2013年中考数学专题-动态几何之面积问题探讨(共71页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上【2013年中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。一、静态面积问题：典型例题：例1：

2、（2012山西省2分）如图是某公园的一角，AOB=90，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CDOB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】A米2B米2C米2D米2【答案】 C。【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】连接OD，则。 弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，OC=OA=6=3。AOB=90，CDOB，CDOA。在RtOCD中，OD=6，OC=3，。又，DOC=60。（米2）。故选C。例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A=120，则图中阴影部分的面积是【 】A B2 C

3、3 D例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(ml)则OAB的面积(用m表示)为【 】 A. B. C. D. 【答案】B。【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。【分析】如图，过点A作ADOC于点D，过点B作BEOC于点E, 设A(A，A)，B (B，B)，C（c0）。 AB：BC=(m一l)：1(ml)，AC：BC=m：1。 又ADCBEC，AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。 又AD=A，BE=B，DC= cA，EC= cB， A

4、：B= m：1，即A= mB。 直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点， ，。 ，。将 又由AC：BC=m：1得（cA）：（cB）=m：1，即 ，解得。 。 故选B。例4：（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ABCD，且SABCSACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由【答案】解：（1）6；无数。 （2）

5、这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分即OO为这个图形的一条面积等分线。（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：理由如下：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE。BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等， SABC=SAEC。SACDSABC，面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的

6、直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE根据ABC和AEC的公共边AC上的高也相等推知SABC=SAEC；由“割补法”可以求得。例5：（2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】（参考数据：，取3.14）A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36【答案】A

7、。【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边AEF的边长为2，高为；RtAEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。 。故选A。例6：（2012山东德州3分）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2设点P在l1上，PCx轴，垂足为C，交l2于点A，PDy轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】A3 B4 C D5【答案】C。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。例7：（2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，以点

8、C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是【 】ABCD3【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】四边形ABCD是等腰梯形，且ADBC，AB=CD。又四边形ABED是平行四边形，AB=DE（平行四边形的对边相等）。DE=DC=AB=3。CE=CD，CE=CD=DE=3，即DCE是等边三角形。C=60。扇形CDE（阴影部分）的面积为：。故选A。例8：（2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且A

9、E、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF=【 】A2：5：25 B4：9：25 C2：3：5 D4：10：25【答案】D。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5由平行四边形对边平行的性质易得DFEBFADF：FB= DE：AB=2：5，SDEF：SABF=4：25。又SDEF和SEBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，SDEF：SEBF =2：5=4：10。SDEF：SEBF：SABF =4：10：25。故选D。例9：（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一

10、点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，则S4=2 S2 若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）.【答案】。【考点】矩形的性质，相似【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，APD以AD为底边，PBC以BC为底边，此时两三角形的高的和为AB，S1+S3=S矩形ABCD；同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。S2+S4= S1+ S3正确，则S1+S2=S3+S4错误。若S3=2 S

11、1，只能得出APD与PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论错误。如图，若S1=S2，则PFAD=PEAB，APD与PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。DAE=PEA=PFA=90，四边形AEPF是矩形，矩形AEPF矩形ABCD。连接AC。PF：CD =PE ：BC=AP：AC，即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。APFACD。PAF=CAD。点A、P、C共线。P点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。例10：（2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y在第一象限内图象上的点，作MBx轴于点过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1

12、C1A1M，A1C1B的面积记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2A2M，A2C2B的面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3A3M，A3C3B的面积记为S3；依次类推；则S1S2S3S8 【答案】。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。【分析】过点M作MDy轴于点D，过点A1作A1EBM于点E，过点C1作C1FBM于点F，点M是反比例函数y在第一象限内图象上的点，OBDM=1。A1C1=A1M，即C1为A1M中点，C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。

13、A2C2A2M，C2到BM的距离为A2到BM的距离的。同理可得：S3=，S4=，。练习题：1. （2012广东省4分）如图，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留）2. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(xo)的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _.3. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BCx

14、轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ，= 。4. （2012江苏扬州3分）如图，双曲线经过RtOMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA2AN，OAB的面积为5，则k的值是5. （2012湖南岳阳3分）如图，ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DFBC，E为BD的中点若EFAC，BC=6，则四边形DBCF的面积为 6. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的O1与O2外切，O1与O2的外公切线交于点D，且ADC=60，过B点的O1的切线交其中一条外公切线于点A若O2的面积为，则四边形ABC

15、D的面积是 7. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AEEF，EFFC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 。8. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为8cm，A=60，DEAB于点E，DFBC于点F，则四边形BEDF的面积为 _cm2.9. （2012辽宁营口3分）如图，直线与双曲线（x0）交于A、B两点，与轴、轴分别交于E、F两点，连结OA、OB，若，则 10. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线上，B、D在双曲线上，k1=2k2（k10），ABy轴，SABCD=24，则

16、k1= 二、点动形成的动态面积问题：典型例题：例1：（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 点A在点B的左侧，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）。 （2）由得，对称轴为x=1。 在中，令x=0，得y=3。 OC=3，AB=6，。在RtAO

17、C中，。设ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CFL1于F，则CF=h=，。设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。D1（4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（1，）。综上所述，D点坐标为：D1（4，），D2（1，）。（3）如图

18、2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条连接FM，过M作MNx轴于点N。A（4，0），B（2，0），F（1，0），F半径FM=FB=3。又FE=5，则在RtMEF中，-ME=，sinMFE=，cosMFE=。在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3，FN=MNcosMFE=3。则ON=。M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3。例2：（2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、

19、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足PQO=60（1）点B的坐标是；CAO= 度；当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围【答案】解：（1）（6，2）。 30。（3，3）。（2）存在。m=0或m=3或m=2。 （3）当0x3时，如图1，OI=x，IQ=PItan60=3，

20、OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线lBCOA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：当3x5时，如图2，当5x9时，如图3，当x9时，如图4，。综上所述，S与x的函数关系式为： 。【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：四边形OABC是矩形，AB=OC，OA=BC，A（6，0）、C（0，2），点B的坐标为：（6，2）。由正切函数，即可求得CAO的度数：，CAO=30。由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P

21、作PEOA于E，PQO=60，D（0，3），PE=3。OE=OAAE=63=3，点P的坐标为（3，3）。（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30，MNO=60。PQO=60，即MQO=60，点N与Q重合。点P与D重合。此时m=0。情况，如图AM=AN，作MJx轴、PIx轴。MJ=MQsin60=AQsin600又，解得：m=3。情况AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PKOA于K，过点M作MGOA于G，MG=。KG=30.5=2.5，AG= AN=1.5。OK=2。m=2。综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3或

22、m=2。（3）分别从当0x3时，当3x5时，当5x9时，当x9时去分析求解即可求得答案。例3：（2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=9，C（0，9）；令y=0，即，解得：x1=3，x2=6

23、，A（3，0）、B（6，0）。AB=9，OC=9。（2）EDBC，AEDABC，即：。s=m2（0m9）。（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2，SEDC=SAECSAED=m2+m=（m）2+。CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=ABAE=。又，过E作EFBC于F，则RtBEFRtBCO，得：，即：。以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 SE=EF2=。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定A

24、B、OC的长。（2）直线lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。 （3）首先用m列出AEC的面积表达式，AEC、AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值。过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径，可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。例4：（2012贵州铜仁14分）如图，已知：直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1

25、，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（1，0），在直线上有一点P，使ABO与ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3），抛物线经过A、B、C三点，把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组 ，解得：。抛物线的解析式为。 （2）由题意可得：ABO为等腰三角形，如图1所示，若ABOAP1D，连接DP1，则，DP1=AD=4。P1。若ABOADP2 ，过

26、点P2作P2 Mx轴于M，连接DP2， ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形。由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。P2（1，2）。（3）不存在。理由如下： 如图2设点E ，则 当P1(1，4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE 。 。点E在x轴下方 。代入得： ,即 =(4)247=120，此方程无解。当P1(1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积。当P2（1，2）时， 。点E在x轴下方，。代入得：，即 =(4)245=40，此方程无解。当P2（1，2）时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使AD

27、E的面积等于四边形APCE的面积。综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）求出A（3，0），B（0，3），由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。（2）根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。（3）由（2）的两解分别作出判断。例5：（2012湖南张家界12分）如图，抛物线与x轴交于CA两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点（1）分别求出点A点B的

28、坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿ABAO方向向BO移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）令y=0，即，解得。 C（，0）、A（，0）。令x=0，得y=2。B（0，2）。A（，0）、B（0，2）。（2）令直线AB经过点B（0，2），设AB的解析式为y=k1x+2。又点A（，0）在直线上，0=k1+2，解得k1=。直线AB的解析式为y=x+2。（3）由A（，0）、B（0，2）

29、得：OA=，OB=2，AB=4，BAO=30，DOA=60。OD与O点关于AB对称，OD=OA=。D点的横坐标为ODcos600=，纵坐标为ODsin600=3。D（，3）。过点D，即k=3。（4）存在。AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：APsin30=t，OQ=OAAQ=t，。依题意， ， 得0t4。当t=时，S有最大值为。例6：（2012四川内江12分）如图，已知点A（1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且ACB=900，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M.(1) 求抛物线的解析式；(2) 试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；(3) 在抛物线上是否存在点N

30、，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。【答案】解：（1）RtACB中，OCAB，AO=1，BO=4，ACOABO 。，OC2=OAOB=4。OC=2。点C（0，2）。抛物线经过A、B两点，设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得：，解得。抛物线的解析式：，即。（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为RtABC斜边AB的中点，CD=AB。由（1）知：，则点M（），ME=。而CE=OD=，OC=2，ME：CE=OD：OC。又MEC=COD=90，CODCEM。CME=CDO。

31、CME+CDM=CDO+CDM=90。DCM=90。CD是D的半径，直线CM与以AB为直径的圆相切。（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，则：。过点B作BFBC，且使BF=h=，过F作直线lBC交x轴于G。RtBFG中，sinBGF=sinCBO=，BG=BFsinBGF=。G（0，0）或（8，0）。易知直线BC：y= x+2，则可设直线l：y=x+b，将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则：直线l：y= x或y=x+4；联立抛物线的解析式，得： ，或。解得或或。抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和

32、性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。【分析】（1）RtACB中，OCAB，利用相似三角形能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。（2）证明CM垂直于过点C的半径即可。（3）先求出线段BC的长，根据BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。例7：（2012山东菏泽10分）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解

33、析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB的两条性质【答案】解：(1) ABO是由ABO绕原点O逆时针旋转900得到的，且A（0，1），B（2，0），O（0，0）。设抛物线的解析式为，抛物线经过点A、B、B，解之得。满足条件的抛物线的解析式为。（2）P为第一象限内抛物线上的一动点，设，则，P点坐标满足。连接PB，PO，PB。假设四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，则，即，解之得，此时。P（1，2）。存在

34、点P（1，2），使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍。（3）四边形PBAB为等腰梯形。它的性质有： 等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等。答案不唯一，上面性质中的任意2个均可。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。【分析】（1）利用旋转的性质得出A（1，0），B（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可。（2）利用S四边形PBAB=SBOA+SPBO+SPOB，再假设四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可。（3）利用P点坐标以及B点坐

35、标即可得出四边形PBAB为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可。例8：（2012广西柳州12分）如图，在ABC中，AB=2，AC=BC=（1）以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点且以C为顶点的抛物线的解析式；（3）若D为抛物线上的一动点，当D点坐标为何值时，SABD=SABC；（4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与x轴交于点AB，与y轴交于点C，当平移多少个单位时，点C同时在以AB为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）附：阅读材料一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于

36、一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解如解方程：y44y23=0解：令y2=x（x0），则原方程变为x24x3=0，解得x1=1，x2=3当x1=1时，即y2=1，y1=1，y2=-1当x2=3，即y2=3，y3= 3 ，y4=- 3 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3= 3 ，y4=- 3 再如 ，可设 ，用同样的方法也可求解【答案】解：（1）AB的垂直平分线为y轴，OA=OB=AB=2=1。A的坐标是（1，0），B的坐标是（1，0）。在RtOBC中，C的坐标为（0，2）。（2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b，根据题意得： ，解得： 。抛物线的解析式是：。（3）SAB

37、C=ABOC=22=2，SABD=SABC，SABD=SABC=1。设D的纵坐标是m，则AB|m|=1，m=1。当m=1时，2x2+2=1，解得：x=。当m=1时，2x2+2=1，解得：x=。D的坐标是：（，1）或（，1）或（，1），或（，1）。（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，OA=1c，OB=1c。平移以后的抛物线的解析式是：。令x=0，解得y=2c2+2，即OC= 2c2+2。当点C同时在以AB为直径的圆上时有：OC2=OAOB，则（2c22）2=（1c）（1c），即（4c23）（c21）=0。解得：c= ，（舍去），1，1（舍去）。故平移 或1个单位长度。【考点】二次函数综

38、合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平移的性质，相似三角形的判定和性质，解多元方程。【分析】（1）根据y轴是AB的垂直平分线，则可以求得OA，OB的长度，在直角OAC中，利用勾股定理求得OC的长度，则A、B、C的坐标即可求解。（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式。（3）首先求得ABC的面积，根据SABD= SABC，以及三角形的面积公式，即可求得D的纵坐标，把D的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标。（4）设抛物线向右平移c个单位长度，则0c1，可以写出平移以后的函数解析式，当点C同时在以AB为直径的圆上时由相似三角形的性质有：OC2=O

39、AOB，据此即可得到一个关于c的方程求得c的值。例9：（2012广西桂林12分）如图，在ABC中，BAC90，ABAC6，D为BC的中点(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AECF，求证：AEDCFD；(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式【答案】解：（1）证明：BAC 90， ABAC6，D为BC中点，BADDACBC45 。ADBDDC= 。AECF，AEDCFD（SAS）

40、。（2）依题意有，FCAEx，AF=6xAEDCFD，。 （3）依题意有：FCAEx，AFBEx6，ADDB，ABDDAC45，DAFDBE135 。ADFBDE（SAS）。【考点】动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等积变换。【分析】（1）由已知推出ABC是等腰直角三角形后易用SAS证得结果。 （2）由AEDCFD，根据等积变换由可得结果。（3）由AEDCFD，根据等积变换由可得结果。例10：（2012广西玉林、防城港10分）如图，在平面直角坐标系O中，梯形AOBC的边OB在轴的正半轴上，AC/OB,BCOB,过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC

41、于点D,交边BC于点E.（1）填空：双曲线的另一支在第 象限，的取值范围是 ；（2）若点C的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S最小？（3）若，SOAC=2 ，求双曲线的解析式.【答案】解：（1）三，k0，（2）梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，ACOB，BCOB，而点C的坐标标为（2，2），A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入得；把x=2代入得。A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）。当k=2时，S阴影部分最小，最小值为1.5。此时E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点。当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小。（3）设D点坐

42、标为（a，），OD=DC，即D点为OC的中点。C点坐标为（2a，）。A点的纵坐标为。把y=代入得x=，A点坐标为（，），又SOAC=2，（2a）=2，k=。双曲线的解析式为。【考点】反比例函数综合题，反比例函数图象与性质，曲线上点的坐标与方程的关系，梯形的性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据反比例函数图象与性质得到：双曲线 的一支在第一象限，则k0，得到另一支在第三象限。（2）根据梯形的性质，ACx轴，BCx轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入可得到A点的坐标和E点的坐标，然后计算出阴影部分面积S关于k的二次函数关系式，应用二次函数的最值求法即可求得阴影部分面积S最小时点E 的位置。 （3）设D点坐标为（a，），由得OD=DC，即D点为OC的中点，从而可得 C点坐标为（2a，），得到A点的纵坐标为，代入 可确定A点坐标为（，）