圆锥曲线轨迹问题.doc

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1、与圆锥曲线有关的点的轨迹问题复习题有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、性质有着密切的关系在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和具体方法 探求曲线轨迹的基本方法：直接法（轨迹法） 、定义法、 相关点法（代入法）、 参数法、代入法、待定系数法、点差法。教学重点：灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型。教学难点：理解轨迹的完备性与纯粹性，并能准确地运用。（完备性是指符合条件的点都要在轨迹上，不能遗漏；纯粹性是指轨迹上的所有点都符合条件，没有“假冒”。）思考并回答：（1）已知且，则点P的轨迹是 圆 （

2、2）已知ABC的一边BC的长为6，周长为16，则顶点A的轨迹是什么？（椭圆，除去与BC边共线的两个顶点。）（3）若则点M的轨迹是 双曲线右支 （4）过点（2，3）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹是什么？（抛物线）ABCD（5）(2003北京春)在同一坐标系中,方程与的曲线大致是（ ） 解析:将方程与转化为标准方程：,因为,因此,所以有：椭圆的焦点在y轴,抛物线的开口向左,得D选项答案: D（6）已知圆C：及圆内一点P（3，0），求过点P且与已知圆内切的圆的圆心M的轨迹方程。分析：（1）圆C的半径与圆心坐标可定。 （2）两圆内切可得：外圆半径内圆半径连心距。 （3）动点M满足的等量关系：| MC |

3、 + | MP | = 10| PC | （4）由定义可确定动点M的轨迹为以P、C为焦点的椭圆。（7）已知动圆与圆和圆C2：都外切，求动圆圆心P的轨迹方程。分析：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。 （2）两圆外切可得：两圆半径和圆心距（3）动圆半径r,依题意有 r1 + r = | P C1 | , r2 + r = | P C2 |两式相减得：| PC1 | - | PC2 | = r1 -r2 cb,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=42,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2,

4、 椭圆方程为, 又ab, 点C在y轴左侧，必有x0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x2, 因此点C的轨迹方程是：(2x0)上原点O以外的两个动点,且OAOB,过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程. 解1 (常规设参)设M(x,y)，A(x1,y1),B(x2,y2),则（）由A,M B共线得 则把（）代入上式得化简得M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x0)解2 (变换方向) 设OA的方程为y=kx (k0) 则OB的方程为由 得 A() ， 由得B (2pk2,-2pk)所以直线AB的方程为 因为OMAB,所以直线OM的方程为 即得M的轨迹方程:x2+y2-2px=0(x0)解3 (转

5、换观点) 视点M为定点,令M( x0,y0), 由OMAB可得直线AB的方程为, 与抛物线y2=4px联立消去y 得,设A(x1,y1), B(x2,y2) 则又因为OAOB 所以 故=即 所以M点的轨迹方程为6交轨法 求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。例11设，则不论取何值，直线与直线的交点一定在 （ ）A、一个圆上 B、椭圆上 C、双曲线上 D、抛物线上例12已知MN是椭圆中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA和NB的交点P的轨迹方程。O

6、NMBA 解1:(利用点的坐标作参数)令M(x1,y1 ) ，则N(x1,-y1)而A(-a,0),B(a,0) .设AM与NB的交点为P(x,y)因为A, M, P 共线. 所以因为N, B,P 共线. 所以两式相乘得， 而即代入得，即交点P的轨迹方程为7韦达定理法有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程例13 过抛物线y=x2的顶点 O,任作两条互相垂直的弦OA,OB, 若分别以OA,OB为直径作圆, 求两圆的另一交点C的轨迹方程解：设A,B两点的坐标分别为 (), () ,

7、 则由OAOB得 t1t2=1因为以OA为直径的圆方程为 同理以OB为直径的圆方程为 而点C(x,y)满足 ,由知t1,t2是关于t的二次方程yt2 + xt- x2- y2= 0的两根,根据t1t2=1及韦达定理得 , 即有x2 + y2 - y =0(y0)这就是C点的轨迹方程.巩固训练1（2008北京理）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ D ） A圆B椭圆C双曲线D抛物线2.(2008山东理)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ A ）（A） (B) (C) (D)3.如

8、果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是 .解析：椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k0，0k1.答案：0k14.()ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为 .5 在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是 解答： 8xy15=0提示 设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2) 即kAB=8 故所求直线方程为

9、y=8x15 6 如图，弧为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；解 以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1 曲线C的方程为+y2=1 7 已知圆C1的方程为(x2)2+(y1)2=,椭圆C2的方程为=1(ab0)，C2的离心率为，如果C1

10、与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程 解 由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,两式相减，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0 化简得=1,故直线AB的方程为y=x+3,代入椭圆方程得3x212x+182b2=0 有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8 故所求椭圆方程为=1 8、点Q为双曲线x24y2=16上任一点，定点A（0，4），求内分所成比为的点P的轨迹。9P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为： （ ）AB CD=110、分析：由于动直线l与两已知射线交于两点A、B，可以理解为射线y=x上两点A、B，使直线AB与圆C相切，当A、B分别在这两射线上移动时，研究AB中点M的轨迹，就可把A、B看成是主动点，M为被动点，便可采用相关点法（或称代入法、转移法）求动点M的轨迹方程了。 解： 11、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则设弦端点、，弦的中点，则， ，又，两式相减得即 联立解得，所求椭圆的方程是