: 01 0.00001 0.001% 10000 射手的相对误差为:1cm 0.01m0.0002 0.002% 50m 50m 1 g g 4 人 h 2T Th 4h 2 ) 0.00005 2 ( 0.0005) pl h 2TT h 4 4 石 1.04230 2.0480 100% 0.054% 假如 (h 1h 2 )测出为( 1.04220 ± 0.0005)m ,为使 g 的误差能小于 0.001m/s 2 ,即:g 0.001 也即
5、 g 4 T 2 4 22.0480 20.0005 (h i h 2 ) 0.0005 1.01778 (h 1h 2 ) 0.001 口 1.04220 2.0480T 0.00106 0.001 1-10. 示值误差r m VU -2% U m100 由于:2%lt;2.5% 求得:2多级火箭的射击精度高。附加 1 1 测得某三角块的三个角度之和为 180 ° 00 02 , 试求测量的肯定误差和相对误 差 180 ° 00 02 180 ° 2 2 2 _ 2 180 °180 60 60 _ 648000解:肯定误差等于: 相对误差等于: 0.0000
6、0308641 0.000031%3其次章误差的基本性质与处理 2-2. 试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 不同?单次测量的标准差 表征同一被测量 n 次测量的测量值分散性的参数,可作为测量列 算术平均值的标准差 是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数,可 x 作为算术平均值不行靠性的评定标准 x • 、一n 在 n 次测量的等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量标准差的 量次数 n 愈大时 ,算术平均值愈接近被测量的真值,测量精度也愈高。2-3• 试分别求出听从正态分布、反正弦分布、匀称分布误差落在 率。( 1 )误差听从正态分布时 (2 )误差
7、听从反正弦分布时 ,两者物理意义和实际用途有何 x 中单次测量不行靠性的评定标准。1 22 2L 1 n ,当测 中的概 P( 、 2)、;一 (2 引入新变量 t: t t ,经变换上式成为: _ 2 P( 2 ) - rt 22 dt (t) 2 0.4195 0.84 84% 因反正弦分布的标准差为: a amp; ,所以区间 2,2 a, a ,4故 :P (,2 )(3 )误差听从匀称分布时2-4. 测量某物体重量共 8 次,测得数据(单位为 g )为 236.45 , 236.37 , 236.51 , 236.34 , 236.39 , 236.48 , 236.47 , 236
8、.40 ,求其算术平均值及其标准差。选参考值 x 236.00 ,计算差值 x ix i236.00 、 x 0 和残差 v i 等列于表中。序匕 Xi A A -iV? 1 236.45 0. 45 +0. 02 0. 0004 n 236.37 0, 37 -0 06 D. 0036 3 236.51 0, 51 +0. 08 D. 0064 4 236.34 0. 34 -0 09 0. 0081 3 236.39 0. 39 -0. 04 0. 0016 6 236.4S 0. 48 +0. 05 0. 0025 T 236.47 0. 47 +0. 04 0,0016 8 236,
9、40 0. 40 -0. 03 0, 0009工=心 + A.ro = 236.43 - | » A. VD= -* = 0.43乙= -0-03 jl 8 1-7-0,0251 i«L 或依算术平均值计算公式, 18n=8 ,干脆求得:x x i236.43(g) 8 i 1 2 - 6 测量某电路电流共 5 次,测得数据 ( 单位为 mA)为 168.41 , 168.54 , 168.59 , 168.40 ,2 d因其标准差为: 3 ,所以区间 1 讣 a2a 1 2a ; a 0.82 82% 计算标准差:用贝塞尔公式计算: 0.0251 8 10.06(g)
10、 0.06 8 0.02 A 彳 a ,故x 5168.50 。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。解:5 I i f 168.49(mA)2 7 在立式测长仪上测量某校对量具, 重复测量 5 次,测得数据 ( 单位为 mm 为 20.0015 , 20.0016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011 。若测量值听从正态分布,试以 99 %的置信概率确 定测量结果。解: 求算术平均值 nl i x i 120.0015mm n 求测量列单次测量的标准差0.08 0.0452、(I i I) i 1 2 0.08 3 . 5 1 354 .4 0.08 5 5 1
11、 50.05 R 0.6745 0.02 x 0.06 T 0.7979 0.03 x 用贝塞尔公式计算: 26 10 82.55 10 4mm 用别捷尔斯公式计算: n V i 1.253丄 Jn(n 1) 1.253 0 . 0008V54 2.24 10 4 mm 求算术平均值的标准差 2.55 10 .5 4 4 - = 1.14 10 mm6 lim X t 2.60 2.55 10 46.63 10 40.00066 算术平均值的极限误差:lim X tx 2.60 1.14 10 42.964 10 40.0003 写出最终测量结果 L x lim x 20.0015 0.000
12、3 mm 2 10 用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差= 0.001mm, 若要求测量的允许极 限误差为土 0.0015mm, 而置信概率 P 为 0.95 时,应测量多少次? 解:依据极限误差的意义,有依据题目给定得已知条件,有 t 0.0015 ,-1 5 •、n 0.001现自由度为 :v = 查 t 分布表有:n 1 = 4 ; t = 4.60 a= 1 0.99 = 0.01 , 单次测量的极限误差: lim X t 4.60 4 2.55 10 1.173 10 33 1.17 10 mm 算术平均值的极限误差: lim X t X 4.60 1.14 10 45
13、.24 4 10 mm 写出最终测量结果 做法 2 : L X lim X 20.0015 5.24 10 4mm 求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 做法 1 : 因 n = 5 较小,算术平均值的极限误差应按 t 分布处理。因假设测量值听从正态分布,并且置信概率 P=2 (t)=99% ,则 ( t)=0.495 ,查正态分布积 分表,得置信系数 t 2.6 单次测量的极限误差:2.24 10 .5 =0.0001 0.00157查教材附录表 3 有 若 n = 5 , v = 4 ,a= 0.05 ,有 t = 2.78 , t 2.78 2.78 I- 24 .n . 5 2.
14、236 若 n = 4 , v = 3 , a= 0.05 ,有 t = 3.18 ,即要达题意要求,必需至少测量 5 次。2-11 已知某仪器测量的标准差为 0.5 卩若在该仪器上,对某一轴径测量一次,测得 值为 26.2025mm, 试写出测量结果。若重复测量 10 次,测得值(单位为 mr )为 26.2025 , 26.2028 , 26.2028 , 20.2025 , 26.2026 , 26.2022 , 20.2023 , 26.2025 , 26.2026 , 26.2022 , 试写出测量结果。若手头无该仪器测量的标准差值的资料,试由中 10 次重复测量的测 量值,写出上述
15、、的测量结果。解: 单次测量的极限误差以 3 b 计算 :im x 3 3 0.5 1.5( m) 0.0015(mm) 所以测量结果可表示为:26.2025 ± 0.0015 (mm) 重复测量 10 次,计算其算术平均值为:取与相同的置信度,算术平均值的标准差 lim x 3x 3 1 . 58则测量结果为:x 3 x26.2025 0.0005 (mm) 若无该仪器测量的标准差资料,则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值 X 。26.202 ,计算差值 X i X i 26.202 、 Q 和残差 W 等列于表中。t 3.18 .n - 4 3.18
16、2 1.59 x i X i 1 26.2025(mm) x0.0 005= 1.58 10 -4mm .10 10 -44.74 10 -45 10 -4 mm108 2.210 4 mm差分别为 c 1 =3.1 , (T 2 =13.8,试求加权算术平均值及其标准差。已知各组测量的标准差,可确定各组的权。1 :1 2 : 2 3.1 13.8 取:p 119044, p 2961 选取 _ 0 24 1336 ,可由公式干脆计算加权算术平均值和标准差:序号 Xi A .Yi2 gt;7 1 26.2025 0.0005 0 0 2 26.2028 0. 0008 +0. 0003 9X1
17、0 3 26.2028 0. 0008 K) 0003 9X10 - * 4 20 2025 0. OOQo 0 0 5 26.2026 0. 0006 P. 0001 1X 10 86 26.2022 0* 0002 -0. 0003 gxKT 7 20.2023 0. 0003 -0. 0002 4X10 -9S 26.2025 0. 0005 0 0 9 26.2026 0. 0006 +O. 0001 1X10 - * 10 26.2022 0.0002 -o. 0003 9X10 -4 x = + A,ro = 26.2025 1 m A.vo - V - 0 P 0005 1 昭2
18、 = 42x10* n 用贝塞尔公式计算: V i 2算术平均值的标准差: 2.2 10 40.00007 mm 取与相同的置信度,则测量结果为: x i 3此时的测量结果为 26.2025 3 0.00022 26.2025 的测量结果为 26.2025 3 0.00007 26.2025 0.00066 26.2025 0.0007 (mm) ; 0.00021 26.2025 0.0002 (mm). 2-13 测量某角度共两次,测得值为 a 1 =24° 1336, a 2 =24° 1324,其标准 P l : P 2 19044:961 9.61 190.44 i
19、1 n 19 加权算术平均值的标准差的计算,先求两测量结果的残余误差: V 1 0.6,V 2 11.4 算术平均值的标准差为: 9044 0.6 2961 ( 11.4) 266 V (2 1)(19044 961) . 2-15• 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为 n 乘以任一个测量值的权。因为等精度测量,可设 n 个测得值的标准差均为 ,且其算术平均值的标准 差为:xn 又设各测量值的权相等,即:P 1 P 2 P i P 0 。n 个相等精度测得值的平均值的权为 p x ,贝 U : n 个相等精度测得值的平均值的权 P x 与各测得值的权 1 1 n 1 P i
20、(i 1,2.n) 的比为 p x : p 2 : 2 : n:1 x i P x np i 2-17 对某量进行 10 次测量,测得数据为 14.7 , 15.0 , 15.2 , 14.8 , 15.5 , 14.6 , 14.9 , 14.8 , 15.1 , 15.0,试推断该测量列中是否存在系统误差。解:先计算算术平均值:x 14.96 。各测量数据的残余误差分别为:V 0.26 v 60.36 v 20.04 v 30.24 v 40.16 v 50.54 v 70.06 v 80.16 v 90.14 v 100.04 根 据 残 余 误 差 观 察 法 :计 算 出 的 残 余
21、 误 差 符 号 正 负 个 数 相 同 , 且 无 显 著 变 化 规 律 ,P i i i 1 o m P i i 1 24 13354 24 1336 19044 0 961 (12) 19044 96110因此可推断该测量列无改变的系统误差存在。 采纳不同公式计算标准差比较法。 ( 马利科夫准则 )按残余误差校核法:前 5 个残余误差和与后 5 个残余误差的差值 为两部分之差显著不为 0 ,则有理由认为测量列中含有系统误差。 阿卑 - 赫梅特准则 n 10.26 0.04 0.04 0.24 0.24 0.16 0.16 0.54 u vw 1 i 1 0.54 0.36 0.36 0
22、.06 0.06 0.16 0.16 0.14 0.14 0.0 0.3056 0.3 、 n 1 2.9 0.263 20.21 u .百 20.21 所以测量列中含有周期性系统误差 (为什么会得出互为冲突的结论?问题出在本题给出的数据存在粗大误差 们在推断是否有系统误差前,应先剔除粗大误差,然后再进行系统误差推断。2-18 、对某一线圈电感测量 10 次,前 4 次是和一个标准线圈比较得到的, 个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为 mH ):50.82 , 50.83 , 50.87 , 50.89 ; 50.78 , 50.78 , 50.75 , 50.85 , 50.82 ,
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