二项式定理导学案.docx

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1、二项式定理导学案二项式定理学案 1.5.1二项式定理一、学问要点1.二项式定理：2.通项：3.二项式系数与项的系数：二、典型例题例1.绽开下列各式： 例2.求的绽开式中第4项的二项式系数和系数.例3.求的二项绽开式中的常数项. 例4.已知在的绽开式中，第6项为常数项.求；求含的项的系数；求绽开式中全部的有理项. 三、巩固练习1.的绽开式为.2.的绽开式中第3项的二项式系数是，第3项的系数为.3.写出的绽开式第项()为.4.的绽开式中含的项为.5.的绽开式中的常数项为. 四、课堂小结 五、课后反思 六、课后作业1.绽开式中项的系数为.2.的绽开式中，含的项的系数是.3.在绽开式中，项的系数是15

2、，则实数=.4.化简=.5.的绽开式中的常数项为.6.若的绽开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则的取值范围是.7.绽开式中，含项的系数为.8.若的绽开式中的第3项与第5项的系数相等，求绽开式中的系数. 9.二项式的绽开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，求绽开式中的常数项. 10.求绽开式中的全部的含的有理项. 订正栏： 排列组合二项式定理1排列组合二项式定理1 教学目标(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结论;(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;(3)正确区分加法原理与乘法原理,哪一个原理与分类有关,哪一个原理与分步有关;(4)能应用加法原理与乘

3、法原理解决一些简洁的应用问题,提高学生理解和运用两个原理的实力;(5)通过对加法原理与乘法原理的学习,培育学生周密思索、细心分析的良好习惯。教学建议一、学问结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是精确区分加法原理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是简单理解的,甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯穿整个内容之中,一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有很多干脆应用。两个原理回答的,都是完成一件事的全部不同方法种数是多少的问题,其区分在于:运用加法原理的前提条件是,做一件事有n类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都

4、可以完成此事,就是说,完成这件事的各种方法是相互独立的;运用乘法原理的前提条件是,做一件事有n个骤,只要在每个步骤中任取一种方法,并依次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是相互依存的。简洁的说,假如完成一件事情的全部方法是属于分类的问题,每次得到的是最终结果,要用加法原理;假如完成一件事情的方法是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次:第一是对两个计数原理的相识与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义,并弄清两个计数原理的区分.知道什么状况下运用加法计数原理,什么状况下运用乘法计数原理.(建议利用一课时).其次是

5、对两个计数原理的运用.可以让学生做一下习题(建议利用两课时):用0,1,2,9可以组成多少个8位号码;用0,1,2,9可以组成多少个8位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;用0,1,2,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生驾驭两个计数原理的综合应用,这个过程应当贯彻整个教学中,每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理,每一道排列、组合问题都可以干脆利用两个原理求解,另外干脆计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.老师要引导学生仔细地分

6、析题意,恰当的分类、分步,用好、用活两个基本计数原理.教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和驾驭加法原理和乘法原理,并能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题,从而发展学生的思维实力,培育学生分析问题和解决问题的实力.教学重点和难点重点:加法原理和乘法原理.难点:加法原理和乘法原理的精确应用.教学用具投影仪.教学过程设计(一)引入新课从本节课起先,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、组合、二项式定理.它们探讨对象独特,探讨问题的方法不同一般.虽然份量不多,但是与旧学问的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它干脆有关.至于在日常的工

7、作、生活上,只要涉及支配调配的问题,就离不开它.今日我们先学习两个基本原理.(二)讲授新课1.介绍两个基本原理先考虑下面的问题:问题1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法.这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子加法原理):加法原理:做一件事,完成它可以有几类方法,在第一类方法中有

8、m1种不同的方法,在其次类方法中有m2种不同的方法,在第n类方法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.请大家再来考虑下面的问题(打出片子问题2):问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见下图),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有32=6种不同的走法.一般地,有如下基本原理(找出片子乘法原理):乘法原理:做一件事,完成它须要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做其次步有m2种不同的方法

9、,做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.2.浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的全部不同的方法种数.比较两个基本原理,想一想,它们有什么区分?两个基本原理的区分在于:一个与分类有关,一个与分步有关.看下面的分析是否正确(打出片子题1,题2):题1:找110这10个数中的全部合数.第一类方法是找含因数2的合数,共有4个;其次类方法是找含因数3的合数,共有2个;第三类方法是找含因数5的合数,共有1个.110中一共有N=4+2+1=7个合数.题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路须要8时,中路须要4时,南路须要6时,B村到C村的北路

10、须要5时,南路须要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同的走法?第一步从A村到B村有3种走法,其次步从B村到C村有2种走法,共有N=32=6种不同走法.题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的留意事项,这样支配,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培育学生的学习实力)进行分类时,要求各类方法彼此之间是相互排

11、斥的,不论哪一类方法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满意这个条件,才能干脆用加法原理,否则不行以.假如完成一件事须要分成几个步骤,各步骤都不行缺少,须要依次完成全部步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以干脆应用乘法原理.也就是说:类类互斥,步步独立.(在学生对问题的分析不是很清晰时,老师刚好地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清楚和明确,不再简洁地认为什么样的分类都可以干脆用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深化理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用

12、举例现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些简洁问题了.例1书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?(让学生思索,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,老师巡察指导,并适时口述解法)(1)从书架上任取一本书,可以有3类方法:第一类方法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;其次类方法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类方法是从6本不同的英语书中任取一本,

13、有6种方法.依据加法原理,得到的取法种数是N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,须要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;其次步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语书,有6种方法.依据乘法原理,得到不同的取法种数是N=m1m2m3=356=90.故,从书架上取数学书、语文书、英语书各1本,有90种不同的方法.(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类方法:第一类方法是数学书、语文书各取1本,须要分两个步骤,有35种方法;其次类方法是数学书、英语书各取1本,须要分两个步骤,有36种方法

14、;第三类方法是语文书、英语书各取1本,有56种方法.一共得到不同的取法种数是N=35+36+56=63.即,从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.例2由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?解:要组成一个三位数,须要分成三个步骤:第一步确定百位上的数字,从14这4个数字中任选一个数字,有4种选法;其次步确定十位上的数字,由于数字允许重复,共有5种选法;第三步确定个位上的数字,仍有5种选法.依据乘法原理,得到可以组成的三位整数的个数是N=455=100.答:可以组成100个三位整数.老师的连续发问、启发、引导,帮助学生找到正确的解题思路和计算方法,使学生的

15、分析问题实力有所提高.老师在其次个例题中给出板书示范,能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解,周密的考虑,精确的表达、规范的书写,对于学生周密思索、精确表达、规范书写良好习惯的形成有着主动的促进作用,也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.(四)归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理:分类时用加法原理,分步时用乘法原理.应用两个基本原理时须要留意分类时要求各类方法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.(五)课堂练习P222:练习14.(对于题4,老师有必要对三个多项式乘积绽开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222:练习5,6,7.补充题:1.

16、在全部的两位数中,个位数字小于十位数字的共有多少个?(提示:按十位上数字的大小可以分为9类,共有9+8+7+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2.某学生填报高考志愿,有m个不同的志愿可供选择,若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿,求该生填写志愿的方式的种数.(提示:须要按三个志愿分成三步,共有m(m-1)(m-2)种填写方式)3.在全部的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?(提示:可以用下面方法来求解:(1),(2),(3),(1),(2),(3)类中每类都是99种,共有99+99+99=399=243个只有两个数字相同的三位数)4.某小组有10人,每人至少会

17、英语和日语中的一门,其中8人会英语,5人会日语,(1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人,有多少种不同的选法?(提示:由于8+5=1310,所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=52+53+23)数学教案-排列、组合、二项式定理-基本原理排列组合二项式定理排列组合二项式定理 教学目标(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结论;(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;(3)正确区分加法原理与乘法原理,哪一个原理与分类有关,哪一个原理与分步有关;(4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简洁的应用问题,提

18、高学生理解和运用两个原理的实力;(5)通过对加法原理与乘法原理的学习,培育学生周密思索、细心分析的良好习惯。教学建议一、学问结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是精确区分加法原理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是简单理解的,甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯穿整个内容之中,一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有很多干脆应用。两个原理回答的,都是完成一件事的全部不同方法种数是多少的问题,其区分在于:运用加法原理的前提条件是,做一件事有n类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事,就是说,完成这件事

19、的各种方法是相互独立的;运用乘法原理的前提条件是,做一件事有n个骤,只要在每个步骤中任取一种方法,并依次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是相互依存的。简洁的说,假如完成一件事情的全部方法是属于分类的问题,每次得到的是最终结果,要用加法原理;假如完成一件事情的方法是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次:第一是对两个计数原理的相识与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义,并弄清两个计数原理的区分.知道什么状况下运用加法计数原理,什么状况下运用乘法计数原理.(建议利用一课时).其次是对两个计数原理的运用.可以让学生

20、做一下习题(建议利用两课时):用0,1,2,9可以组成多少个8位号码;用0,1,2,9可以组成多少个8位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;用0,1,2,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生驾驭两个计数原理的综合应用,这个过程应当贯彻整个教学中,每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理,每一道排列、组合问题都可以干脆利用两个原理求解,另外干脆计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.老师要引导学生仔细地分析题意,恰当的分类、分步,用好、

21、用活两个基本计数原理.教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和驾驭加法原理和乘法原理,并能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题,从而发展学生的思维实力,培育学生分析问题和解决问题的实力.教学重点和难点重点:加法原理和乘法原理.难点:加法原理和乘法原理的精确应用.教学用具投影仪.教学过程设计(一)引入新课从本节课起先,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、组合、二项式定理.它们探讨对象独特,探讨问题的方法不同一般.虽然份量不多,但是与旧学问的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它干脆有关.至于在日常的工作、生活上,只要涉及支配调配的问

22、题,就离不开它.今日我们先学习两个基本原理.(二)讲授新课1.介绍两个基本原理先考虑下面的问题:问题1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法.这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子加法原理):加法原理:做一件事,完成它可以有几类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在其次类方法中

23、有m2种不同的方法,在第n类方法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.请大家再来考虑下面的问题(打出片子问题2):问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见下图),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有32=6种不同的走法.一般地,有如下基本原理(找出片子乘法原理):乘法原理:做一件事,完成它须要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做其次步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法.那

24、么,完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.2.浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的全部不同的方法种数.比较两个基本原理,想一想,它们有什么区分?两个基本原理的区分在于:一个与分类有关,一个与分步有关.看下面的分析是否正确(打出片子题1,题2):题1:找110这10个数中的全部合数.第一类方法是找含因数2的合数,共有4个;其次类方法是找含因数3的合数,共有2个;第三类方法是找含因数5的合数,共有1个.110中一共有N=4+2+1=7个合数.题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路须要8时,中路须要4时,南路须要6时,B村到C村的北路须要5时,南路须要3时,要求步行

25、从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同的走法?第一步从A村到B村有3种走法,其次步从B村到C村有2种走法,共有N=32=6种不同走法.题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的留意事项,这样支配,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培育学生的学习实力)进行分类时,要求各类方法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类方法中的哪一种方

26、法,都能单独完成这件事.只有满意这个条件,才能干脆用加法原理,否则不行以.假如完成一件事须要分成几个步骤,各步骤都不行缺少,须要依次完成全部步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以干脆应用乘法原理.也就是说:类类互斥,步步独立.(在学生对问题的分析不是很清晰时,老师刚好地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清楚和明确,不再简洁地认为什么样的分类都可以干脆用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深化理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用举例现在我们已经有了两个基本原理

27、,我们可以用它们来解决一些简洁问题了.例1书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?(3)若从这些书中取不同的科目的书两,有多少种不同的取法?(让学生思索,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,老师巡察指导,并适时口述解法)(1)从书架上任取一本书,可以有3类方法:第一类方法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;其次类方法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类方法是从6本不同的英语书中任取一本,有6种方法.依据加法原理,得到的取

28、法种数是N=m1+m2+m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,须要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;其次步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语书,有6种方法.依据乘法原理,得到不同的取法种数是N=m1m2m3=356=90.故,从书架上取数学书、语文书、英语书各1本,有90种不同的方法.(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类方法:第一类方法是数学书、语文书各取1本,须要分两个步骤,有35种方法;其次类方法是数学书、英语书各取1本,须要分两个步骤,有36种方法;第三类方法是语文书、英语书各取1

29、本,有56种方法.一共得到不同的取法种数是N=35+36+56=63.即,从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.例2由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?解:要组成一个三位数,须要分成三个步骤:第一步确定百位上的数字,从14这4个数字中任选一个数字,有4种选法;其次步确定十位上的数字,由于数字允许重复,共有5种选法;第三步确定个位上的数字,仍有5种选法.依据乘法原理,得到可以组成的三位整数的个数是N=455=100.答:可以组成100个三位整数.老师的连续发问、启发、引导,帮助学生找到正确的解题思路和计算方法,使学生的分析问题实力有所提高.老师在其次个

30、例题中给出板书示范,能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解,周密的考虑,精确的表达、规范的书写,对于学生周密思索、精确表达、规范书写良好习惯的形成有着主动的促进作用,也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.(四)归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理:分类时用加法原理,分步时用乘法原理.应用两个基本原理时须要留意分类时要求各类方法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.(五)课堂练习P222:练习14.(对于题4,老师有必要对三个多项式乘积绽开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222:练习5,6,7.补充题:1.在全部的两位数中,个位数字小于十位

31、数字的共有多少个?(提示:按十位上数字的大小可以分为9类,共有9+8+7+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2.某学生填报高考志愿,有m个不同的志愿可供选择,若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿,求该生填写志愿的方式的种数.(提示:须要按三个志愿分成三步,共有m(m-1)(m-2)种填写方式)3.在全部的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?(提示:可以用下面方法来求解:(1),(2),(3),(1),(2),(3)类中每类都是99种,共有99+99+99=399=243个只有两个数字相同的三位数)4.某小组有10人,每人至少会英语和日语中的一门,其中8人会英语

32、,5人会日语,(1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人,有多少种不同的选法?(提示:由于8+5=1310,所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=52+53+23)排列、组合、二项式定理-基本原理排列、组合、二项式定理-基本原理排列、组合、二项式定理-基本原理教学目标(1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结论;(2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;(3)正确区分加法原理与乘法原理,哪一个原理与分类有关,哪一个原理与分步有关;(4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简洁的应用问题,提高学生理解和运用两

33、个原理的实力;(5)通过对加法原理与乘法原理的学习,培育学生周密思索、细心分析的良好习惯。教学建议一、学问结构二、重点难点分析本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是精确区分加法原理与乘法原理。加法原理、乘法原理本身是轻易理解的,甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯穿整个内容之中,一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有很多干脆应用。两个原理回答的,都是完成一件事的全部不同方法种数是多少的问题,其区分在于:运用加法原理的前提条件是,做一件事有n类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事,就是说,完成这件事的各种方法是相互独

34、立的;运用乘法原理的前提条件是,做一件事有n个骤,只要在每个步骤中任取一种方法,并依次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是相互依存的。简洁的说,假如完成一件事情的全部方法是属于分类的问题,每次得到的是最终结果,要用加法原理;假如完成一件事情的方法是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。三、教法建议关于两个计数原理的教学要分三个层次:第一是对两个计数原理的熟识与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义,并弄清两个计数原理的区分.知道什么状况下运用加法计数原理,什么状况下运用乘法计数原理.(建议利用一课时).其次是对两个计数原理的运用.可以让学生做一下习题(建议利

35、用两课时):用0,1,2,9可以组成多少个8位号码;用0,1,2,9可以组成多少个8位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;用0,1,2,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;用0,1,2,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.第三是使学生把握两个计数原理的综合应用,这个过程应当贯彻整个教学中,每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理,每一道排列、组合问题都可以干脆利用两个原理求解,另外干脆计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.老师要引导学生仔细地分析题意,恰当的分类、分步,用好、用活两个基本计数原

36、理.教学设计示例加法原理和乘法原理教学目标正确理解和把握加法原理和乘法原理,并能精确地应用它们分析和解决一些简洁的问题,从而发展学生的思维实力,培育学生分析问题和解决问题的实力.教学重点和难点重点:加法原理和乘法原理.难点:加法原理和乘法原理的精确应用.教学用具投影仪.教学过程设计(一)引入新课从本节课起先,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、组合、二项式定理.它们探讨对象独特,探讨问题的方法不同一般.虽然份量不多,但是与旧学问的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它干脆有关.至于在日常的工作、生活上,只要涉及支配调配的问题,就离不开它.今

37、日我们先学习两个基本原理.(二)讲授新课1.介绍两个基本原理先考虑下面的问题:问题1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4个班次,汽车有2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有423=9种不同的走法.这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子加法原理):加法原理:做一件事,完成它可以有几类方法,在第一类方法中有m1种不同的方法,在其次类方法中有m2种不同的方法,在

38、第n类方法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.请大家再来考虑下面的问题(打出片子问题2):问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见下图),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有32=6种不同的走法.一般地,有如下基本原理(找出片子乘法原理):乘法原理:做一件事,完成它须要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做其次步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1

39、m2mn种不同的方法.2.浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的全部不同的方法种数.比较两个基本原理,想一想,它们有什么区分?两个基本原理的区分在于:一个与分类有关,一个与分步有关.看下面的分析是否正确(打出片子题1,题2):题1:找110这10个数中的全部合数.第一类方法是找含因数2的合数,共有4个;其次类方法是找含因数3的合数,共有2个;第三类方法是找含因数5的合数,共有1个.110中一共有N=4+2+1=7个合数.题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路须要8时,中路须要4时,南路须要6时,B村到C村的北路须要5时,南路须要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过

40、12时,共有多少种不同的走法?第一步从A村到B村有3种走法,其次步从B村到C村有2种走法,共有N=32=6种不同走法.题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项,这样支配,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培育学生的学习实力)进行分类时,要求各类方法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类方法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只

41、有满意这个条件,才能干脆用加法原理,否则不行以.假如完成一件事须要分成几个步骤,各步骤都不行缺少,须要依次完成全部步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以干脆应用乘法原理.也就是说:类类互斥,步步独立.(在学生对问题的分析不是很清晰时,老师刚好地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清晰和明确,不再简洁地认为什么样的分类都可以干脆用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深化理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)(三)应用举例现在我们已经有了两个基本原理,我们可以用它们来解决一些

42、简洁问题了.例1书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书.(1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法?(2)若从这些书中,取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法?(3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法?(让学生思索,要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由,老师巡察指导,并适时口述解法)(1)从书架上任取一本书,可以有3类方法:第一类方法是从3本不同数学书中任取1本,有3种方法;其次类方法是从5本不同的语文书中任取1本,有5种方法;第三类方法是从6本不同的英语书中任取一本,有6种方法.依据加法原理,得到的取法种数是N=m1+m2+

43、m3=3+5+6=14.故从书架上任取一本书的不同取法有14种.(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,须要分成三个步骤完成,第一步取1本数学书,有3种方法;其次步取1本语文书,有5种方法;第三步取1本英语书,有6种方法.依据乘法原理,得到不同的取法种数是N=m1m2m3=356=90.故,从书架上取数学书、语文书、英语书各1本,有90种不同的方法.(3)从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类方法:第一类方法是数学书、语文书各取1本,须要分两个步骤,有35种方法;其次类方法是数学书、英语书各取1本,须要分两个步骤,有36种方法;第三类方法是语文书、英语书各取1本,有56种方法.一共得

44、到不同的取法种数是N=35+36+56=63.即,从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.例2由数字0,1,2,3,4可以组成多少个三位整数(各位上的数字答应重复)?解:要组成一个三位数,须要分成三个步骤:第一步确定百位上的数字,从14这4个数字中任选一个数字,有4种选法;其次步确定十位上的数字,由于数字答应重复,共有5种选法;第三步确定个位上的数字,仍有5种选法.依据乘法原理,得到可以组成的三位整数的个数是N=455=100.答:可以组成100个三位整数.老师的连续发问、启发、引导,帮助学生找到正确的解题思路和计算方法,使学生的分析问题实力有所提高.老师在其次个例题中给出板书示范,能帮

45、助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解,周密的考虑,精确的表达、规范的书写,对于学生周密思索、精确表达、规范书写良好习惯的形成有着主动的促进作用,也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.(四)归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理:分类时用加法原理,分步时用乘法原理.应用两个基本原理时须要注意分类时要求各类方法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.(五)课堂练习P222:练习14.(对于题4,老师有必要对三个多项式乘积绽开后各项的构成给以提示)(六)布置作业P222:练习5,6,7.补充题:1.在全部的两位数中,个位数字小于十位数字的共有多少个?(提示

46、:按十位上数字的大小可以分为9类,共有9+8+7+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)2.某学生填报高考志愿,有m个不同的志愿可供选择,若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿,求该生填写志愿的方式的种数.(提示:须要按三个志愿分成三步,共有m(m1)(m2)种填写方式)3.在全部的三位数中,有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?(提示:可以用下面方法来求解:(1),(2),(3),(1),(2),(3)类中每类都是99种,共有999999=399=243个只有两个数字相同的三位数)4.某小组有10人,每人至少会英语和日语中的一门,其中8人会英语,5人会日语,(1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人,有多少种不同的选法?(提示:由于8+5=1310,所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=52+53+23)第24页 共24页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页第 24 页 共 24 页