圆锥曲线与方程导学案.docx

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1、圆锥曲线与方程导学案其次章圆锥曲线与方程(曲线方程、椭圆)教学设计 2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)学问教学点使学生驾驭常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法(二)实力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培育学生综合运用各方面学问的实力(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生驾驭常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础二、教材分析1重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法(解决方法：对每种方法用例题加以说明，使学生驾驭这种方法)2难点：作相关点法求动点的轨迹方法(解决方法：先使学生了解相关点法的

2、思路，再用例题进行讲解)教具打算：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热忱，激发学生的求知欲，培育严谨的学习看法，培育主动进取的精神三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何探讨的主要问题是：(1)依据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，探讨平面曲线的性质我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的探讨，今日在上面已经探讨的基础上来对依据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析(二)几种常见求轨迹方程的方法1干脆法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满意的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的

3、方程，这种方法叫干脆法例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0即x2+y2=4R2或x2+y2=0故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0对(2)分析：题设中没有详细给出动点所满意的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数由学生演板

4、完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OMAMkOMkAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)2定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义干脆写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何学问分析得出这些条件直平分线l交半径OQ于点P(见图245)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程分析：点P在AQ的垂直平分线上，|PQ|=|PA|又P在半径OQ上|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方

5、程解：连接PAlPQ，|PA|=|PQ|又P在半径OQ上|PO|+|PQ|=2由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆3相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代换法)例3已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上随意一点，点P在线段AB上，且有BPPA=12，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程分析：P点运动的缘由是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)BPPA=1

6、2，且P为线段AB的内分点4待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求例4已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0抛物线和双曲线仅有两个公共点，依据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根=1664-4Q4b2=0，即a2=2b(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果练习题用一小黑板给出1ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另

7、两边斜率的2点P与肯定点F(2，0)的距离和它到肯定直线x=8的距离的比是12，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3求抛物线y2=2px(p0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程答案：义法)由中点坐标公式得： (四)、教学反思求曲线的轨迹方程一般地有干脆法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍 五、布置作业1两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程2动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹3已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦A

8、B，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程作业答案：1以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|P点只能在x轴上且x1，轨迹是一条射线六、板书设计 几何圆锥曲线 第十章圆锥曲线学问网络 第1讲椭圆学问梳理1.椭圆定义：（1）第肯定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点.当时,的轨迹为椭圆;当时,的轨迹不存在;当时,的轨迹为以为端点的线段（2）椭圆的其次定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆

9、（利用其次定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:标准方程 性 质参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率 准线 3.点与椭圆的位置关系:当时,点在椭圆外;当时,点在椭圆内;当时,点在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交;直线与椭圆相切;直线与椭圆相离重难点突破重点:驾驭椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程探讨椭圆的几何性质及其应用难点:椭圆的几何元素与参数的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法探讨椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系1.要有用定义的意识

10、问题1已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=_。解析的周长为，=82.求标准方程要留意焦点的定位问题2椭圆的离心率为，则解析当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，综上或3热点考点题型探析考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1(湖北部分重点中学2022届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线动身，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A4aB2(ac)C2(a+c)D以上

11、答案均有可能解析按小球的运行路径分三种状况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2),此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.（2022佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为（）A.3B.6C.12D.24解析C.长半轴a=3，ABF2的周长为4a=122.(广雅中学20222022学年度上学期期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A5B7C13D15解析B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=7题型

12、2求椭圆的标准方程例2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】精确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系警示易漏焦点在y轴上的状况【新题导练】3.假如方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析(0,1).椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k1.又k0，0k1.4.已知方程,探讨方程表示的曲线的形态解析当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当时，方

13、程表示圆心在原点的圆，当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，求这个椭圆方程.解析，所求方程为+=1或+=1.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析，【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，确定了椭圆的形态；反之，形态确定，离心率也随之确定（2）只要列出的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应赐予足够关注【新题导练】6.(执信中学2022-2022学年

14、度第一学期高三期中考试)假如一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为.解析选7.（江苏盐城市三星级中学2022届第一协作片联考）已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为解析由，椭圆的离心率为8.(山东济宁20222022学年度高三第一阶段质量检测)我国于07年10月24日胜利放射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，其次次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离

15、心率比其次次变轨后的椭圆的离心率（）A不变B.变小C.变大D.无法确定解析，选A题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例4已知实数满意,求的最大值与最小值【解题思路】把看作的函数解析由得,当时,取得最小值,当时,取得最大值6【名师指引】留意曲线的范围，才能在求最值时不出差错【新题导练】9.已知点是椭圆（，）上两点,且,则=解析由知点共线,因椭圆关于原点对称,10.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点则_解析由椭圆的对称性知：考点3椭圆的最值问题题型:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例5椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为

16、_【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析在椭圆上任取一点P,设P().那么点P到直线l的距离为：【名师指引】也可以干脆设点，用表示后，把动点到直线的距离表示为的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】11.椭圆的内接矩形的面积的最大值为解析设内接矩形的一个顶点为，矩形的面积12.是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值解析当时，取得最大值，当时，取得最小值13.（2022惠州）已知点是椭圆上的在第一象限内的点，又、，是原点，则四边形的面积的最大值是_解析设，则考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴

17、端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围【解题思路】通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式解析（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得故椭圆的离心率为，其标准方程为：（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）ykxm2x2y21得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0（*）x1x22kmk22，x1x2m21k22AP3PBx13x2x1x22x2x1x23x22消去x2

18、，得3（x1x2）24x1x20，3（2kmk22）24m21k220整理得4k2m22m2k220m214时，上式不成立；m214时，k222m24m21，因3k0k222m24m210，1m12或12m1简单验证k22m22成立，所以（*）成马上所求m的取值范围为（1，12）（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14.(2022广州四校联考)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A.B.C.D.解析，选A.15.如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2

19、，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。 解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角即解得：又M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是抢分频道基础巩固训练1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为()ABCD解析B.2.（广东省

20、四校联合体2022-2022学年度联合考试）设F1、F2为椭圆+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当F1PF2面积为1时，的值为A、0B、1C、2D、3解析A.，P的纵坐标为，从而P的坐标为，0，3.(广东广雅中学20222022学年度上学期期中考)椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是ABCD解析D.,两式相减得：，4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率解析5.已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若,则此椭圆的离心率为_.解析三角形三边的比是6.(2022江苏)在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线相互垂直，则离心率=解析综合提

21、高训练7、已知椭圆与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率求椭圆方程解析直线l的方程为：由已知由得：，即由得：故椭圆E方程为8.(广东省汕头市金山中学20222022学年高三第一次月考)已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点C是椭圆上异于长轴端点的随意一点，对于ABC，求的值。解析（1）点是线段的中点是的中位线又椭圆的标准方程为=1（2）点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理，9.(海珠区2022届高三综合测试二)

22、已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.()求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;()过点P(0,2)的直线交()中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 圆锥曲线学案练习题 2.1圆锥曲线一、学问要点1.通过用平面截圆锥面，经验从详细情境中抽象出椭圆；抛物线模型的过程；2.椭圆的定义：3.双曲线的定义：4.抛物线的定义：5.圆锥曲线的概念：二、例题例1.试用适当的方法作出以两个定点为焦点的一个椭圆。例2.已知：到两点距离之和为9的点的轨迹是什么图形？到两点距离

23、之差的肯定值等于6的点的轨迹是什么图形？到点的距离和直线的距离相等的点的轨迹是什么图形？ 例3.(参选)在等腰直角三角形中，以为焦点的椭圆过点，过点的直线与该椭圆交于两点，求的周长。 三、课堂检测1.课本P2622.课本P2633.已知中，且成等差数列。求证：点在一个椭圆上运动；写出这个椭圆的焦点坐标。 四、归纳小结 五、课后作业1.已知是以为焦点，直线为准线的抛物线上一点，若点M到直线的距离为，则=。2.已知点，动点满意，则点的轨迹是。3.已知点，动点满意(为正常数)。若点的轨迹是以为焦点的双曲线，则常数的取值范围是。4.已知点，动点满意，则动点的轨迹是。5.若动圆与圆外切，对直线相切，则动

24、圆圆心的轨迹是。6.已知中，且成等差数列。求证：点在一个椭圆上运动；写出这个椭圆的焦点坐标。 7.已知中，长为6，周长为16，那么顶点在怎样的曲线上运动？ 8.如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点上。把笔尖放在点处，随着拉链渐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线是双曲线的一支，试说明理由。 9.若一个动点到两个定点的距离之差的肯定值为定值，试确定动点的轨迹。 10.动点的坐标满意，试确定的轨迹。 六、预习作业1.方程表示椭圆则的取值范围。2.方程表示焦点在轴上。3.方程的焦点坐标为。 2022届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习 第九章圆锥曲

25、线与方程 高考导航 考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.驾驭椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简洁几何性质；4.了解圆锥曲线的简洁应用；5.理解数形结合的思想；6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置

26、关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面对量等学问结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础学问、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类探讨、逻辑推理等方面的实力. 学问网络 9.1椭圆 典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a45325325，故a5，由勾股定理得，(453)2(253)2

27、4c2，所以c253，b2a2c2103，故所求方程为x253y2101或3x210y251.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，须要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2ny21(m0，n0且mn)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，常常用到椭圆的定义及解三角形的学问.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可

28、推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(2,2)，B(2，0)，C(0，6)，D(2，22)，E(22，2)，F(3，23).通过视察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.明显半焦距b6，则不妨设椭圆的方程是x2my261，则将点A(2,2)代入可得m12，故该椭圆的方程是x212y261.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简洁一些.不妨设有两点y212px1，y222px2，y21y22x1x2，则可知B(2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.而

29、D(2，22)，F(3，23)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(2，0)，C(0，6)不行能同时出现.故选用A(2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212y261.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，在F1PF2中，由余弦定理可知4c2m2n22mncos60，因为mn2a，所以m2n2(mn)22mn4a22mn，所以4c24a23mn，即3m

30、n4a24c2.又mn(mn2)2a2(当且仅当mn时取等号)，所以4a24c23a2，所以c2a214，即e12，所以e的取值范围是12，1).(2)由(1)知mn43b2，所以12mnsin6033b2，即F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要留意正、余弦定理，面积公式的运用；求范围时，要特殊留意椭圆定义(或性质)与不等式的联合运用，如|PF1|PF2|(|PF1|PF2|2)2，|PF1|ac.【变式训练2】已知P是椭圆x225y291上的一点，Q，R分别是圆(x4)2y214和圆(x4)2y214上的点，则|PQ|PR|的最

31、小值是.【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|PR|(|PF1|12)(|PF2|12)|PF1|PF2|19.所以|PQ|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2022全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满意|PA|PB|，求E的方程.【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a.l的方程为yxc，其中

32、ca2b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满意方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x22a2ca2b2，x1x2a2(c2b2)a2b2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|2|x2x1|2(x1x2)24x1x2，即43a4ab2a2b2，故a22b2，所以E的离心率ecaa2b2a22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0x1x22a2ca2b223c，y0x0cc3.由|PA|PB|kPN1，即y01x01c3.从而a32，b3，故E的方程为x218y291.【变式训练3】已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为e，

33、两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1|PF2|e，则e的值是()A.32B.33C.22D.63【解析】设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线xa2c，抛物线准线为x3c，x0(a2c)x0(3c)c2a213e33.故选B.总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简洁，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆须要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类探讨，或设方程为mx2ny21(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会依据

34、定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着许多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不行顾此失彼，另外肯定要留意椭圆离心率的范围.9.2双曲线 典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x4)2y22外切，与圆B：(x4)2y22内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|r2，|BE|r2，所以|AE|BE|22，又A(4,0)，B(4,0)，所以|AB|8,22|AB|.依据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.因为a2，c4，所以b2c2a

35、214，故点E的轨迹方程是x22y2141(x2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满意的几何条件，结合双曲线定义求解，要特殊留意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线x29y2161的右支上一点，M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】设P(x，y)，则由0，得APPQ，则P在以AQ为直径的圆上，即(x

36、3a2)2y2(a2)2，又P在双曲线上，得x2a2y2b21，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，当xa时，P与A重合，不符合题意，舍去；当x2a3ab2a2b2时，满意题意的点P存在，需x2a3ab2a2b2a，化简得a22b2，即3a22c2，ca62，所以离心率的取值范围是(1，62).【点拨】依据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的

37、充要条件是()A.k2e21B.k2e21C.e2k21D.e2k21【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满意bakba，即k2b2a2c2a2a2e21，故选C.题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2022广东)已知双曲线x22y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由题意知|x1|2，A1(2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为yy1x12(

38、x2)，直线A2Q的方程为yy1x12(x2).方法一：联立解得交点坐标为x2x1，y2y1x1，即x12x，y12yx，则x0，|x|2.而点P(x1，y1)在双曲线x22y21上，所以x212y211.将代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22y21，x0且x2.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，得y2y21x212(x22).又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212y211，即y21x2121.代入式整理得x22y21.因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x2y20

39、.解方程组得x2，y0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，1).综上分析，轨迹E的方程为x22y21，x0且x2.(2)设过点H(0，h)的直线为ykxh(h1)，联立x22y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1h212，k2h212.由于l1l2，则k1k2h2121，故h3.过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1l2，因此A1HA2H，由h2(h2)1，得h2.此时，l1，l2的方程分别为yx2与yx2，它们与轨迹E分别仅有一个交点

40、(23，223)与(23，223).所以，符合条件的h的值为3或2.【变式训练3】双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.122B.322C.422D.522【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.据题意设|AF1|x，则|AB|x，|BF1|2x.由双曲线定义有|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)(21)xx4a，即x22a|AF1|.故在RtAF1F2中可求得|AF2|F1F2|2|AF

41、1|24c28a2.又由定义可得|AF2|AF1|2a22a2a，即4c28a2222a，两边平方整理得c2a2(522)c2a2e2522，故选D.总结提高1.要与椭圆类比来理解、驾驭双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特殊留意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，留意其中的隐含条件.当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当|PF1|PF2|2a|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要驾驭以下两个问题：(1)已知双曲

42、线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线ybax，可将双曲线方程设为x2a2y2b2(0)，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法. 9.3抛物线 典例精析题型一抛物线定义的运用【例1】依据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点P(2，4)；(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.【解析】(1)设方程为y2mx或x2ny.将点P坐标代入得y28x或x2y.(2)设A(m，3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y22px(p0)，由定义得5|AF|mp2|，又(3)22pm，所以p1或9，所求方程为y22x或y218x.【变式

43、训练1】已知P是抛物线y22x上的一点，另一点A(a,0)(a0)满意|PA|d，试求d的最小值.【解析】设P(x0，y0)(x00)，则y202x0，所以d|PA|(x0a)2y20(x0a)22x0x0(1a)22a1.因为a0，x00，所以当0a1时，此时有x00，dmin(1a)22a1a；当a1时，此时有x0a1，dmin2a1.题型二直线与抛物线位置探讨【例2】(2022湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任始终线，都有0？若存在，求出

44、m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上随意一点，那么点P(x，y)满意：(x1)2y2x1(x0).化简得y24x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).设l的方程为xtym，由得y24ty4m0，16(t2m)0，于是又(x11，y1)，(x21，y2).0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.又xy24，于是不等式等价于y214y224y1y2(y214y224)10(y1y2)216y1y214(y1y2)22y1y210.由式，不等式等价于m26m14t2.对随意实

45、数t,4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，即322m322.由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任始终线，都有0，且m的取值范围是(322，322).【变式训练2】已知抛物线y24x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y11y2.【解析】y24my8m0，所以1y11y2y1y2y1y212.题型三有关抛物线的综合问题【例3】已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k使0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，把ykx2代入y2x2，得2x2kx20，由韦达定理得x1x2k2，x1x21，所以xNxMx1x22k4，所以点N的坐标为(k4，k28).设抛物线在点N处的切线l的方程为yk28m(xk4)，将y2x2代入上式，得2x2mxmk4k280，因为直线l与抛物线C相切，所以m28(mk4k28)m2