2022年高等数学重要知识点归纳 .docx

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1、精品_精品资料_高等数学（上）重要学问点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质1、定义（以数列为例）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim xnan0,N, 当 nN 时,| xna |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1lim f xAf xA x,其中 x 为某一个无穷小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 保 号 性 ） 如limf xA0 , 就0, 当 xU x0 , 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

2、料_f x0 .xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3* 无穷小乘以有界函数仍为无穷小.二、求极限的主要方法与工具可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01、* 两个重要极限公式1 limsin12 lim 11e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、两个准就1 * 夹逼准就2单调有界准就3、* 等价无穷小替换法常用替换：当0 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 sin（ 2）tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） arcsin（ 5） ln1 （ 4 arc

3、tan（ 6） e1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7） 1cos 122（ 8） n 11 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、分子或分母有理化法5、分解因式法6 用定积分定义三、无穷小阶的比较 *高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类1、连续的定义 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x在 a 点连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limy0limf xf af a f a f a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

4、资料_x0xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、间断点的分类第一类其次类可去型（极限存在） 跳动型（左右极限存在无穷型（极限为无穷大震荡型（来回波动）其他但不相等）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、曲线的渐近线 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 水平渐近线：如(2) 铅直渐近线：如limxlimf xf xA,就存在渐近线： yA,就存在渐近线： xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xa五、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、导数的概念1、导

5、数的定义 *其次章 导数与微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x aay |f ady |limylimf axfalimf xf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xdxx0xx0xxaxa2、左右导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_左导数f alimylimf xf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xxaxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_右导数f alimylimf xf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0xxaxa3、导数的几何意义*

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y |x a曲线f x在点（ a, f a处的切线斜率 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、导数的物理意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如运动方程： sst就s tvt速度）, stv tat加速度）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、可导与连续的关系 :二、导数的运算可导连续,反之不然.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、四就运算uvuvuvu vuv uu vuv vv2可编辑资料

7、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、复合函数求导设 yf x,肯定条件下 dydxdy du du dxyuux可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、反函数求导设 yf x和xf 1 y互为反函数,肯定条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1下： xxy4、求导基本公式 * （要熟记）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、隐函数求导 *方法： 在F x, y0 两端同时对 x 求导, 其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

8、 - - 欢迎下载精品_精品资料_要留意到： y 是中间变量,然后再解出yxxt 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、参 数 方 程确 定函 数 的 求导 *设, 一 定 条件 下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t yt yyt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxydy dxyt , y xtdyxxtdxxtyt xt xtyt xt3（可以不记）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、常用的高阶导数公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） sin n xsin xn, n 20,1,2.可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） cosn xcosxn, n 20,1,2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） ln n 1x 1n1 n11.xn, n12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） 1n 1 n.n, n0,1,2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1x n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）（莱布尼茨公

10、式）uv n nnCku nk 0k v k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、微分的概念与运算1、微分定义 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 yA xox ,就 yf x 可微,记 dyA xAdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、公式： dyf xxf x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、可微与可导的关系*两者等价可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、近似运算 当|x | 较小时, ydy ,f xf xxf xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

11、_精品资料_一、微分中值定理* 1、柯西中值定理 *第三章 导数的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) f x、g x在 a,b上连续(2) f x、g x在a, b内可导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） g x0,就：f f bf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ a, b, 使得：g gbga可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当取 g xx 时,定理演化成：2、拉格朗日中值定理*f bf a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（a, b,使得： f baf bf af ba可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当加上条件f af b就演化成：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、罗尔定理 *04、泰勒中值定理在肯定条件下：（ a, b,使得： f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x0 f0f n x0 1 xx0 .f n x0n. xx nRn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 Rn x x n1.x n 10o xx n ,介于 x0、x 之间 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当公式中 n=0 时,定

13、理演化成拉格朗日定理.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x00 时,公式变成 :nf n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、麦克劳林公式f xf 0f 0 x.xRnn. x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、常用麦克劳林绽开式x2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（ 1） ex1x.x2.n.o xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35n1（ 2） sin xxxx . 1x2 n 1o x2n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.5. 2n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

14、品资料_24（ 3） cosx1xx . 1 nx2 no x2 n 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4） ln1x2.4.x2x22n.3x . 31n 1xnno xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、罗比达法就 *记住： 法就仅能对 0 ,0型直接用, 对于 0,1 ,00 ,0 , 转化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_后用 .幂指函数恒等式 *三、单调性判别 *f geg ln f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 y0y,y0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、单调区间分界点：驻点和不行导点.四、 极值求法 *1、极值点来自：驻点或不行导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号,由正变负为极大,由负变正为微小 .4、其次判别法： 一阶导等于 0,二阶导不为 0 时,是极值点 .正为微小,负为极大 .五、闭区间最值求法 *找出区间内全部驻点、不行导点、区间端点,比较大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、凹凸性与拐点*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 y0y,y0y可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、拐点：曲线上凹凸分界点 x0 , y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_横坐标x0 不外乎f x0 0,或f x0 不存在,找到后再加以判别 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_邻近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径| y |31y 2 211、曲率公式 K2、曲率半径 RK可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第四章 不定积分一、不定积分的概念 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如在区间 I 上, Fxf x,亦dF xf x dx ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

17、_就称 F x为f x的原函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称全体原函数Fx+c 为 fx 的不定积分,记为二、微分与积分的互逆关系f xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、f xdxf xdf x dxf x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 f xdxf xcdf xf xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、积分法 * 1、凑微分法 *2、其次类换元法3、分部积分法 *udvuvvdu可编辑资料 - - -

18、欢迎下载精品_精品资料_4、常用的基本积分公式要熟记 .第五章 定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、定积分的定义bf x dxnlimf i xi可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a二、可积的必要条件有界.x0 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调 .四、几何意义定积分等于面积的代数和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、 主要性质 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、可加性bcbaac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

19、 欢迎下载精品_精品资料_2、估值 在a,b 上,3、积分中值定理 *mbabfa x dxM ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 fx 在a,b 上连续时：bfa xdxf ba, a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、函数平均值：bf x dxaba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、变上限积分函数 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 如f x在 a,b连续,就F xxfat dt可导,且 xfat dtf x可编辑资

20、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 如f x在 a,b连续, x可导,就：（ x）at dtf x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f七、牛 -莱公式 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f x在 a,b连续,就bf xdxf xdx |bF bF a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa八、定积分的积分法 *a1、换元法牢记：换元同时要换限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、分部积分法3、特别积分baudvuv |bbavdu可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

21、_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）af xdx0,当fa x为奇函数时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2f0a x dx,当f x为偶函数时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 fx 为周期为 T 的周期函数时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a nT af xdxTnf x dx, nZ0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0（ 3）肯定条件下 :xf sinx dxf sin xdx2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）02 si

22、nnxdx2 cosnxdxn1.,n是正奇数时n.0n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5）0sinnxdx2 2 sinnxdxn；., n是正偶数时2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0九、 反常积分 *1、无穷区间上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_af xdxlimxxfat dtF x |aF F a其他类似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、p 积分 ：1 dxa0 :paxpp1时收敛1时发散可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、瑕积分：如a 为瑕点：

23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b就 f xdxlimbf t dtF x |bF bF a 其他类似处理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_axaxa第六章定积分应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、几何应用1、面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A（ 1）Aba（ y上ba（ x右- y下） dx- x左） dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） C :xyxt , tyt , 就 A| yt xt | dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

24、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C :（ 3）1, 与,（2围成图形面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A22、体积 *（ ） d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 旋转体体积 * Vxbayy2 dxVdcx2 dy或Vy2baxy dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）截面面积为 AA x 的立体体积为 VbaA x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、弧长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_s（ 1）bya12 dx axb可编辑资料 -

25、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） s（ 3） sx 2 t 2y 2 t dt,t2 d,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、物理应用1、变力作功可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的： 先求功元素： dwF xdx, x a,b,再积分 wbaF x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_克服重力作功的功元素dw= 体积g位移2、水压力dP= 水深 面积g第七章微分方程一、可分别变量的微分方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形式： dydxf x g y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、一阶线性微分方程 *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、线性齐次： ypx y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通解公式 * ： yp x dxCe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、线性非齐次yp x yq x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通解公式 * ： yp x dxep x dxeq xdxC可编辑资料 - - - 欢迎下载