七年级上3.4一元一次方程模型的应用教案(湘教版).docx

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1、七年级上3.4一元一次方程模型的应用教案(湘教版)应用一元一次方程追逐小明 6应用一元一次方程追逐小明 1行程问题中的基本关系式行程问题是在匀速运动的条件下，全部探讨物体运动的路程、速度和时间，及运动状态的问题的统称行程问题中路程、速度和时间三个量之间的关系路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度.【例1】一列火车从车头进隧洞到车尾出隧洞共用了10分钟，已知火车的速度是500米/分，隧洞长为4800米，问这列火车长是多少米？分析：隧洞用AB表示，火车用CD表示，画出示意图如图所示设火车长为x米，从图中易见：火车从进洞前的D点行驶到出洞后的D点，共行驶了(4800x)米，用了10分钟，然后依据“

2、4800x火车的速度10”列出方程求解解：设火车长为x米，依题意，得4800x50010.解得x200.答：这列火车长是200米2相遇问题的解决方法相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行如图1就是相遇问题图2也可看成相遇问题来解决相遇问题中的相等关系甲、乙的速度和相遇时间总路程；甲行的路程乙行的路程总路程，即s甲s乙s总；甲用的时间乙用的时间_【例2】A，B两地间的路程为360千米，甲车从A地动身开往B地，每小时行驶72千米甲车动身25分钟后，乙车从B地动身开往A地，每小时行驶48千米(1)几小时后两车相遇？(2)两车相遇后，各自仍按原速度和原方向接着行驶那么相遇以后两车相距100千米

3、时，甲车从动身共行驶了多少小时？分析：(1)本小题属于相遇问题相等关系是：甲车的行程乙车的行程360千米(2)相等关系是：甲车行驶的路程乙车行驶的路程(360100)千米解：(1)设经过x小时两车相遇，则据题意，得722560x48x360.解得x234.答：234小时后两车相遇(2)设相遇以后两车相距100千米时，甲车共行驶了x小时，则乙车共行驶了x2560小时，由题意可知，甲车行驶的路程是72x千米，乙车行驶的路程是48x2560千米依据题意，得72x48x2560360100.解这个方程，得x4.答：甲车共行驶了4小时,3.追及问题的解决方法追及问题的特点是同向而行追及问题有两类：同时不

4、同地，如下图：等量关系：乙的行程甲的行程行程差；速度差追刚好间追及距离即s乙s甲s差甲用的时间乙用的时间同地不同时，如下图：等量关系：甲的行程乙的行程即s甲s乙“同时不同地”中，双方行驶所用的时间相同，行驶的路程却不同(动身点不同)；而“同地不同时”中，由于行驶双方动身时间有先后，故行驶过程中用的时间不同，双方动身地相同，故行驶的路程相同【例31】李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？分析：本题是追及问题，属于“同时不同地”的类型，可依据“王亮跑的路程李成跑的路程10米”，列方程求解解：设x秒时王亮追上李成，依据题意，得7.5x7

5、x10.解得x20.所以7.520150(米)答：王亮跑150米可追上李成【例32】甲、乙两人从同地动身前往某地甲步行，每小时行6千米，先动身1.5小时后，乙骑自行车动身，又过了50分钟，两人同时到达目的地，问乙每小时行多少千米？分析：本题是“同地不同时”的追及问题，可画出线段图帮助解答本题的相等关系是：甲行驶的路程乙行驶的路程解：设乙每小时行x千米，依据题意，得5060x61.55060.解这个方程，得x16.8.答：乙每小时行16.8千米4航行(飞行)问题与环行问题(1)航行(飞行)是指轮船的航行或飞机的飞行，也属于行程问题航行问题中的基本概念：静水速度：轮船在不流淌的水中行驶的速度；顺水

6、速度：轮船顺着水流的方向航行的速度；逆水速度：轮船行驶方向与水流的方向相反时的航行速度；水速：水自身流淌的速度航行或飞行中会受到水速或风速的影响，因此此类问题的基本关系是：顺水速静水速水速，顺风速无风速风速；逆水速静水速水速，逆风速无风速风速(2)环行问题环行问题即沿环行路的行程问题，有以下两种状况：甲、乙两人在环形道上同时同地同向动身：快的必需多跑一圈才能追上慢的即快者走的路程慢者走的路程一圈的路程甲、乙两人在环形道上同时同地反向动身：两人首次相遇时的总路程为环形道的一圈长即甲走的路程乙走的路程一圈的路程【例41】一名极限运动员在静水中的划船速度为12千米/时，今来回于某河，逆流时用了10时

7、，顺流时用了6时，求此河的水流速度分析：逆水速静水速水速，顺水速静水速水速，顺流行程逆流行程解：设此河的水流速度为x千米/时，依据题意，得6(12x)10(12x)，解这个方程，得x3.答：此河的水流速度为3千米/时【例42】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米(1)假如甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向动身，那么经过多少秒两人首次相遇？(2)假如甲在乙前面8米处同时同向动身，那么经过多少秒两人首次相遇？分析：(1)属于相遇问题，相等关系：甲的行程乙的行程环形跑道一圈的长8米；(2)属于追及问题，相等关系：甲走的路程乙走的路程两地间的距离8米

8、解：(1)设经过x秒，甲、乙两人首次相遇依据题意得8x6x4008，解这个方程，得x28.答：经过28秒两人首次相遇(2)设经过x秒，甲、乙两人首次相遇，依据题意得8x6x4008，解这个方程，得x196.答：经过196秒两个人首次相遇 一元一次方程 第6章一元一次方程测试题姓名班级分数一、填空题（每题3分，共30分）1、假如，那么（依据）。2、7与x的差的比x的3倍小6的方程是3、若方程是关于X的一元一次方程，则k=4、当X=时，代数式3(x-2)与2(2+x)的值相等5、已知长方形的周长为40cm、长为xcm、宽为8cm，由题意列方程为6、要将方程的分母去掉，在方程的两边最好同时乘以7、当

9、x=时，代数式的值为0.8、某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%；再打8折出销，则出销这件商品所获利润是元。9、一件工作，甲队单独做12天可以完成，乙队单独做18天可以完成，若两队合做则天可以完成。10、某省今年高考招生17万人，比去年增加了18%，设该省去年招生x万人，则可以列方程。二、选择题（每题3分，共30分）1、方程2x+1=0的解是（）(A)(B)(C)2(D)-22、已知下列方程中、0.3x=1、x=6、x+2y=0、，其中是一元一次方程的有（）(A)2个（B）3个（C）4个（D）5个3、假如方程是一个关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是（）(A)(B)(C)m=-

10、1(D)m=04、方程2(x7)=x+4的解是（）(A)x=-5(B)x=5(C)x=14(D)x=185、对于等式，下列变形正确的是（）(A)(B)(C)(D)6、下列等式变形错误的是（）（A）由a=b,得a+5=b+5（B）由a=b,得（C）由x+2=y+2,得x=y（D）由-3x=-3y,得x=-y7、方程的解是（）(A)x=3(B)(C)(D)x=-38、将方程去括号后正确的是（）(A)(B)(C)(D)14x-1-12x+3=119、方程的解是（）(A)(B)(C)(D)10、某工人安排每生产a个零件，现在实际每天生产b个零件，则生产m个零件提前的天数为（）(A)(B)(C)(D)三

11、、解答题（共40分）1、解方程:(5分) 2、解方程:(5分) 3、解方程:(5分)4、用一根直径为16cm的圆柱形铅柱，锻造5个直径为16cm铅球，问应裁取多长的铅柱？（球的体积为）（7分） 5、为了促进销售，某商场将一种商品按标价的9折出售，仍可获利10%，若该商品的标价是33元，则该商品的进价是多少元？ 6、甲、乙两站间的路程为35千米，一辆慢车从甲站开往乙站，走了一个半小时后，另一辆快车从乙站开往甲站，已知慢车每小时行46千米，快车每小时行68千米，问快车驶出后经过多少小时两辆车相遇？（10分） 3.4实际问题与一元一次方程- 3.4实际问题与一元一次方程 【本讲教化信息】 一.教学内

12、容： 1.体会数学建模思想. 2.进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题. 二.学问要点： 1.数学建模 这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解.建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 2.用一元一次方程解决实际问题的几个留意事项 （1）先弄清题意，找出相等关系，再根据相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理. （2）所列方程两边的代数式的意义必需一样，单位要统一，数量关系肯定要相

13、等. （3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义. （4）不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称. （5）分析过程可以只写在草稿纸上，但肯定要仔细. 三.重点难点： 1.重点：进一步体现一元一次方程与实际的亲密联系，渗透数学建模思想，培育运用一元一次方程分析和解决实际问题的实力. 2.难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐藏，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点.突破难点的关键是弄清问题背景，分析清晰有关数量关系，特殊是找出可以作为列方程依据的主要相等关系. 【典型例题】 例1.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形态的饰物，如图中实线所示.小明将梯形

14、下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示.小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 分析：饰物形态改变前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是改变前梯形的上底和改变后长方形的宽.依据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x210，梯形的周长为101010610652.则2x2052，从而解得x16. 解：设小明所钉长方形的长为x，依据题意得： 2x2101010610610 整理得，2x2052 解得，x16 由于饰物改变前后长度为10的边没有改变，所以长方形的一边长为10厘米. 答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米. 评析：图形改变问题的等量关系往往是改变前后的周长相等、

15、面积相等、体积相等. 例2.一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？ 分析：设这批货物的原售价为x元，则甲的积累是（x10）10%元，乙的积累是（x20）20%，相等关系是：甲的积累乙的积累. 解：设这批货物的原售价为x元，依据题意得： （x10）10%（x20）20% 化简得：x102（x20） 即x102x40 解得x30 答：这批货物的原售价为30元. 评析：这个问题的相等关系比较简洁，难点是对两个百分数的处理. 例3.（2022年广东湛江）某足球竞赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1

16、分，负一场得0分.一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？ 分析：依据题意，所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共1459场，假如设胜了x场，那么踢平的场数就是9x场.分别乘它们的分值，和为19. 解：设胜了x场，依据题意得： 3x1（14x5）19 即3x9x19 解得x5 答：这个队胜了5场. 评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与竞赛积分规定有关，假如对体育竞赛有肯定了解，会有助于理解题意. 例4.（2022年安徽）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月削减了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这

17、个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析：数量关系如下表： 上个月 这个月 石油进口量 1 15% 进口石油费用 1 114% 石油价格 1 1x解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x.依据题意得： （1x）（15%）114% 解得x20% 答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%. 评析：借助表格来分析较困难的数量关系.这道题所用的相等关系是：数量价格费用. 例5.（2022年上海）2022年以来，我市药店主动实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元.五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2022年，2022年的相关数据.已知2022年药品降价金额是2022年药

18、品降价金额的6倍，结合表中信息，求2022年和2022年的药品降价金额. 年份 2022 2022 2022 2022 2022 降价金额（亿元） 54 35 40分析：相等关系较为明显，可以依据累计降价的总金额为269亿元列方程，结合表格假如设2022年降价金额为x亿元，则2022年降价金额为6x亿元，有54x35406x269. 解：设2022年降价金额为x亿元，依据题意得： 54x35406x269 整理得，7x140 解得，x20 6x620120 答：2022年和2022年药品降价金额分别是20亿元和120亿元 评析：这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，重点培育从

19、不同形式获得有关数据信息，是值得留意的问题. 例6.（2022年希望杯初一第1试）初一（1）班有学生60人，其中参与数学小组的有36人，参与英语小组的人数比参与数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参与的人数比两个小组都参与的人数的多2人，则同时参与这两个小组的人数是（） A.16B.12C.10D.8 分析：数量关系如下：全班共60人；参与数学小组的36人；参与英语小组的是36531人；设同时参与两个小组的人数是x人；两个小组都不参与的人数是（x2）人.如图所示，可以得另外两个数量关系：只参与数学小组的（36x）人；只参与英语小组的（31x）人.图中四部分相加和为60.即（x2）（36x）

20、（365x）x60.解得：x12. 解：B 评析：这道题的数量关系特别困难，但是结合图形可以使其变得很明朗. 【方法总结】 应用数学学问去探讨和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型.从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学探讨的基础.没有一个较好的数学模型就不行能得到较好的探讨结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一.数学建模将各种学问综合应用于解决实际问题中，是培育和提高同学们应用所学学问分析问题、解决问题的实力的必备手段之一. 【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一.选择题 1.试验中学七年级（2）班有学生56人，已知男生人数比女生人数的2倍少11人，

21、求男生和女生各多少人？下面设未知数的方法，合适的是（） A.设总人数为x人B.设男生比女生多x人 C.设男生人数是女生人数的x倍D.设女生人数为x人 2.甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中错误的是（） A.5x4207450B.74505x420 C.7450（5x420）0D.5x4207450 3.某种品牌的彩电降价30%后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为（） A.0.7a元B.0.3a元C.元D.元 4.A、B两城相距720km，普快列车从A城动身120km后，特快列车从B城开往A城，6h后两车相遇.若普快列

22、车是特快列车速度的，且设普快列车速度为xkm/h，则下列所列方程错误的是（） A.7206x6x120B.7201206（xx） C.6x6x120720D.6（xx）120720 5.用两根长12cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为21的长方形，则长方形和正方形的面积依次为（） A.9cm2和8cm2B.8cm2和9cm2C.32cm2和36cm2D.36cm2和32cm2 *6.有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则他的飞机票价格应是（） A.

23、800元B.1000元C.1200元D.1500元 二.填空题 1.（2022年河北）一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为_元. 2.买4本练习本与3枝铅笔一共用了4.7元.已知铅笔每枝0.5元，则练习本每本_元. *3.一个长方形鸡场的一边靠墙，墙的对面有一个2m宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长33m，若鸡场的长宽32（尽量用墙），则鸡场的长为_m，宽为_m. 4.某市居民2022年末的储蓄存款达到9079万元，比2022年末的储蓄存款的15倍还多4万元，则2022年末的存款为_. 5.（2022年甘肃省白银）某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍

24、可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满意的方程是_. *6.（2022年广东茂名）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的中华人民共和国个人所得税法规定，从2022年3月1日起，公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算.黄先生4月份缴纳个人所得税税金55元，那么黄先生该月的工薪是_元. 全月应纳税所得税额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 三.列方程解应用题 1.（2022年吉林）据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源状况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严峻缺水

25、城市.其中，暂不缺水城市数比严峻缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严峻缺水城市数的2倍.求严峻缺水城市有多少座？ *2.甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的，工作了8小时，甲完成了自己的任务，这时乙还差24件服装没有完成.这批服装共有多少件？ 3.如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为5cm的长条.若两次剪下的长条面积正好相等，那么每一长条的面积为多少？原正方形的面积为多少？ *4.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采纳价格调控手段以达到节约用水的目的

26、.该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费. 该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 3 5 7.5 4 9 27设该户每月用水量为x（m3），应缴水费y（元）. （1）求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的代数表达式； （2）若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3，该户5月份应缴的水费是多少？ *5.振华中学为进一步推动素养教化，把素养教化落到实处，利用课外爱好小组活动开展棋类教学活动，以提高学生的思维实力，开发

27、智力，七年级一班有50名同学，通过活动发觉只有1人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人. （1）若设会下围棋的有x个人，你能列出方程并证明x是35、36、37三个数中的哪一个吗？ （2）你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗？ 【试题答案】 一.选择题 1.D2.D3.D4.B5.B6.C 二.填空题 1.50 2.0.8 3.1510（提示：可设长为3x，宽为2x，则3x2x2x233） 4.605万元 5.x200.8150 6.2800提示：设黄先生4月份的工薪是x元，假如x在2000元2500元，则5%（x2000）55，解得x3100，不符

28、合题意；假如x在2500元4000元，则10%（x2000500）5%50055，解得x2800.所以黄先生4月份的工薪是2800元. 三.列方程解应用题 1.解：设严峻缺水城市有x座，依据题意得： 4x502xx664 解得，x102 答：严峻缺水城市有102座. 2.解：设甲每小时加工服装x件，则乙的工作效率是每小时加工x件，依据题意得： 8xx824 去分母整理得：8x120 8x正好是甲完成的工作量，这个工作量又是总数的一半，所以这批服装有1202240件. 答：这批服装共有240套. 另解：设这批服装共有2x件，则x（x24），解得x120，2x240. 3.解：设原正方形的边长为x

29、cm，列方程为： 4x5（x4） 解得，x20 42080（cm2），2020400（cm2） 答：每一长条的面积为80cm2，原正方形的面积为400cm2. 4.解：（1）3月份用水5m3不超过6m3，所以水费按每立方米a元收取，所以5a7.5，所以a1.5； 4月份用水9m3，所以7.5（96）b27，解得：b6.5. 不超过6m3时，y1.5x； 超过6m3时，y7.56.5（x6） （2）由（1）可得当x8时，y7.56.5（x6） 即y7.56.5220.5（元） 答：略 5.（1）设会下围棋的学生有x人，则会下象棋的学生为（x7）人，那么只会下围棋的学生有（x30）人，只会下象棋的学生为（x730）人，依据题意得： xx730501， 把x35，x36，x37分别代入方程，有x36成立， 所以会下围棋的有36人. （2）会下象棋不会下围棋的有x7303673013（人）. 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页