《测量学》课件6测量误差及数据处理的基本知识.doc

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1、 观测值函数中误差公式汇总 观测值改正数特点 精度评定 证明两式根号内相等 证明两式根号内相等 距离丈量精度计算例 67 不同精度直接观测平差 1 权的定义 二测量中常用的定权方法 误差传播定律的应用 例2试用中误差传播定律分析视距测量的精度 解 2测量高差的精度 根本公式 求全微分 高差中误差 其中 误差传播定律的应用 例31用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差 解 1周长 2用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 其中 求该正方形的周长S和面积A的中误差 面积 周长的中误差为 全微分 面积的中误差为 全微分 解1周长和面积的中误差分别为 例32用钢尺丈量某正方形四条边

2、的边长为 其中 求该正方形的周长S和面积A的中误差 2周长 周长的中误差为 面积 得周长的中误差为 全微分 但由于 观测值的算术平均值最或是值 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 即白塞尔公式 66 同等精度直接观测平差 一观测值的算术平均值最或是值最可靠值 证明算术平均值为该量的最或是值 设该量的真值为X那么各观测值的真误差为 1 1- X 2 2- X n n- X 对某未知量进行了n 次观测得n个观测值12n 那么该量的算术平均值为 x 12n n n 上式等号两边分别相加得和 L 当观测无限屡次时 得 两边除以n 由 当观测次数无限多时观测值的算术平均值就是该 量的真值当观测次数有

3、限时观测值的算术平均 值最接近真值所以算术平均值是最或是值 L X 二观测值的改正数v 以算术平均值为最或是值并据此计算各观测值的改正数 v 符合vvmin 的最小二乘原那么 Vi L - i i12n 特点1 改正数总和为零 对上式取和 以 代入 通常用于计算检核 L n vnL- n v n -0 v 0 特点2 vv符合最小二乘原那么 那么 即 vvx-2min 2x-0 dvv dx x-0 nx-0 x n 比拟前面的公式可以证明两式根号内的 局部是相等的 即在 与 中 精度评定 用观测值的改正数v计算中误差 一计算公式即白塞尔公式 证明如下 真误差 改正数 对上式取n项的平方和 由

4、上两式得 其中 中误差 定义 白塞尔 公式 解该水平角真值未知可用算术平均值的改正数V计 算其中误差 例对某水平角等精度观测了5次观测数据如下表 求其算术平均值及观测值的中误差 算例1 备注 VV60 V 0 764245 平均 9 -3 764248 5 1 -1 764246 4 9 3 764242 3 25 5 764240 2 16 -4 764249 1 V V V 观测值 次数 764245174 算例2对某距离用精密量距方法丈量六次求该距离的算术 平均值 观测值的中误差 算术平均值的中误 差 算术平均值的相对中误差 但凡相对中误差都必须用分子为1的分数表示 一权的概念 权是权衡

5、利弊权衡轻重的意思在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标 1 权的定义 设一组不同精度的观测值为l i 其中误差为miI12n选定任一大于零的常数那么定义权为 称Pi为观测值l i 的权 合肥工业大学 土建学院测量工程系 合肥工业大学 土建学院测量工程系 测 量 学第6章 测量误差及数据处理的根本知识 第6章 测量误差及数据处理的根本知识 61 概述 62 测量误差的种类 63 偶然误差的特性及其概率密度函数 64 衡量观测值精度的指标 65 误差传播定律 66 同精度直接观测平差 67 不同精度直接观测平差 68 最小二乘法原理及其应用 测量与观测值 观测与观测值的分类 观测条

6、件 等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测 独立观测和非独立观测 61 测量误差概述 61 测量误差概述 测量误差及其来源 测量误差的来源 1仪器误差仪器精度的局限轴系剩余误差等 2人为误差判断力和分辨率的限制经验等 3外界条件的影响温度变化风大气折光等 测量误差的表现形式 测量误差真误差观测值-真值 观测值与真值之差 观测值与观测值之差 例 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消前后视等距 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消盘左盘右取平均 2系统误差 误差出现的大小符号相同或按 规律性变化具有积累性 系统误差可以消除或减弱 计

7、算改正观测方法仪器检校 测量误差分为粗差系统误差和偶然误差 62 测量误差的种类 1粗过失误超限的误差 3偶然误差误差出现的大小符号各不相同 外表看无规律性 例估读数气泡居中判断瞄准对中等误差 导致观测值产生误差 准确度测量成果与真值的差异 最或是值最接近真值的估值最可靠值 测量平差求解最或是值并评定精度 4几个概念 精密度观测值之间的离散程度 举例 在某测区等精度观测了358个三角形的内 角之和得到358个三角形闭合差i偶然误 差也即真误差 然后对三角形闭合差i 进行分析 分析结果说明当观测次数很多时偶然 误差的出现呈现出统计学上的规律性而 且观测次数越多规律性越明显 63 偶然误差的特性

8、用频率直方图表示的偶然误差统计 频率直方图的中间高两边低并向横轴逐渐逼近 对称于y轴 频率直方图中每一条形的面积表示误差出现在该区 间的频率kn而所有条形的总面积等于1 各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状表现出偶然误差的普遍规律 图6-1 误差统计直方图 从误差统计表和频率直方图中可以归纳出偶然误 差的四个特性 特性123决定了特性4特性4具有实用意义 3偶然误差的特性 1在一定的观测条件下偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值有界性 2绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的时机多趋向性 3绝对值相等的正误差和负误差出现的时机相等对称性 4当观测次数无限增加时偶然误差的算术平均值趋近于零 抵偿性

9、 偶然误差具有正态分布的特性 当观测次数n无限增多n误差区间d无限缩小 d0时各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线 这条曲线称为 正态分布曲 线又称为 高斯误差分 布曲线 所以偶然误差 具有正态分布 的特性 图6-1 误差统计直方图 1方差与标准差 由正态分布密度函数 式中 为常数 272828 x y 正态分布曲线a0 令 上式为 64 衡量精度的指标 标准差 的数学意义 表示的 离散程度 x y 较小 较大 称为标准差 上式中 称为方差 测量工作中用中误差作为衡量观测值精度的标准 中误差 观测次数无限多时用标准差 表示偶然误差的离散情形 上式中偶然误差为观测值与真值X之差 观测次数n有限时用中

10、误差m表示偶然误差的离散情形 ii - X P123表5-2 m1小于m2说明第一组观测值的误差分布比拟集中 其精度较高相对地第二组观测值的误差分布比 较离散其精度较低 m127是第一组观测值的中误差 m236是第二组观测值的中误差 2容许误差极限误差 根据误差分布的密度函数误差出现在微分区间d内的概 率为 误差出现在K倍中误差区间内的概率为 将K123分别代入上式可得到偶然误差分别出现在 一倍二倍三倍中误差区间内的概率 P m0683683 P2m0954954 P3m0997997 测量中一般取两倍中误差2m作为容许误差也称为限差 容3m 或 容2m 3相对误差相对中误差 误差绝对值与观测

11、量之比 用于表示距离的精度 用分子为1的分数表示 分数值较小相对精度较高分数值较大相对精度较低 K2 K1所以距离S2精度较高 例2用钢尺丈量两段距离分别得S1100米m1002m S2200米m2002m计算S1S2的相对误差 002 1 002 1 K1 K2 100 5000 200 10000 解 一一般函数的中误差 令 的系数为 c式为 由于 和 是一个很小的量可代替上式中的 和 c 代入b得 对a全微分 b 设有函数 为独立观测值 设 有真误差 函数 也产生真误差 a 65 误差传播定律 对Z观测 了k次 有k个式 d 对d式中的一个式子取平方ij1n且ij e 对K个e式取总和 f f f式两边除以K得g式 g 由偶然误差的抵偿性知 g式最后一项极小于前面各项 可忽略不计那么 前面各项 即 h h 考虑 代入上式得中误差关系式 6-10 上式为一般函数的中误差公式也称