专题04,概率统计（解析版）.docx

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1、专题04,概率统计（解析版） 概率统计专项练习 1某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创城期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明五大创建活动、文明校内创建六个好、五个礼让共 5 个问题，提问时将从中抽取 2 个问题进行提问.某日，创城检查人员来到 A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了 5 个问题中的 2个，乙背了其中的 3 个，丙背了其中的 4 个.计一个问题答对加 10 分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分 60 分，达到 30 分该学校为合格，达到 50 分

2、时该学校为优秀. （1）求 A 校优秀的概率（保留 3 位小数）； （2）求出 A 校答对的问题总数 X 的分布列，并求出 A 校得分的数学期望； （3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议. 2某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子沟通，记忆功能还可以记住宝宝的运用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时供应欢乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教化内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了许多家长欢迎.为了更好地服务广阔家长，该公司探讨部门从流水线上随机抽取 100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频

3、率分布直方图（如图 1）：试卷第 2 页，总 9 页 产品的性能指数在 ) 50,70 的适合托班幼儿运用（简称 A 类产品），在 ) 70,90 的适合小班和中班幼儿运用（简称B类产品），在 90,110 的适合大班幼儿运用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件 1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这 100 件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率. （1）求每件产品的平均销售利润； （2）该公司为了解年营销费用 x （单位：万元）对年销售量 y （单位：万件）的影响，对近 5 年的年营销费用ix ，和年销售量 ( ) 1,2,3,4,5iy

4、 i = 数据做了初步处理，得到的散点图（如图 2）及一些统计量的值. 51iiu= 51iiu= ( )( )51i iiu u u u=- - ( )521iiu u=- 16.30 24.87 0.41 1.64表中 lni iu x = ， lni iy u = ，5115iiu u=，5115iiu u=. 依据散点图推断，by a x = 可以作为年销售量 y （万件）关于年营销费用 x （万元）的回来方程. （i）建立 y 关于 x 的回来方程； （ii）用所求的回来方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取4.15964

5、e =）. 参考公式：对于一组数据 ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nu u u u u u ，其回来直线 u u a b = + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为( )( )( )121ˆni iiniiu uu uu ub=- -=-，ˆˆ u a u b = - .3甲，乙两人进行抛硬币嬉戏，规定：每次抛币后，正面对上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在嬉戏，且知甲再赢 m (常数 1 m> )次就获胜，而乙要再赢 n (常数 nm )次才获胜，其中一人获胜嬉戏就结束.设再进行 x 次抛币，嬉戏结束. （1）若 2 m= ， 3

6、 n= ，求概率 ( ) 4 P x = ； （2）若 2 n m = + ，求概率 ( )( ) 2,3, , 1 P m k k m x = + = + 的最大值(用 m 表示). 4某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21 改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36

7、（1）完成下面的列联表，并推断能否有 99的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?超过 30 不超过 30 改造前 改造后 （2）工厂的生产设备的运行须要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种对生产设备设定维护周期为 T 天(即从开工运行到第 kT 天，k∈N*)进行维护生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费经测算，正常维护费为 0.5 万元次；保障维护费第一次为 0.2

8、万元周期，此试卷第 4 页，总 9 页 后每增加一次则保障维护费增加 0.2万元现制定生产设备一个生产周期(以 120 天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值 附：22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d-=+ + + + P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.8285近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内实惠力度较大，吸引越来越

9、多的人起先运用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天运用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数， y 表示每天运用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：表：依据以上数据，绘制了散点图. x1 2 3 4 5 6 7 y6 11 21 34 66 101 196（1）依据散点图推断，在推广期内 ya bx = +与xy c d = （ c ， d 均为大于零的常数）哪一个相宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回来方程类型？（给出推断，不必说明理由）； （2）依据（1）的推断结果及表中的数据，建立 y 关于 x 的回来方程，并预料活动推出第 8 天运用扫

10、码支付的人次； （3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式 现金 乘车卡 扫码 比例 10% 60% 30% 车队为缓解周边居民出行压力，以 80 万元的单价购进了一批新车，依据以往的阅历可知，每辆车每个月的运营成本约为 0.66 万元.已知该线路公交车票价为 2元，运用现金支付的乘客无实惠，运用乘车卡支付的乘客享受 8 折实惠，扫码支付的乘客随机实惠，依据统计结果得知，运用扫码支付的乘客中有16的概率享受 7折实惠，有13的概率享受8 折实惠，有12的概率享受 9 折实惠，预料该车队每辆车每个月有 1 万人次乘车，依据所给数据以事务发生的频率作为相应事务发生的概率

11、，在不考虑其它因素的条件下，根据上述收费标准，假设这批车须要 ( )*n n N 年才能起先盈利，求 n 的值. 参考数据：其中 lgi iv y = ，7117iiv v= 参考公式：对于一组数据 ( ) ,i iu v ， ( )2 2, u v ， ( ) ,n nu v ，其回来直线 va u b = +的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：12 21ni iiniiuv nuvu nub=-=-， av u b = -. yv71i iix y= 71i iixv= 0.5410 66 1.54 2.711 50.12 3.47试卷第 6 页，总 9 页 6某市有两家共享单车公司，在

12、市场上分别投放了黄蓝两种颜色的单车，已知黄蓝两种颜色单车的投放比例为 1:2 .监管部门为了解两种颜色单车的质量，确定从市场中随机抽取 5 辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的 5 辆单车中有 3 辆是蓝色单车的概率； （2）在骑行体验过程中，发觉蓝色单车存在肯定质量问题，监管部门确定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并接着从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过 4 次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用 x 表示，求 x 的分布列及数学期望. 7某学校工会主动组

13、织学校教职工参加日行万步健身活动，规定每日行走不足 8千步的人为不健康生活方式者，不少于 14 千步的人为超健康生活方式者，其他为一般健康生活方式者.某日，学校工会随机抽取了该校 300 名教职工的日行万步健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在 4,20 内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的 300 名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数). （2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数 x 听从正态分布 ( )2, N m s ，其中， m 为（1）中求得的平均数标准差 s 的近似值为 2，求该校被抽取的 300

14、名教职工中日行步数 (14,18) x 的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取 2 人作为日行万步活动的慰问嘉奖对象，规定：不健康生活方式者赐予精神激励，嘉奖金额每人 0元；一般健康生活方式者嘉奖金额每人 100 元；超健康生活方式者嘉奖金额每人 200元，求工会慰问嘉奖金额 X 的分布列和数学期望. 附：若随机变量 x 听从正态分布 ( )2, N m s ，则 ( ) 0.6827 P m s x m s - + „ ，( 2 2 ) 0.9545 P m s x m s - + „ ， ( 3 3 ) 0

15、.9973 P m s x m s - + „ . 8为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物探讨所科研人员随机选取 100 只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：（1）依据频率分布直方图，估计 100 只小白鼠该项医学指标平均值 x （同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）若认为小白鼠的该项医学指标值 X 听从正态分布 ( )2, N m s ，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于 14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步探

16、讨还发觉，对第一次注射疫苗的 100 只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行其次次注射疫苗，约有 10 只小白鼠又产生了抗体这里 m 近似为小白鼠医学指标平均值 x ，2s 近似为样本方差2s 经计算得26.92 s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率 p （精确到 0.01） 附：参考数据与公式试卷第 8 页，总 9 页 6.92 2.63 ，若 ( )2 , X N m s ，则 ( ) 0.6827 P X m s m s - + = ；( ) 2 2 0.9545 P X m s m s - + = ； ( ) 3 3 0.9973 P X m s m

17、 s - + = 92020 年国庆节期间，我国高速马路接着执行节假日高速马路免费政策.某路桥公司为驾驭国庆节期间车辆出行的高峰状况，在某高速马路收费站点记录了 3 日上午9:2010:40 这一时间段内通过的车辆数，统计发觉这一时间段内共有 600 辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:209:40 记作 20,40) 、9:4010:00 记作 40,60) ，10:0010:20 记作 60,80) ，10:2010:40 记作 80,100) ，例如：10 点 04 分，记作时刻 64.（）估计这 600 辆车在 9:2010:40 时间

18、内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （）为了对数据进行分析，现采纳分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9:2010:00 之间通过的车辆数为 X，求 X 的分布列； （）依据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T听从正态分布 ( )2 , N m s ，其中 m 可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2s 用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4 日全天共有 1000 辆车通过该收费站点，估计在 9

19、:4610:40 之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 附：若随机变量 T听从正态分布 ( )2, N m s ，则 ( ) 0.6827 P T m s m s - + = ，( 2 2 ) 0.9545 P T m s m s - + = ， ( 3 3 ) 0.9973 P T m s m s - ，( )f t在 ( ) 0,4 单调递增， 当 ( ) 4 t , + 时， ( ) 0 f t ，( )f t在 ( )4,+ 单调递减， 所以，当 4 t = ，即 256 x = 时， z 有最大值为 768， 即该厂应投入 256 万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大 768

20、万元. 3（1）38.（2）() ( )2 11 12 21C C2mm mm m+- + （1）依据竞赛 4 次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2 且最终一次甲胜或者1：3 且最终一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结； （2）先表示出 ( ) P m k x = + ，构造函数，作商比较，推断出单调性，结合单调性可得最大值.（1）依题意，嬉戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2 且最终一次甲胜或者 1：3 且最终一次乙胜， ( )( ) ( )3 31 23 31 1 1 1 342 2 2 2 8P C C x = = + = . （2）依题意， ( )( ) ( )1

21、 11 11C C2m km mm k m kP m k x+- + - + -= + = + ( ) 2,3, , 1 k m = + . 答案第 5 页，总 15 页 设 ( )( ) ( )1 11 11C C2m km mm k m kf k+- + - + -= + ( )( )( )( ) ( )( )1 ! 1 !12 1 ! ! 1 ! 2 !m km k m km k m k+ - + - = + - + - ( ) ( )( )( )( )1 111 !2 1 ! !m km m k km km k+ + -= + -+ 则( )( )1 f kf k+( ) ( )( )

22、 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )11 11!2 1 ! 1 !1 111 !2 1 ! !m km km m k km km km m k km km k+ + + + + +=+ + - + -+( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 12 1 1 1m k m m k kk m m k k+ + + + =+ + + - . 而( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 112 1 1 1m k m m k kk m m k k+ + + + + + + - (*) ( ) ( ) ( )3 2 2 21 2 2 0 k m k m k m m m - +

23、+ - - - -( ) ( )2 22 0 k m k k m m - - + - - .(#) 因为2 22 0 k k m m - + - - =的判别式 ( )21 4 2 0 m m D = - - - 2 704m m - - N 时恒成立)，所以2 22 0 k k m m - + - - . 又因为 k m ，所以(#)恒成立，从而(*)成立. 所以( )( )11f kf k+ ，即 ( ) ( ) 1 f k f k + (当且仅当 k m = 时，取=)， 所以 ( ) f k 的最大值为 ( ) ( )( ) ( )2 11 12 211 C C2mm mm mf m

24、f m+- += + = + ， 答案第 6 页，总 15 页 即 ( ) P m k x = + 的最大值为 () ( )2 11 12 21C C2mm mm m+- + . 4（1）见解析，有 99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）见解析；均值为 2.275万元.（1）依据已知改造前后数据完成 2 2 列联表，计算2K，查表与临界值比较大小即可确定； （2）依题意可知，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14P = ，一个生产周期内需保障维护的次数听从二项分布.计算出一个生产周期内的正常维护费和保障维护费即可得出一个生产周期内的生产维护费，依据二项分布概率公式可

25、求出分布列及期望.解：（1）列联表为：超过 30 不超过 30 改造前 5 15 改造后 15 5 ( )2240 5 5 15 1510 6.63520 20 20 20K - = = 有 99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.（2）由题知，生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14P = . 设一个生产周期内需保障维护的次数为 x ，则1 4,4B x ；一个生产周期内的正常维护费 答案第 7 页，总 15 页 为 0.5 4 2 = 万元，保障维护费为( )( )20.2 10.1 0.12x xx x += +

26、万元. 一个生产周期内需保障维护 x 次时的生产维护费为 ()20.1 0.1 2 x x + + 万元. 设一个生产周期内的生产维护费为 X，则 X的全部可能取值为 2，2.2，2.6，3.2，4. ( )41 812 14 256P X = = - = ( )3141 1 272.2 14 4 64P X C = = - = ( )2 2241 1 272.6 14 4 128P X C = = - = ( )3341 1 33.2 14 4 64P X C = = - = ( )41 144 256P X = = = 所以， X 的分布列为 X2 2.2 2.6 3.2 4 P81256

27、 2764 27128 364 1256( )81 27 27 3 12 2.2 2.6 3.2 4256 64 128 64 256E X = + + + + 162 237.6 140.4 38.4 4 582.42.275256 256+ + + += = = 一个生产周期内生产维护费的均值为 2.275 万元. 答案第 8 页，总 15 页 5（1）xy c d = ；（2）0.253.47 10xy = ，347；（3）7.（1）依据散点近似在指数型函数的图象上，可知，xy c d = 相宜作为扫码支付的人数 y 关于活动推出天数 x 的回来方程类型：（2）对xy cd = 两边同时

28、取常用对数得：( ) lg lg lg lgxy c d c x d = = + ，换元，设 lg y v = ，则 lg lg v c x d = + ，再利用最小二乘法求出 lg 0.25 v c x = + ，由此可得0.253.47 10xy = ，把 8 x= 代入上式可的结果； （3）记一名乘客乘车支付的费用为 Z ，则 Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4； 依据题意计算出 Z 取每个值的概率，依据期望公式求出一名乘客一次乘车的平均费用，再依据利润大于 0 列不等式，解得结果即可得解.（1）因为散点近似在指数型函数的图象上，所以xy c d = 相宜作为扫码支付的人数 y

29、 关于活动推出天数 x 的回来方程类型：（2）xy c d = ，两边同时取常用对数得：( ) lg lg lg lgxy c d c x d = = + ； 设 lg y v = ，∴ lg lg v c x d = + ， 4 x =，1.54 v =，721140iix=， ∴7172 21750.12 7 4 1.54 7lg 0.25140 7 16 287i iiiixv xvdx x=- = = = =- -， 把样本中心点 ( ) 4,1.54 代入 lg 0.25 v c x = + ， 得：lg 0.54 c = ，∴054 0.2

30、5 v x = +，∴ lg 0.54 0.25 y x = + ， 答案第 9 页，总 15 页 ∴ y 关于 x 的回来方程式：0.54 0.25 0.54 0.25 0.2510 10 10 3.47 10x x xy+= = = ； 把 8 x= 代入上式：∴0.25 83.47 10 347 y= =； 活动推出第 8 天运用扫码支付的人次为 347； （3）记一名乘客乘车支付的费用为 Z ，则 Z 的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4； ( ) 2 0.1 P Z = = ； ( )11.8 0.3 0.152P Z = = = ； (

31、 )11.6 0.6 0.3 0.73P Z = = + = ； ( )11.4 0.3 0.056P Z = = =所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2 0.1 1.8 0.15 1.6 0.7 1.4 0.05 1.66 + + + = （元）， 由题意可知：1.66 1 12 0.66 12 80 0 n n - - ， 203n ，所以， n 取 7；估计这批车也许须要 7 年才能起先盈利.本题考查了散点图，考查了求非线性回来方程，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题. 6（1）80243；（2）分布列答案见解析，数学期望：4081.（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事务的

32、概率； 答案第 10 页，总 15 页 （2）由题可知，随机变量 x 的可能取值有 0 、 1 、 2 、 3 、 4 ，计算出随机变量 x 在不同取值下的概率，由此可得出随机变量 x 的分布列和期望.（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为23，用 X 表示抽取的 5 辆单车中蓝色单车的个数，则 X 听从二项分布，即2 5,3X B ， 所以抽取的 5 辆单车中有 3 辆是蓝色单车的概率为3 2352 1 803 3 243C = ； （2）随机变量 x 的可能取值为：01234. ( )203p x = = ， ( )1 2 213 3 9p x = = = ，( )21 2 223

33、 3 27p x = = = ， ( )31 2 233 3 81p x = = = ，( )41 143 81p x = = = . 所以 x 的分布列如下表所示：x0 1 2 3 4 p23 29 227 281 181 ( )2 2 2 2 1 400 1 2 3 43 9 27 81 81 81E x = + + + + = . 7（1）12 ；（2）47 ；（3）分布列答案见解析，数学期望：216 .（1）依据频率分布直方图，利用平均数求解. 答案第 11 页，总 15 页 （2）依据 ( )2 12,2 N x ，由 (14 18) P x 1 (6 18) (10 14)2P P

34、 x x = - 求得概率，然后再乘以 300 求解. （3）由频率分布直方图知每人获得嘉奖为 0 元的概率为 0.02，嘉奖金额为 100 元的概率为0.88，嘉奖金额为 200 元的概率为 0.1，易得 X 的可能取值为 0，100，200，300，400，分别求得其相应的概率，列出分布例，再求期望.（1）依题意得 0.01 5 0.01 7 0.08 9 0.58 11 x = + + + 0.22 13 0.06 15 0.03 17 0.01 19 11.68 12 + + + + = . （2）因为 ( )2 12,2 N x ， 所以 (14 18) (12 2 12 3 2)

35、P P x x = + + ， 1 (6 18) (10 14) 0.15732P P x x = - 所以走路步数 (14,18) x 的总人数为 300 0.1573 47 . （3）由频率分布直方图知每人获得嘉奖为 0 元的概率为 0.02，嘉奖金额为 100 元的概率为0.88，嘉奖金额为 200 元的概率为 0.1. 由题意知 X 的可能取值为 0，100，200，300，400. 2( 0) 0.02 0.0004 P X = = = ；12( 100) 0.02 0.88 0.0352 P X C = = = ； 1 22( 200) 0.02 0.1 0.88 0.7784 P

36、 X C = = + = ；12( 300) 0.1 0.88 0.176 P X C = = = ； 2( 400) 0.1 0.01 P X = = = . 所以 X 的分布列为 答案第 12 页，总 15 页 X 0 100 200 300 400 P 0.0004 0.0352 0.7784 0.176 0.01 ( ) 0 0.0004 100 0.0352 200 0.7784 300 0.176 400 0.01 216 E X = + + + + = . 8（1）17.4 ；（2）0.94 .（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为 x ； （2）先计算第

37、一次注射疫苗后产生抗体的概率 ( ) ( ) 14.77 P x P x m s = - ，即可计算第一次注射疫苗后 100 只小白鼠中产生抗体的数量，加上其次次注射疫苗 10 只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率.（1）0.02 12 2 0.06 14 2 0.14 16 2 0.18 18 2 0.05 20 2 x = + + + + 0.03 22 2 0.02 24 2 17.4 + + =（2）17.40 2.63 14.77 m s - = - =∴ ( )1 0.68270.6827 0.84142P x m s- - = + =记事务 A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则 ( ) ( ) ( ) 14.77 0.8414 P A P x P x m s = = - = ， 因此 100 只小鼠首先注射疫苗后有 100 0.8414 84 只产生抗体，有 100 84 16 - = 只没有产生抗体故注射疫苗后产生抗体